第九讲 轴对称与轴对称图形（新知预习+三大考点讲练+难度分层练）-2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义

领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第九讲 轴对称与轴对称图形 教学目标： 1、知识与技能：让学生在生活中感悟轴对称图形，理解轴对称图形意义。 2、过程与方法：让学生主动参与观察、分析、归纳、交流等活动，经历探究性学习的过程。 3、情感态度价值观：感受数学的趣味性和挑战性，获得生活经验和情感体验，培养学生的审美观。 教学重点、难点： 轴对称图形和关于直线成轴对称。 教学难点：轴对称图形与轴对称的联系。 新知预习 1 知识总结 4 高频易错点拨 5 考点精讲1：生活中的轴对称现象 6 考点精讲2：轴对称图形 7 考点精讲3：镜面对称 8 中档题真题练 9 培优题真题练 11 新知预习 课时导入 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！ 观察图中的图案，它们有什么共同特征? 仿照图进行操作，你有什么发现? 知识点01：轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，翻折后重合的点是对应点，也叫做对称点. 轴对称的两个特性 (1) 成轴对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称； (2) 轴对称是图形的一种全等变换. 特别解读：轴对称的三个条件： 1. 有两个图形； 2. 存在一条直线； 3. 其中一个图形沿着这条直线翻折后与另一个图形重合． 如图，△ABC和△DEF 关于直线 MN 对称，直线 MN 是对称轴点A与点D、点 B 与点E、点 C 与点F都是关于直线MN 的对称点. 方法点拨： 判断两个图形是否成轴对称的方法： 1. 定义法：紧扣定义中的“两个图形，一条直线，完全重合”； 2. 反面观察法：从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，两个图形就成轴对称. 观察图中的图案，它们有什么共同特征? 知识点02：轴对称图形 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 特别解读： 轴对称图形的三个条件： 1. 一个整体图形； 2. 一条直线——对称轴； 3. 沿这条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合. 两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形既有区别又有联系. 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是个轴对称图形. 如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称. 易错警示 (1) 轴对称图形是一个图形自身的对称特性，它被对称轴分成的两部分沿对称轴折叠后能够互相重合，其对称点在同一图形上； (2) 轴对称图形的对称轴是直线，而不是线段或射线，它可能是一条，也可能是多条，甚至是无数条. 知识储备 1. 汉字中有很多是轴对称图形； 2. 英文字母和阿拉伯数字中也有很多是轴对称图形 . 特别提醒 判断一个图形是不是轴对称图形时要从多角度来翻折和观察 . 操 作 (1) 剪两个全等的三角形，并把它们叠合在一起； (2) 把其中的一个三角形沿一边翻折，所成的图形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴； (3) 再改变其中一个三角形的位置，使这两个三角形成轴对称. 知识总结 知识点01：轴对称: 定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。 轴对称是指两个图形的位置关系，即两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。成轴对称的两个图形一定全等。 性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。 成轴对称的两个图形全等。 知识点02：轴对称图形 定义：把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合。一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。 性质： 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称。 知识点03：区别与联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，而轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形。轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。 高频易错点拨 易错知识点01：轴对称的理解误区 全等的两个图形一定成轴对称： 误区：学生可能错误地认为只要两个图形全等，它们就一定成轴对称。 正确理解：全等的两个图形仅仅说明它们形状和大小完全相同，但并不意味着它们一定可以通过某条直线对折后完全重合。因此，全等的图形不一定成轴对称。 对称轴的位置： 误区：学生可能认为对称轴必须位于两个图形的公共边或交点处。 正确理解：对称轴可以位于两个图形的外部，也可以经过它们的内部或公共边（点），这取决于图形的具体形状和位置关系。 对应点的位置： 误区：学生可能认为对应点一定位于对称轴的两侧。 正确理解：虽然大多数情况下对应点位于对称轴的两侧，但在某些特殊情况下（如对称轴经过图形的某个顶点或边），对应点也可能位于对称轴上。 易错知识点02：轴对称图形的判断误区 对称轴的条数： 误区：学生可能错误地判断一个轴对称图形的对称轴条数。 正确理解：一个轴对称图形的对称轴条数取决于图形的具体形状，可能有一条、多条甚至无数条。例如，圆有无数条对称轴，而等腰三角形只有一条对称轴。 轴对称图形的性质应用： 误区：学生可能不能正确应用轴对称图形的性质来解决问题。 