专题训练：轴对称（最短线路问题）-2024-2025学年苏科版数学八年级上册专题性培优检测卷

2024-2025学年苏科版数学八年级上册专题性培优检测卷 专题训练：轴对称（最短线路问题） 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.39（较难） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）（2023秋•丹徒区期中）如图，长方形中，，点是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是　　 A．10 B．12 C．14 D．16 2．（2分）（2023秋•崇川区期末）如图，已知等边的边长为4，点，分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为　　 A．4 B． C． D． 3．（2分）（2022秋•涟水县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2023秋•广陵区月考）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小值，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2023秋•丹阳市期中）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是　　 A．9 B．10 C．10.5 D．11 6．（2分）（2023秋•天宁区校级期中）如图，在中，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．8 B．10 C．12 D．14 7．（2分）（2023秋•淮阴区校级月考）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是　　 A．6 B．8 C．9.6 D．12 8．（2分）（2023春•海门市期末）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 9．（2分）（2021秋•梁溪区校级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为　　 A．160 B．150 C．140 D．130 10．（2分）（2021秋•启东市校级期中）如图，在中，，面积是20，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上） 11．（2分）（2023秋•东台市期末）如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则的周长的最小值为 　　． 12．（2分）（2023秋•丹阳市期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，点是边的中点，点是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时，　　（用含的代数式表示）． 13．（2分）（2023秋•兴化市期末）如图，已知锐角中，，，的面积为，、、分别为、、边上的动点，则周长的最小值为 　　． 14．（2分）（2023秋•东台市期中）如图，在边长为4的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为 　　． 15．（2分）（2023秋•新北区期中）如图，在中，，，．直线，是上一动点．则的最小值是 　　． 16．（2分）（2023秋•如皋市期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 　　． 17．（2分）（2023秋•南京期中）如图，在中，，，，是的平分线，、分别是、上的动点，则的最小值是 　　． 18．（2分）（2023秋•海安市期末）如图，在中，，，是边上的高，点，分别在，上，且，当的值最小时，的度数是 　　． 19．（2分）（2023秋•秦淮区校级月考）如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为 　　． 20．（2分）（2020秋•崇川区校级期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为　　． 三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.） 21．（6分）（2023秋•天宁区校级期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． （1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； （2）求喷泉到小路的最短距离． 22．（6分）（2023秋•盐都区期末）如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰面积为21，求周长的最小值． 23．（8分）（2023秋•江都区期中）如图，为线段上一动点，分别过点、在线段两侧作，，连接，． （1）已知，，，设，用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时，的值最小，在图中画出点的位置，并根据（1）的条件求出这个最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出代数式的最小值为　　． 24．（8分）（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，是等边三角形，为边上一个动点与、均不重合）．．，连接． （1）求证：平分； （2）若，当四边形的周长取最小值时，求的长． 25．（8分）（2022秋•镇江期末）如图，在平面直角坐标系中，点、关于直线对称，点的坐标是，点关于直线的对称点为点． （1）的面积等于 　　；点的坐标为 　　； （2）在直线上找一点，使得最短，则的最小值等于 　　． 26．（8分）（2023秋•海安市月考）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． （1）若，则的度数是　　． （2）连接，若，的周长是． ①求的长； ②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由． 27．（8分）（2016秋•崇安区期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的△； （2）在直线上找出一点，使得的长最短，该最短长度为　 　．（保留画图痕迹并标上字母． 28．（8分）（2018秋•宜兴市期中）已知中，，，，为边上的高．动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为． （1）求的长； （2）为何值时，为等腰三角形？ （3）若为上一动点，为上一动点，是否存在，使得的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级上册专题性培优检测卷 专题训练：轴对称（最短线路问题） 考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.39（较难） 一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上） 1．（2分）（2023秋•丹徒区期中）如图，长方形中，，点是一个动点，且的面积始终等于长方形面积的四分之一．若的最小值为10，则的面积是　　 A．10 B．12 C．14 D．16 解：的面积始终等于长方形面积的四分之一， 记点到的高为，又， ， 有，整理得，即点在的垂直平分线上运动， 连接，，， 点在的垂直平分线上运动， ，， 要最小，即最小， 当、、三点共线时，取得最小值为的长， 的最小值为10，即， ， 的面积是． 故选：． 2．（2分）（2023秋•崇川区期末）如图，已知等边的边长为4，点，分别在边，上，．以为边向右作等边，则的最小值为　　 A．4 B． C． D． 解：作于点，作射线，则， 和都是等边三角形， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的直线上运动， 作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 点与点关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 3．（2分）（2022秋•涟水县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且，，三点不在同一条直线上．当的周长最小时，点的坐标是　　 A． B． C． D． 解：作点关于轴的对称点，连接交轴一点点，如图所示： 点，的坐标分别为和， 的坐标是， 设直线的解析式为，将、坐标分别代入， ，解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， 故答案为：． 4．（2分）（2023秋•广陵区月考）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点、，使得的周长最小值，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线， ， ， ， ，， 且，， ， 故选：． 5．（2分）（2023秋•丹阳市期中）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是　　 A．9 B．10 C．10.5 D．11 解：连接，如图， 直线垂直平分， ， 周长， 周长的最小值为：， 周长的最小值为：． 故选：． 6．（2分）（2023秋•天宁区校级期中）如图，在中，，面积是24，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．8 B．10 C．12 D．14 解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：． 7．（2分）（2023秋•淮阴区校级月考）如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是　　 A．6 B．8 C．9.6 D．12 解：如图所示，过点作于点，交于点，则此时取最小值． ，是边上的高， 垂直平分， ， 此时最小值为的长． ， ， 的最小值是9.6． 故选：． 8．（2分）（2023春•海门市期末）如图，边长为的等边中，是上中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是　　 A． B． C． D． 解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， 点在射线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交 于，此时的值最小， ，， 是等边三角形， ， ， ， 周长的最小值， 故选：． 9．（2分）（2021秋•梁溪区校级期末）如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为　　 A．160 B．150 C．140 D．130 解：如图， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点即为所求点． 过点作直线的延长线于点，则线段的长即为的最小值． ，，， ，，， ， 即的最小值是． 如图， 延长交于点， ，， 当点运动到点时，最大， ，，， 过点作，则，， ． 为最大， 即， ． 故选：． 10．（2分）（2021秋•启东市校级期中）如图，在中，，面积是20，的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 解：连接，． 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故选：． 二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上） 11．（2分）（2023秋•东台市期末）如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则的周长的最小值为 　14　． 解：连接、， 等腰的底边的长为12，周长为32， ，且， ， ， 点为边的中点， ，， ， ， ， 直线垂直平分， 点与点关于直线对称， ， ， ， ， 的最小值为14， 的周长的最小值为14， 故答案为：14． 12．（2分）（2023秋•丹阳市期末）如图，在中，，边的垂直平分线分别交、于点、，点是边的中点，点是上任意一点，连接、，若，，当周长取到最小值时，　　（用含的代数式表示）． 解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 13．（2分）（2023秋•兴化市期末）如图，已知锐角中，，，的面积为，、、分别为、、边上的动点，则周长的最小值为 　　． 解：设边上的高为， ， ， ， 如图，作点关于、的对称点，，连接、， ，，，，， 的周长为， 当、、、四点共线时，的周长为， ， ， △是等腰直角三角形， 当最小时，最小，即的周长最小， 当时，最小，此时， ， 则周长的最小值为， 故答案为：． 14．（2分）（2023秋•东台市期中）如图，在边长为4的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，则周长的最小值为 　6　． 解：过点作于点，延长交于点，连接交于点，连接， 四边形为正方形， ， ， ， 即点与点关于对称， ， 当点与点重合时，的周长取得最小值， 最小值为的长． 正方形的边长为4，， ，，， ， ． 故答案为：6． 15．（2分）（2023秋•新北区期中）如图，在中，，，．直线，是上一动点．则的最小值是 　5　． 解：，， ， 延长到，使，则与关于直线对称，连接，交于，此时，则，的值最小 中，，， ， 的最小值是5， 故答案为：5． 