第12讲 逆命题和逆定理 （1个知识点+3种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第12讲 逆命题和逆定理 （1个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【例1】（2022春•湖北期末）下列各命题的逆命题成立的是　　 A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 【变式1】（2023秋•武义县期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•滨江区期末）将“对顶角相等”改写为“如果那么”的形式，可写为 　　． 【变式3】（2022秋•上城区校级期中）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 　　．它是 　　命题（填“真”或“假” 【变式4】（2021秋•滨江区校级期中）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请说明理由． （1）如果，那么； （2）三边长分别为，，的三角形是直角三角形． 【变式5】（2022秋•东阳市月考）请指出下列命题的题设和结论， 并判断它们的真假， 若是假命题， 请举出一个反例 ． （1） 等角的补角相等； （2） 绝对值相等的两个数相等 ． 经典题型汇编 题型一、写出命题的逆命题 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等； B．对顶角相等； C．如果，那么； D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 2．（21-22八年级下·浙江·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ． 3．（2022八年级上·浙江·专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1)若，则； (2)个位数是0的数能被2整除． (3)同位角相等，两直线平行； (4)全等三角形的对应角相等． 题型二、定理与证明 4．（八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（  ） A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 5．（八年级·全国·课后作业）命题由 和 两部分组成，通常写成 形式． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 题型三、互逆定理 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 8．（19-20八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 9．（21-22八年级上·全国·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 试题练习 一、单选题 1．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形 3．“同角或等角的补角相等”是(  ) A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题 4．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 5．下列说法中，正确的是（    ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．所有的定理都有逆定理 D．所有的命题都有逆命题 6．下列叙述错误的是(   ) A．所有的命题都有条件和结论 B．所有的命题都是定理­ C．所有的定理都是命题 D．所有的公理都是真命题 7．下列说法：下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．在同一个三角形中，等边对等角 C．内错角相等 D．等腰三角形的两个底角相等 8．下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A．全等三角形对应角相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C．一个三角形中，等角对等边 D．两直线平行，同位角相等 9．对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 二、填空题 11．写出命题“若，则”的逆命题： ． 12．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 13．题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 14．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 15．（1）命题是由 和 两部分组成. （2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项. 16．如图所示，，那么 ，依据是 ． 三、解答题 17．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，同位角相等； （2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； （3）等边三角形是锐角三角形； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 18．（1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假； （2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例． 19．已知命题“若，则”写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若是真命题，请给予证明：若是假命题，请举出一个反例． 20．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题． 逆命题：______． 已知：______． 求证：______． 21．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”． （1）写出此命题的逆命题； （2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明． 22．写出定理“等腰三角形底边上的高线和顶角角平分线互组重合”的逆命题，判断其真假，并证明． 23．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 24．把下列命题按要求进行改写． 命题①：若x，y为实数，且x2＋y2＝0，则x，y全为0； 命题②：两直线平行，同位角相等． (1)交换命题的条件和结论； (2)同时否定命题的条件和结论； (3)交换命题的条件和结论后，再同时否定新命题的条件和结论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 逆命题和逆定理 （1个知识点+3种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【例1】（2022春•湖北期末）下列各命题的逆命题成立的是　　 A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【解答】解：、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误； 、绝对值相等的两个数相等，错误； 、同位角相等，两条直线平行，正确； 、相等的两个角都是，错误． 故选：． 【点评】考查点：本题考查逆命题的真假性，是易错题． 易错易混点：本题要求的是逆命题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真． 