正确理解：轴对称图形的性质包括对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线等。这些性质在解题过程中应得到充分利用，以简化计算过程和提高解题效率。 易错知识点03：作图与证明的误区 作图不准确： 误区：学生在作图时可能不够准确，导致无法正确判断图形的轴对称性。 正确做法：作图时应使用尺规等工具进行精确作图，确保图形的准确性和规范性。 证明不充分： 误区：学生在证明两个图形成轴对称或某个图形是轴对称图形时，可能缺乏充分的理由和依据。 正确做法：证明过程应严格遵循数学逻辑和定理公理的要求，给出充分的理由和依据以支持结论的正确性。 易错知识点04：特殊图形的轴对称性 线段的轴对称性： 易错点：学生可能忽视线段作为轴对称图形的特殊情况。 正确理解：线段是轴对称图形，其垂直平分线就是它的对称轴。 角的轴对称性： 易错点：学生可能对角的轴对称性理解不深入。 正确理解：角也是轴对称图形，其平分线所在的直线就是它的对称轴。 考点精讲1：生活中的轴对称现象 【典例精讲】（2023秋•高新区校级月考）如图是一个经过改造的规格为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是　　 A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【举一反三1】（2013秋•张家港市校级期末）如图，桌面上有、两球，若要将球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中球，则4个点中，可以瞄准的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【举一反三2】（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　 ． 【举一反三3】（2020秋•鼓楼区校级月考）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 考点精讲2：轴对称图形 【典例精讲】（2023秋•宿豫区期中）下列交通标志图形中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•射阳县期中）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，一定是轴对称图形的有 　 　个． 【举一反三2】（2023秋•工业园区校级期中）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 　 个． 【举一反三3】（2023秋•鼓楼区校级月考）杭州第19届亚运会 又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．我校近期也举办以“追光逐梦，活力青春”为主题的秋季学生运动会，请你为学校设计一幅轴对称图形的校运动会会徽． 【举一反三4】（2022秋•兴化市月考）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）． 考点精讲3：镜面对称 【典例精讲】（2021秋•姑苏区校级月考）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是　　 A． B． C． D． 【举一反三1】（2023秋•浦口区校级月考）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 　 ． 【举一反三2】（2023秋•高新区校级月考）小张站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，且读数为，则电子表上的实际时刻是 　　． 【举一反三3】（2023秋•姜堰区校级月考）从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 　　． 中档题真题练 1．（2023八上·东阿月考）如图，在 的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的 为格点三角形，在图中与 成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．（2022八上·宿豫开学考）已知，两个图形成轴对称，则这两个图形（　　） A．全等 B．不一定全等 C．面积不一样大 D．周长不一样 3．（2022八上·苏州月考）在如图所示的方格纸中，的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与成轴对称的格点三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2021八上·如皋期末）如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 5．（2021八上·江阴期中）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种. 6．（2021八上·灌云月考）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示.小明按如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用10个这样的图形拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含a、b的代数式表示）. 7．（2021八上·姜堰月考）如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有　 　种. 8．（2021八上·苏州月考）在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是　 　． 9．（2021八上·岳池期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与 成轴对称图形. 10．（2020八上·泰兴月考）作图题 （1）如图所示，画出△ABC关于直线MN的轴对称图形. （2）已知：∠AOB和两点M、N，求作：一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等，且PM＝PN.