专题01 正数、负数、有理数 （7大题型+过关训练）-2024-2025学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题01 正数 负数 有理数 目录 【题型一 正负数的意义】 1 【题型二 相反意义的量】 1 【题型三 正负数的实际应用】 1 【题型四 有理数的概念】 2 【题型五 0的意义】 2 【题型六 有理数的分类】 3 【题型七 带“非”字的有理数】 3 【题型一 】正负数的意义 例题：（2022秋·江西宜春·七年级校考阶段练习）如果“盈利”记作，那么表示（    ） A．盈利 B．亏损 C．少赚 D．亏损 【变式训练】 1．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温上升2℃记作℃，则下降5℃记作 ℃． 【题型二 】相反意义的量 例题：（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）下面四个数中，负数是（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式训练】 1．（2023秋·江西萍乡·七年级统考期末）如果把逆时针方向转记为，那么顺时针方向转应记为 ． 【题型三 】正负数的实际应用 例题：（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出100元记作－100元，则＋60元表示（    ） A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元 【变式训练】 1．（2021秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，已知上周五（周末不开市）沪市指数以1850点报收，本周内股市涨跌情况如表（“”表示比前一天涨，“”表示比前一天跌），那么本周五的沪市指数报收点为 ． 星期 一 二 三 四 五 股指变化/点 【题型四 】有理数的概念 例题：（2023秋·湖北·七年级校考周测）下列各有理数：，1，8.6，，0，，，，，中（    ） A．只有1，，，是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有1，8.6，，0 D．只有，，是负分数 【变式训练】 1．有理数1.7，-17，0，，-0.001，，2003和-1中，负数有 个，其中负整数有 个，负分数有 个． 【题型五 】0的意义 例题：下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 【变式训练】 1．（2022秋·全国·七年级专题练习）0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【题型六 】有理数的分类 例题：（2023秋·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）在，＋，，，，，中．负分数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）把下列各数填在相应的集合圈里；（将各数用逗号隔开） ，，，，0，，，．    【题型七 】带“非”字的有理数 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）在五个数中，非负有理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2022秋·河北沧州·七年级校考阶段练习）在下列各数，，，，，中，非负数有 个． 一、选择题 1．（2022秋·海南海口·七年级校考期中）下列各数：中，有理数的个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．徐老师家买了台冰箱，冰箱冷藏室的温度零上5℃记为+5℃，冷冻室的温度零下18℃记为（    ） A．+18℃ B．-18℃ C．0℃ D．-5℃ 3．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各数中，负数是（　　） A． B． C． D． 4．如果水库的水位高于正常水位5m时，记作+5m，那么低于正常水位3m时，应记作（　　）． A．+3m B．-3m C．+3 D．-3 5．（2023秋·七年级课时练习）规定：表示向左移动3记作：，则表示向右移动5记作（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．在数8.3，4，0.8，，0，90，，中，负整数有 个． 7．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期中）小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么－4万元表示 ． 8．（2022秋·七年级课时练习）在数－23，5，，0，4，，5.2中，是整数的 ；非正数集合 9．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）若约定向北走8km记作＋8km，那么向南走5km记作 km． 10．（2022秋·山西太原·七年级山西大附中校考阶段练习）有理数，0，，，，3%中，整数是 ；负分数是 ；非负数是 . 三、解答题 11．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）把下列各数分别填在表示它所在的集合里： -5，，0，-3.14，，2012，1.99， （1）正数集合：{                       }； （2）负数集合：{                       }； （3）整数集合：{                       }； （4）分数集合：{                       }． 12．（2022秋·七年级课时练习）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km）如下：－4，＋9，－10，＋10，－5，－12．问： （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车耗油量为0.08L/km，这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ （3）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.5元，则小李这天上午共得车费多少元？ 13．