【变式1】（2023秋•武义县期末）下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据绝对值的意义判断即可； 【解答】解：结论：“若，则”是假命题， 理由：当时，，但是， 故选：． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握绝对值的性质，属于中考基础题． 【变式2】（2023秋•滨江区期末）将“对顶角相等”改写为“如果那么”的形式，可写为 　如果两个角是对顶角，那么它们相等　． 【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：题设为：对顶角，结论为：相等， 故写成“如果那么”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等； 故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 【变式3】（2022秋•上城区校级期中）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 　一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形　．它是 　　命题（填“真”或“假” 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．然后判断真假即可． 【解答】解：命题“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”的逆命题是一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，为真命题， 故答案为：一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；真． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，并熟练掌握直角三角形的判定方法，难度不大． 【变式4】（2021秋•滨江区校级期中）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例；若是真命题，请说明理由． （1）如果，那么； （2）三边长分别为，，的三角形是直角三角形． 【分析】（1）根据平方的概念判断； （2）根据直角三角形的判定解答． 【解答】解：（1）如果，那么；是假命题，如，，满足，但不满足； （2）三边长分别为，，的三角形是直角三角形．是真命题，因为，即，所以三角形是直角三角形． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 【变式5】（2022秋•东阳市月考）请指出下列命题的题设和结论， 并判断它们的真假， 若是假命题， 请举出一个反例 ． （1） 等角的补角相等； （2） 绝对值相等的两个数相等 ． 【分析】分析是否为真命题， 需要分别分析各题设是否能推出结论， 从而利用排除法得出答案 ． 【解答】解： （1） 题设： 有两个角相等；结论： 这两个角的补角相等；是真命题； （2） 题设： 有两个数的绝对值相等；结论： 这两个数相等；是假命题； 反例：，． 【点评】此题考查命题与定理， 命题的真假判断， 正确的命题叫真命题， 错误的命题叫做假命题 ． 判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理 ． 经典题型汇编 题型一、写出命题的逆命题 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等； B．对顶角相等； C．如果，那么； D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【答案】B 【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，能够写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A. 逆命题为：同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； C. 逆命题为：如果，那么，是真命题，不符合题意； D. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意； 故选B． 2．（21-22八年级下·浙江·期末）命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．将原命题的条件与结论互换即可得到其逆命题． 【详解】解：命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行 3．（2022八年级上·浙江·专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断其真假： (1)若，则； (2)个位数是0的数能被2整除． (3)同位角相等，两直线平行； (4)全等三角形的对应角相等． 【答案】(1)若，则，是真命题 (2)能被2整除的数的个位数是0，是假命题 (3)两直线平行，同位角相等，为真命题 (4)对应角相等的三角形全等，为假命题 【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题，进而判断它的真假即可． 【详解】（1）解：逆命题为若a3＝b3，则a＝b，是真命题； （2）逆命题为能被2整除的数的个位数是0，是假命题． （3）逆命题为两直线平行，同位角相等，为真命题； （4）逆命题为：对应角相等的三角形全等，为假命题． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 题型二、定理与证明 4．（八年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（  ） A．每一个命题都有逆命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．每一个定理都有逆定理 D．假命题没有逆命题 【答案】A 【详解】试题解析：A. 每一个命题都有逆命题，正确； B. 假命题的逆命题不一定是假命题，故错误； C. 定理的逆命题不一定正确，故错误； D. 所有的命题都有逆命题，故错误. 故选A. 5．（八年级·全国·课后作业）命题由 和 两部分组成，通常写成 形式． 【答案】 题设（或条件） 结论 “如果……那么……” 【分析】根据命题的组成直接填空即可． 【详解】解：命题由题设（或条件）和结论两部分组成，通常写成“如果……那么……”形式． 【点睛】本题考查了命题的组成，属于基础题，牢牢掌握命题的定义及组成是解题的关键． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 题型三、互逆定理 7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（    ） A．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形 B．不是等腰三角形的两个角不相等． C．有两个底角相等的三角形是等腰三角形 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一个定理的逆定理，交换定理的题设和结论得到的命题如果正确就是原定理的逆定理，据此求解即可． 【详解】解：定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是“有两个角相等的三角形是等腰三角形”， 故选D． 8．（19-20八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可． 【详解】“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行” 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【点睛】本题考查逆定理，熟记各种定理是解题的关键． 9．