（尺规作图，保留作图痕迹） 培优题真题练 12．（2021八上·姜堰月考）下列说法： ①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形②两个全等的三角形关于某条直线对称③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形其中，正确说法个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（2021八上·济宁月考）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形变换是(　　) A．平移和旋转 B．对称和旋转 C．对称和平移 D．旋转和平移 14．（2020八上·镇江期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（2020八上·江都月考）如图，△ABE、△BDC 和△ABC 分别是关于 AB，BC 边所在直线对称的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=9：2：1，则∠4 的度数为　 　. 16．（2019八上·海安月考）如图，在一个规格为6×12（即6×12个小正方形）的球台上，有两个小球A，B.若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点　 　.（填P1至P4点中的一个）. 17．（2022八上·宿豫开学考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形． 18．（2019八上·连云港期末）如图 ，是由 个白色 和 个黑色 全等正方形组成的“ ”型图案，请你分别在图 ，图 ，图 上按下列要求画图： 在图案中，添 个白色或黑色正方形，使它成轴对称图案； 19．（2021八上·江阴月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=13，CD=9，若AD：AC=4：5. （1）求△ABC的面积； （2）若点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着CD—DA运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PAB为轴对称图形？ 20．（2020八上·吴江月考）在 的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，请画出三种情形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 领跑新初二（新课衔接）【新知预习+考点讲练+难度分层练】 2024-2025学年苏科版数学七升八年级暑假衔接培优讲义 第九讲 轴对称与轴对称图形 教学目标： 1、知识与技能：让学生在生活中感悟轴对称图形，理解轴对称图形意义。 2、过程与方法：让学生主动参与观察、分析、归纳、交流等活动，经历探究性学习的过程。 3、情感态度价值观：感受数学的趣味性和挑战性，获得生活经验和情感体验，培养学生的审美观。 教学重点、难点： 轴对称图形和关于直线成轴对称。 教学难点：轴对称图形与轴对称的联系。 新知预习 1 知识总结 4 高频易错点拨 5 考点精讲1：生活中的轴对称现象 6 考点精讲2：轴对称图形 8 考点精讲3：镜面对称 11 中档题真题练 12 培优题真题练 18 新知预习 课时导入 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！ 观察图中的图案，它们有什么共同特征? 仿照图进行操作，你有什么发现? 知识点01：轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，翻折后重合的点是对应点，也叫做对称点. 轴对称的两个特性 (1) 成轴对称的两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称； (2) 轴对称是图形的一种全等变换. 特别解读：轴对称的三个条件： 1. 有两个图形； 2. 存在一条直线； 3. 其中一个图形沿着这条直线翻折后与另一个图形重合． 如图，△ABC和△DEF 关于直线 MN 对称，直线 MN 是对称轴点A与点D、点 B 与点E、点 C 与点F都是关于直线MN 的对称点. 方法点拨： 判断两个图形是否成轴对称的方法： 1. 定义法：紧扣定义中的“两个图形，一条直线，完全重合”； 2. 反面观察法：从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，两个图形就成轴对称. 观察图中的图案，它们有什么共同特征? 知识点02：轴对称图形 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴. 特别解读： 轴对称图形的三个条件： 1. 一个整体图形； 2. 一条直线——对称轴； 3. 沿这条直线折叠后，直线两旁的部分互相重合. 两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形既有区别又有联系. 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是个轴对称图形. 如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称. 易错警示 (1) 轴对称图形是一个图形自身的对称特性，它被对称轴分成的两部分沿对称轴折叠后能够互相重合，其对称点在同一图形上； (2) 轴对称图形的对称轴是直线，而不是线段或射线，它可能是一条，也可能是多条，甚至是无数条. 知识储备 1. 汉字中有很多是轴对称图形； 2. 英文字母和阿拉伯数字中也有很多是轴对称图形 . 特别提醒 判断一个图形是不是轴对称图形时要从多角度来翻折和观察 . 操 作 (1) 剪两个全等的三角形，并把它们叠合在一起； (2) 把其中的一个三角形沿一边翻折，所成的图形是轴对称图形吗?如果是，指出它的对称轴； (3) 再改变其中一个三角形的位置，使这两个三角形成轴对称. 