16．（2分）（2023秋•如皋市期末）如图，在四边形中，，，，点，分别在边，上，当时，的周长最小，则它的周长的最小值为 　　． 解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，作交的延长线于， 当时，的周长最小， ， ， 即， ， ， ， ， 由对称性，知，， 在△中， ， 由勾股定理，得， 在△中， ， 由勾股定理，得． 故答案为：． 17．（2分）（2023秋•南京期中）如图，在中，，，，是的平分线，、分别是、上的动点，则的最小值是 　　． 解：作点关于的对称点，连接，如图所示 平分， 点在直线上，， ， 当，点为与的交点时，取得最小值，最小值为． 在中，，，， ， ，即， ， 的最小值为． 故答案为：． 18．（2分）（2023秋•海安市期末）如图，在中，，，是边上的高，点，分别在，上，且，当的值最小时，的度数是 　70　． 解：如图所示，过作，使得，连接， ，， ， ， 又，， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 此时，，，即是等腰直角三角形， ， 又中，， ， 故答案为：． 19．（2分）（2023秋•秦淮区校级月考）如图，在矩形中，，，点为中点，，为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为 　4　． 解：四边形是矩形，，，点为中点， 为定长， ， 四边形周长最小只要最小即可； 取中点连接，在上取，连接， 则四边形是矩形，四边形为平行四边形，， ， ， 最小，只要最小即可； 作点关于的对称点，连接交于点， 则， 即最小时，点位于处， 的长即为所求． 由作图可知，，， △是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：4． 20．（2分）（2020秋•崇川区校级期中）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为　6　． 解：如图所示，作点关于的对称点，连接，，过作于， 中，，，， ，，，， 中，，即， 与关于对称， ， ， 当，，在同一直线上时，的最小值等于的长， 此时，△中，， 的最小值为3， 即的最小值为6， 故答案为：6． 三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.） 21．（6分）（2023秋•天宁区校级期中）如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． （1）求供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； （2）求喷泉到小路的最短距离． 解：（1）如图，过作于， 在中，， ， 在中，， 供水点到喷泉，需要铺设的管道总长； （2），，， ， 是直角三角形， ， 喷泉到小路的最短距离是． 22．（6分）（2023秋•盐都区期末）如图，在中，，点为的中点，直线垂直平分，点为线段上一动点，若，等腰面积为21，求周长的最小值． 解：连接、， ，点为的中点，， ，， ，且， ， 解得， 直线垂直平分， 点与点关于直线对称， 点在线段上， ， ， ， ， ， ， 的最小值为10， 周长的最小值为10． 23．（8分）（2023秋•江都区期中）如图，为线段上一动点，分别过点、在线段两侧作，，连接，． （1）已知，，，设，用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时，的值最小，在图中画出点的位置，并根据（1）的条件求出这个最小值； （3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出代数式的最小值为　10　． 解：（1），，， ， 在中，， ，， 在中，， ； （2）当是和交点时，的值最小； 如图1，过点作，过点作， ， 的最小值为13； （3）如图2所示，过点作，过点作，使，，，连接交于点． ， 的长即为代数式的最小值． 过点作交的延长线于点，得矩形，则： ，， ， 在中，由勾股定理得，． 故答案为：10． 24．（8分）（2023秋•鼓楼区校级月考）如图，是等边三角形，为边上一个动点与、均不重合）．．，连接． （1）求证：平分； （2）若，当四边形的周长取最小值时，求的长． （1）证明：是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ，， 平分； （2）解：， ， 是等边三角形， ， 四边形的周长， 根据垂线段最短，当时，值最小，四边形的周长取最小值， ， ． 25．（8分）（2022秋•镇江期末）如图，在平面直角坐标系中，点、关于直线对称，点的坐标是，点关于直线的对称点为点． （1）的面积等于 　　；点的坐标为 　　； （2）在直线上找一点，使得最短，则的最小值等于 　　． 解：（1）、，， 的面积， 点、关于直线对称， 直线为， 点关于直线的对称点为点的坐标为， 故答案为：，； （2），， ， 的最小值就是． 故答案为：． 26．（8分）（2023秋•海安市月考）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于． （1）若，则的度数是　　． （2）连接，若，的周长是． ①求的长； ②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由． 解：（1）若，则的度数是， 故答案为：； （2）如图： ①垂直平分． ， 又的周长是， ， ． ②当点与点重合时，的值最小，周长的最小值是， 27．（8分）（2016秋•崇安区期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称的△； （2）在直线上找出一点，使得的长最短，该最短长度为　5　．（保留画图痕迹并标上字母． 解：（1）如图1所示是所画图形， （2）如图2所示，点为所求作的点， 最短长度为， 故答案为5． 28．（8分）（2018秋•宜兴市期中）已知中，，，，为边上的高．动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到点，速度为，设运动时间为． （1）求的长； （2）为何值时，为等腰三角形？ （3）若为上一动点，为上一动点，是否存在，使得的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由． 解：（1），，， ， ， 为边上的高， ， ； （2）①当点在上时， ， 若为等腰三角形，只有， ， ②当点在上时， 为等腰三角形， 分三种情况：当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 当时，即，解得：， 综上所述：为6，8.4，9，9.5时，为等腰三角形； （3）如图作点关于的对称点，过作于，交于， 则就是的最小值， ， ， ， ， ， 即的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$