（21-22八年级上·全国·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【详解】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 试题练习 一、单选题 1．下列说法正确的是（      ） A．真命题都可以作为定理 B．公理不需要证明 C．定理必须要证明 D．证明只能根据定义、公理进行 【答案】B 【解析】略 2．“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是（　　） A．在同一个三角形中，等边对等角 B．两个角互余的三角形是等腰三角形 C．如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 D．如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】此题考查命题的逆命题，一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，则该命题是原命题的逆命题，根据逆命题的定义直接解答即可． 【详解】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形， 故选：C． 3．“同角或等角的补角相等”是(  ) A．定义 B．基本事实 C．定理 D．假命题 【答案】C 【分析】根据定义、公理、定理的定义即可得出. 【详解】解：“同角或等角的补角相等”定理，它是由等量代换推理得到的，是真命题． 故选C． 【点睛】本题考查了定义、公理、定理的区别与联系：定义：对于一个名词或术语的意义的规定就是这个名词或术语的定义． 定理：经过严格的推理论证，正确的命题即为定理； 公理：人们在长期的实践中总结出来的，不需要经过严格的推理论证，即为公理． 4．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案. 【详解】解：如图， 根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边； 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质. 5．下列说法中，正确的是（    ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．假命题的逆命题一定是假命题 C．所有的定理都有逆定理 D．所有的命题都有逆命题 【答案】D 【分析】根据互逆命题的定义对A进行判断；根据命题与逆命题的真假没有联系可对B、C、D进行判断． 【详解】解：A、真命题的逆命题不一定是真命题，所以A选项错误； B、假命题的逆命题不一定是假命题，所以B选项错误． C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误； D、每个命题都有逆命题，所以D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 6．下列叙述错误的是(   ) ­ A．所有的命题都有条件和结论 B．所有的命题都是定理­ C．所有的定理都是命题 D．所有的公理都是真命题 【答案】B 【详解】A.所有的命题都有条件和结论， C.所有的定理都是命题， D.所有的公理都是真命题， 均正确，不符合题意； B.只有真命题才是定理，故错误，本选项符合题意 故选：B 【点睛】概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般 7．下列说法：下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．在同一个三角形中，等边对等角 C．内错角相等 D．等腰三角形的两个底角相等 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、等腰三角形的判定、内错角的概念判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； B、在同一个三角形中，等边对等角，逆命题是在同一个三角形中，等角对等边，是真命题，符合题意； C、内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，是假命题，不符合题意； D、等腰三角形的两个底角相等的逆命题有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，符合题意； 故选：C． 8．下列定理中，没有逆定理的是（    ）． A．全等三角形对应角相等 B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C．一个三角形中，等角对等边 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【详解】A选项中，因为“对应角相等不一定是全等三角形”，所以A中定理没有有逆定理； B选项中，因为“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，所以B中定理有逆定理； C选项中，因为“在同一个三角形中，等边对等角”，所以C中定理有逆定理； D选项中，因为“同位角相等，两直线平行”，所以D中定理有逆定理． 故选A． 9．对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，余角与补角，先写出原命题的逆命题，再找到满足且的反例即可． 【详解】解：对于命题“如果，那么与互补”的逆命题为“如果与互补，那么”，能说明这个命题为假命题的反例可以为：，， 故选：C． 10．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 二、填空题 11．写出命题“若，则”的逆命题： ． 【答案】若，则 【分析】本题主要考查了命题和逆命题的知识，正确写出逆命题是解题关键．对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．根据题目中给出的命题，结合逆命题的定义解答即可． 【详解】解：命题“若，则”的逆命题为：若，则． 故答案为：若，则． 12．用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 13．题设和结论正好相反的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 14．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题． 故答案为：真． 15．（1）命题是由 和 两部分组成. （2）命题的题设是 事项，结论是由 推出的事项. 【答案】 题设 结论 已知 已知事项 【分析】根据命题的定义可得：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项. 【详解】根据命题的定义可得： （1）命题是由题设和结论两部分组成. （2）命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. 故答案是：题设,结论, 已知,已知事项. 【点睛】考查了命题的定义的理解：命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论，其中题设是已知事项，结论是由已知事项推导出的事项. 16．如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 三、解答题 17．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？ （1）两条直线平行，同位角相等； （2）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； （3）等边三角形是锐角三角形； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 【答案】（1）同位角相等，两直线平行．成立；（2）如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数．不成立；（3）锐角三角形是等边三角形．