知识总结 知识点01：轴对称: 定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点。 轴对称是指两个图形的位置关系，即两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合。成轴对称的两个图形一定全等。 性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。 成轴对称的两个图形全等。 知识点02：轴对称图形 定义：把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合。一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定。 性质： 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称。 知识点03：区别与联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，而轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形。轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。 高频易错点拨 易错知识点01：轴对称的理解误区 全等的两个图形一定成轴对称： 误区：学生可能错误地认为只要两个图形全等，它们就一定成轴对称。 正确理解：全等的两个图形仅仅说明它们形状和大小完全相同，但并不意味着它们一定可以通过某条直线对折后完全重合。因此，全等的图形不一定成轴对称。 对称轴的位置： 误区：学生可能认为对称轴必须位于两个图形的公共边或交点处。 正确理解：对称轴可以位于两个图形的外部，也可以经过它们的内部或公共边（点），这取决于图形的具体形状和位置关系。 对应点的位置： 误区：学生可能认为对应点一定位于对称轴的两侧。 正确理解：虽然大多数情况下对应点位于对称轴的两侧，但在某些特殊情况下（如对称轴经过图形的某个顶点或边），对应点也可能位于对称轴上。 易错知识点02：轴对称图形的判断误区 对称轴的条数： 误区：学生可能错误地判断一个轴对称图形的对称轴条数。 正确理解：一个轴对称图形的对称轴条数取决于图形的具体形状，可能有一条、多条甚至无数条。例如，圆有无数条对称轴，而等腰三角形只有一条对称轴。 轴对称图形的性质应用： 误区：学生可能不能正确应用轴对称图形的性质来解决问题。 正确理解：轴对称图形的性质包括对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线等。这些性质在解题过程中应得到充分利用，以简化计算过程和提高解题效率。 易错知识点03：作图与证明的误区 作图不准确： 误区：学生在作图时可能不够准确，导致无法正确判断图形的轴对称性。 正确做法：作图时应使用尺规等工具进行精确作图，确保图形的准确性和规范性。 证明不充分： 误区：学生在证明两个图形成轴对称或某个图形是轴对称图形时，可能缺乏充分的理由和依据。 正确做法：证明过程应严格遵循数学逻辑和定理公理的要求，给出充分的理由和依据以支持结论的正确性。 易错知识点04：特殊图形的轴对称性 线段的轴对称性： 易错点：学生可能忽视线段作为轴对称图形的特殊情况。 正确理解：线段是轴对称图形，其垂直平分线就是它的对称轴。 角的轴对称性： 易错点：学生可能对角的轴对称性理解不深入。 正确理解：角也是轴对称图形，其平分线所在的直线就是它的对称轴。 考点精讲1：生活中的轴对称现象 【典例精讲】（2023秋•高新区校级月考）如图是一个经过改造的规格为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是　　 A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【思路点拨】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【规范解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以球最后将落入的球袋是1号袋， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了轴对称的性质．轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．注意结合图形解题的思想；严格按轴对称画图是正确解答本题的关键． 【举一反三1】（2013秋•张家港市校级期末）如图，桌面上有、两球，若要将球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中球，则4个点中，可以瞄准的是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 【思路点拨】要击中点，则需要满足点反弹后经过的直线过点，画出反射路线即可得出答案． 【规范解答】解： 可以瞄准点击球． 故选：． 【考点评析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【举一反三2】（2022秋•苏州期中）有一个英语单词，其四个字母都关于直线对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　书　． 【思路点拨】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了． 【规范解答】解：补全字母，如图所示： 故这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【考点评析】本题侧重考查生活中的轴对称现象，掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【举一反三3】（2020秋•鼓楼区校级月考）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【思路点拨】首先作出点关于的对称点，再连接，然后可得球的运动路线． 【规范解答】解：如图所示：运动路线：． 【考点评析】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质． 考点精讲2：轴对称图形 【典例精讲】（2023秋•宿豫区期中）下列交通标志图形中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用轴对称图形的概念可得答案． 【规范解答】解：、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：． 【考点评析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【举一反三1】（2023秋•射阳县期中）“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，一定是轴对称图形的有 　3　个． 【思路点拨】根据轴对称图形的概念分析判断即可得解． 【规范解答】解：线段是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线和线段本身所在的直线， 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线， 三角形不一定是轴对称图形， 圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的直线． 综上所述，是轴对称图形的有3个． 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【举一反三2】（2023秋•工业园区校级期中）如图，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 　5　个． 【思路点拨】根据轴对称图形的定义与判断可知． 【规范解答】解：与成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个， 分别为，，，，，共有5个． 故答案为：5． 【考点评析】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． 【举一反三3】（2023秋•鼓楼区校级月考）杭州第19届亚运会 又称“2022年杭州亚运会”，是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．我校近期也举办以“追光逐梦，活力青春”为主题的秋季学生运动会，请你为学校设计一幅轴对称图形的校运动会会徽． 【思路点拨】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可为学校设计一幅轴对称图形的校运动会会徽． 【规范解答】解：如图所示：（答案不唯一）． 【考点评析】此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形的对称轴． 【举一反三4】（2022秋•兴化市月考）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）． 【思路点拨】根据轴对称图形的定义即可解决问题． 【规范解答】解：如图有5种方法： 【考点评析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 考点精讲3：镜面对称 【典例精讲】（2021秋•姑苏区校级月考）从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】解：由图分析可得题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故选：． 【考点评析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【举一反三1】（2023秋•浦口区校级月考）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是 　10.51　． 【思路点拨】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与成轴对称， 所以此时实际时刻为10.51， 故答案为：10.51． 【考点评析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【举一反三2】（2023秋•高新区校级月考）小张站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，且读数为，则电子表上的实际时刻是 　　． 【思路点拨】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称，不难发现镜子的5实际应为2，且实际时刻与镜面的时刻顺序相反，据此解答． 【规范解答】解：根据平面镜成像原理可知，实际数字与从镜子中看到的像左右相反， 故电子表的实际时刻为． 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是平面镜成像的基本问题，掌握其规律是解题的关键． 【举一反三3】（2023秋•姜堰区校级月考）从镜子中看到汽车正面的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 　　． 【思路点拨】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【规范解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“”成轴对称，则该汽车的号码是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 中档题真题练 1．（2023八上·东阿月考）如图，在 的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的 为格点三角形，在图中与 成轴对称的格点三角形可以画出（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【规范解答】解：符合题意的三角形如图所示：分三类 对称轴为横向： 对称轴为纵向： 对称轴为斜向： 满足要求的图形有6个. 故答案为：A. 【思路点拨】分别画出以BC及平行于BC的直线为对称轴、以BC的中垂线为对称轴、以正方形网格的对角线为对称轴的轴对称图形，据此解答. 2．