不成立；（4）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，成立． 【分析】（1）先写出该命题的逆命题，再根据平行线的判定，即可求解； （2）先写出该命题的逆命题，再两个负数的乘积也等于正数； （3）先写出该命题的逆命题，再等边三角形的判定，即可求解； （4）先写出该命题的逆命题，再根据线段性质逆定理，即可求解． 【详解】（1）逆命题：同位角相等，两直线平行，成立； （2）逆命题：如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数，两个负数的乘积也等于正数，故不成立； （3）逆命题：锐角三角形是等边三角形，例如，锐角 中， ，不是等边三角形，故不成立； （4）逆命题：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，成立． 【点睛】本题主要考查了命题，平行的判定，实数的运算，等边三角形的判定，线段性质逆定理，明确题意，准确得到命题的逆命题是解题的关键． 18．（1）写出命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并判断真假； （2）若该命题的逆命题为真命题，请证明；若该命题的逆命题为假命题，请举出反例． 【答案】（1）逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题；（2）逆命题为真命题，证明见解析． 【分析】（1）根据逆命题的概念写出逆命题； （2）证明，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）逆命题是：如果一个三角形一边上的高线和中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题； （2）该命题的逆命题为真命题， 已知：如图，中，，， 求证：是等腰三角形 证明：， ， 在和中， ， ． ，即是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念、全等三角形的判定和性质，掌握逆命题的概念、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19．已知命题“若，则”写出此命题的逆命题，并判断逆命题的真假．若是真命题，请给予证明：若是假命题，请举出一个反例． 【答案】见解析 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：逆命题：若a2＞b2，则a＞b． 此命题为假命题． 反例：a=-2，b=-1，有a2＞b2，但a＜b． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 20．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题． 逆命题：______． 已知：______． 求证：______． 【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，，是的角平分线；是等腰三角形；证明见解析． 【分析】根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可． 【详解】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题． 已知，如图所示： ，是的角平分线，求证是等腰三角形． 证明如下： ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，，是的角平分线；是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键． 21．已知命题“等腰三角形两腰上的高线相等”． （1）写出此命题的逆命题； （2）逆命题是真命题还是假命题？若为真命题，请画出图形，写出“已知”，求证并证明；若为假命题，请举反例说明． 【答案】（1）两边上的高相等的三角形是等腰三角形；（2）真命题，画图证明见解析 【分析】（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题； （2）判断逆命题是真命题，画出图形判断即可． 【详解】解：（1）逆命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形． （2）真命题． 已知：一个三角形ABC的两边AB、AC上的高BD、CE相等， 求证：这个三角形ABC是等腰三角形． 证明：∵BD、CE是△ABC的高， ∴CE⊥AB，BD⊥AD， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∵∠A=∠A， ∵BD=CE， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC， ∴AB=AC， ∴三角形ABC是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 22．写出定理“等腰三角形底边上的高线和顶角角平分线互组重合”的逆命题，判断其真假，并证明． 【答案】逆命题为：如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；逆命题是真命题， 证明见解析． 【分析】先写出原命题的逆命题，然后再给予证明即可． 【详解】解：定理“等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线相互重合”的逆命题为： 如果一个三角形一边的高和这边所对的角的平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形；逆命题是真命题. 已知：在中，，平分， 求证：是等腰三角形． 证明：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、根据命题写已知、求证，全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质的等性质定理，关键在于根据命题写出已知、求证、画出图形． 23．数学证明是一个严谨的过程，例如在证明命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”时，我们进行了分类讨论，使证明过程完整且正确．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证． 已知：如图，直线l为线段的垂直平分线，点P为l上一点． 求证：______________________． 请你补全求证，并写出证明过程． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】求证：， 证明：如图，设直线与的交点为， 直线为线段的垂直平分线， ，， ， 在与中， ， ∴（SAS）， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 24．把下列命题按要求进行改写． 命题①：若x，y为实数，且x2＋y2＝0，则x，y全为0； 命题②：两直线平行，同位角相等． (1)交换命题的条件和结论； (2)同时否定命题的条件和结论； (3)交换命题的条件和结论后，再同时否定新命题的条件和结论． 【答案】命题①：详见解析；命题②：详见解析. 【分析】（1）若后面是条件,则后面是结论,交换即可,（2）等于的否定为不等于,全为0的否定为不全为0,（3）直接把第（2）问中的条件和结论交换即可. 【详解】解：命题①：(1)若x，y为实数，且x，y全为0，则x2＋y2＝0；(2)若x，y为实数，且x2＋y2≠0，则x，y不全为0；(3)若x，y为实数，且x，y不全为0，则x2＋y2≠0 命题②：(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线不平行，同位角不相等；(3)同位角不相等，两直线不平行 【点睛】本题考查了原命题,否命题,逆命题,逆否命题之间的转换,中等难度,掌握命题的否定是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$