（2022八上·宿豫开学考）已知，两个图形成轴对称，则这两个图形（　　） A．全等 B．不一定全等 C．面积不一样大 D．周长不一样 【答案】A 【规范解答】解：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，由此可以得到：两个图形成轴对称，则这两个图形全等. 故答案为：A. 【思路点拨】成轴对称的两个图形沿着一条直线折叠后能够完全重合，故是全等图形，面积相等，周长相等. 3．（2022八上·苏州月考）在如图所示的方格纸中，的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与成轴对称的格点三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【规范解答】解：如解图所示，与成轴对称且顶点在格点上的三角形共有3个. 故答案为：C. 【思路点拨】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴，根据轴对称图形的定义选取不同的直线作为对称轴，即可判断得出答案. 4．（2021八上·如皋期末）如图为某小区分类垃圾桶上的标识，其图标部分可以看作轴对称图形的有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】B 【规范解答】解：第一个图形可以看作轴对称图形，符合题意； 第二个图形不可以看作轴对称图形，不符合题意； 第三个图形可以看作轴对称图形，符合题意； 第四个图形不可以看作轴对称图形，不符合题意； 故答案为：B. 【思路点拨】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可. 5．（2021八上·江阴期中）如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有　 　种. 【答案】3 【规范解答】解：如图所示，根据轴对称图形的定义可知，选择一个小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，选择的位置可以有以下3种可能： 故答案为：3. 【思路点拨】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，等边三角形是轴对称图形，每条边上的中线所在的直线就是其对称轴，据此即可判断得出答案. 6．（2021八上·灌云月考）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示.小明按如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用10个这样的图形拼出来的图形的总长度是　 　（结果用含a、b的代数式表示）. 【答案】a＋9b 【规范解答】解：由于每块拼图两个拐角共长（a－b），每多一个图形长度就增加[ a－（a－b）]，故10个拼图的长度为：a＋9[ a－（a－b）]= a＋9b. 【思路点拨】根据题意得出每块拼图两个拐角共长（a－b），每多一个图形长度就增加[ a－（a－b）]，从而得出10个拼图的长度为a＋9[ a－（a－b）]，进行化简即可得出答案. 7．（2021八上·姜堰月考）如图，在正方形网格中有两个小正方形被涂黑，再涂黑一个图中其余的小正方形，使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有　 　种. 【答案】5 【规范解答】解：如图所示： 所标数字处都可以使得整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，共5种涂法. 故答案为：5. 【思路点拨】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案. 8．（2021八上·苏州月考）在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是　 　． 【答案】圆 【规范解答】线段有2条对称轴； 圆有无数条对称轴； 等边三角形有3条对称轴； 正方形有4条对称轴； 角有1条对称轴； 故答案为：圆. 【思路点拨】根据图形得到线段有2条对称轴，圆有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，角有1条对称轴. 9．（2021八上·岳池期中）如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1.请分别在下列图中画一个位置不同、顶点都在格点上的三角形，使其与 成轴对称图形. 【答案】解：如图所示： 【思路点拨】根据轴对称图形的定义，找出不同的对称轴，再画出对称图形，即可得出答案. 10．（2020八上·泰兴月考）作图题 （1）如图所示，画出△ABC关于直线MN的轴对称图形. （2）已知：∠AOB和两点M、N，求作：一点P，使点P到∠AOB两边的距离相等，且PM＝PN.（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】（1）解：如下图所示：△FGH即为所求. （2）解：如下图所示：点P即为所求. 【思路点拨】（1）分别作点A、点B、点C关于MN的对称点，顺次连接F、G、H，△FGH即为所求.（2）本题首先以点O为圆心，OC为半径作圆弧，交OB边于点V，继而分别以点C、点V为圆心，大于 CV长度为半径作圆弧，相交于点T，连接OT，最后作线段MN的垂直平分线KL，OT与KL相交于点P，点P即为所求. 培优题真题练 12．（2021八上·姜堰月考）下列说法： ①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形②两个全等的三角形关于某条直线对称③到某条直线距离相等的两个点关于这条直线对称④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲是轴对称图形其中，正确说法个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【规范解答】解：①关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，①是正确的；②两个全等的三角形不一定组成轴对称图形，②是错误的；③对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，且到这条直线距离相等的两个点关于这条直线对称，③错误；④如果图形甲和图形乙关于某条直线对称，则图形甲不一定是轴对称图形，④错误，正确的说法有1个，所以A选项是正确的. 故答案为：A. 【思路点拨】根据全等三角形的概念可判断①；根据全等三角形的性质可判断②；根据轴对称的性质可判断③；根据轴对称图形的概念可判断④. 13．（2021八上·济宁月考）用数学的方式理解“当窗理云鬓，对镜贴花黄”和“坐地日行八万里”（只考虑地球的自转），其中蕴含的图形变换是(　　) A．平移和旋转 B．对称和旋转 C．对称和平移 D．旋转和平移 【答案】B 【规范解答】根据对称和旋转定义可知： “当窗理云鬓，对镜贴花黄”是对称； “坐地日行八万里”是旋转． 故选B． 【思路点拨】要理解“对镜贴花黄”是指人和镜像的对称关系；“坐地日行八万里”是指人绕地心旋转. 14．（2020八上·镇江期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【规范解答】解：如图所示： ， 共3个， 故答案为：C. 【思路点拨】利用轴对称图形的性质，分别画出符合题意的图形，可得答案. 15．（2020八上·江都月考）如图，△ABE、△BDC 和△ABC 分别是关于 AB，BC 边所在直线对称的轴对称图形，若∠1：∠2：∠3=9：2：1，则∠4 的度数为　 　. 【答案】90° 【规范解答】解：由△ABE、△BDC 和△ABC 分别是关于 AB，BC 边所在直线对称的轴对称图形，可得： ∠EAB=∠2，∠3=∠DCB， ∠1：∠2：∠3=9：2：1，∠1+∠2+∠3=180°， ， ； 故答案为90°. 【思路点拨】由题意易得∠EAB=∠CAB，∠ACB=∠DCB，由∠1：∠2：∠3=9：2：1及三角形内角和可得∠2=30°，∠3=15°，然后根据三角形外角的性质可求解. 16．（2019八上·海安月考）如图，在一个规格为6×12（即6×12个小正方形）的球台上，有两个小球A，B.若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点　 　.（填P1至P4点中的一个）. 【答案】P2 【规范解答】解：如图， 应瞄准球台边上的点P2. 【思路点拨】作出点A关于台边的对称点，连接B与对称点，它与台边的交点即为所求. 17．（2022八上·宿豫开学考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形． 【答案】解：作轴对称图形如下答案不唯一： 【思路点拨】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此作图. 18．（2019八上·连云港期末）如图 ，是由 个白色 和 个黑色 全等正方形组成的“ ”型图案，请你分别在图 ，图 ，图 上按下列要求画图： 在图案中，添 个白色或黑色正方形，使它成轴对称图案； 【答案】解：如图 在图案中，添 个白色或黑色正方形，使它成中心对称图案； 解：如图 在图案中，先改变 个正方形的位置，再添 个白色或黑色正方形，使它既成中心对称图案，又成轴对称图案． 解：如图 【思路点拨】（1）轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。根据定义可作出图形； （2）在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。据定义可作出图形； （3）根据轴对称和中心对称图形的定义即可求解。 19．（2021八上·江阴月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=13，CD=9，若AD：AC=4：5. （1）求△ABC的面积； （2）若点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着CD—DA运动，设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PAB为轴对称图形？ 【答案】（1）解：∵AD：AC=4：5. ∴可设AD=4x，AC=5x， 在 中，CD=9，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2， ∴ ，解得： 或 （舍去） ∴AD=4x=12，AC=5x=15， 在 中，AB=13，由勾股定理得： ∴ ， ∴BC=BD+CD=5+9=14， ∴△ABC的面积为 ； （2）解：由△PAB为轴对称图形，得：△PAB 是等腰三角形， 如图，当AB=BP=13时， ∴PC=BC-BP=14-13=1， 此时 （秒） ； 如图，当AB=AP=13时，点P只能在线段CD上， ∵AD⊥BC， ∴PD=BD=5， ∴BP=10， ∴PC=BC-BP=4， ∴ （秒）； 如图，当BP=AP，且点P在线段CD上时， 设DP=a，则BP=AP=5+a， 在 中，由勾股定理得： AP2=AD2+DP2， ∴ ，解得： ， 即 ，故此情况不成立； 如图，当BP=AP，且点P在线段AD上时，过点P作PM作PM⊥AB于点M， 设PD=m，则BP=AP=12-m， 在 中，由勾股定理得：BP2=BD2+DP2， ∴ ，解得： ， ∴PD+CD= ， ∴此时 （秒）； 综上所述，当t为 秒或 秒或 秒时，△PAB为轴对称图形. 【思路点拨】（1）根据勾股定理求出AD、AC、BD的长，从而求出BC的长，再利用三角形的面积公式进行计算，即可得出答案； （2）分四种情况讨论： 当AB=BP=13时， 求出PC的长，从而求出t的值；当AB=AP=13时，点P只能在线段CD上，求出PC的长，从而求出t的值；当BP=AP，且点P在线段CD上时，得出DP＞DC，即可得出此情况不成立；当BP=AP，且点P在线段AD上时，求出PD+CD的长，从而求出t的值，即可得出答案. 20．（2020八上·吴江月考）在 的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，请画出三种情形. 【答案】解：如图所示. 【思路点拨】根据轴对称图形的概念求解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$