出租车司机小王某天下午营运是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程(单位：千米)如下： ＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6. (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车时的出发点多远？ (2)若汽车耗油量为0.05升/千米，这天下午小王的汽车共耗油多少升？ 14．某检修小组乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东走为正，向西走为负．某天从A地出发到收工时，行走记录（长度单位：千米）为：+15，－2，+5，－1，+10，－3． ⑴问收工时，检修小组在A处的哪一边，距A地多远？ ⑵若汽车每千米的耗油为升，求从出发到收工共耗油多少升？ 15．把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，，﹣10，3.14 （1）正数集合：{　 　} （2）负数集合：{　 　} （3）整数集合：{　 　} （4）分数集合：{　 　} （5）非负整数集合：{　 　} 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 正数 负数 有理数 目录 【题型一 正负数的意义】 1 【题型二 相反意义的量】 2 【题型三 正负数的实际应用】 2 【题型四 有理数的概念】 3 【题型五 0的意义】 4 【题型六 有理数的分类】 5 【题型七 带“非”字的有理数】 6 【题型一 】正负数的意义 例题：（2022秋·江西宜春·七年级校考阶段练习）如果“盈利”记作，那么表示（    ） A．盈利 B．亏损 C．少赚 D．亏损 【答案】B 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：∵“盈利”记作， ∴表示亏损． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【变式训练】 1．（2023秋·江西宜春·七年级统考期末）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温上升2℃记作℃，则下降5℃记作 ℃． 【答案】 【分析】根据“正”和“负”所表示的意义解答． 【详解】∵气温上升2℃记作℃， ∴下降5℃记作℃， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【题型二 】相反意义的量 例题：（2023秋·江西赣州·七年级统考期末）下面四个数中，负数是（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据正数大于0，负数小于0解答即可． 【详解】解：∵， ∴负数是． 故选B． 【点睛】本题考查的是负数概念，掌握在正数前面加负号“－”，叫做负数是解题的关键． 【变式训练】 1．（2023秋·江西萍乡·七年级统考期末）如果把逆时针方向转记为，那么顺时针方向转应记为 ． 【答案】/度 【分析】根据用正负数表示具有相反意义的量的表示方法进行即可． 【详解】解：“正”和“负”相对， ∵顺时针方向转记为， ∴逆时针方向转记为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了用正负数表示具有相反意义的量，当具有相反意义的一个量用正数表示时，另一个具有相反意义的量则用负数表示，理解这一点是解题的关键． 【题型三 】正负数的实际应用 例题：（2023春·江西南昌·九年级校考阶段练习）中国是世界上最早认识和应用负数的国家，比西方早一千多年，在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数．如果支出100元记作－100元，则＋60元表示（    ） A．支出40元 B．收入40元 C．支出60元 D．收入60元 【答案】D 【分析】根据正负数的意义解答即可． 【详解】解：如果支出100元记作-100元，则+60元表示收入60元， 故选：D． 【点睛】考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 【变式训练】 1．（2021秋·江西上饶·七年级统考期末）如图，已知上周五（周末不开市）沪市指数以1850点报收，本周内股市涨跌情况如表（“”表示比前一天涨，“”表示比前一天跌），那么本周五的沪市指数报收点为 ． 星期 一 二 三 四 五 股指变化/点 【答案】1920． 【分析】利用上周五的报收点数+本周各天涨跌指数的和计算即可． 【详解】解：本周五的沪市指数报收点为：1850+50-20+15-20+45=1850+110-40=1920点． 故答案为：1920． 【点睛】本题考查的是正负数在生活中的应用，掌握用正负数表示的相反意义的量，抓住基准解决问题是关键． 【题型四 】有理数的概念 例题：（2023秋·湖北·七年级校考周测）下列各有理数：，1，8.6，，0，，，，，中（    ） A．只有1，，，是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有1，8.6，，0 D．只有，，是负分数 【答案】D 【分析】根据正整数、整数（正整数、零和负整数）、非负数和负分数的定义进行解答即可． 【详解】解：A、整数包括：1，，0，，，故本选项错误； B、正整数只有两个，即1和，故本选项错误； C、非负数包括有1，8.6，，，0，故本选项错误； D、负分数包括，，，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是有理数的定义以及整数、正整数、非负数和负分数的定义，比较容易． 【变式训练】 1．有理数1.7，-17，0，，-0.001，，2003和-1中，负数有 个，其中负整数有 个，负分数有 个． 【答案】 5 2 3 【分析】根据负数的定义（以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数）以及负整数、负分数的定义，求解即可求得答案． 【详解】解：负数为：-17，，-0.001，，-1共5个； 负整数有：-17，-1，共2个； 负分数有：，-0.001，，共3个． 故答案为：5，2，3． 【点睛】此题考查了有理数的分类，注意掌握负数，负整数，负分数的定义． 【题型五 】0的意义 例题：下列结论正确的是（   ） A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数 C．0是最小的整数 D．0既不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据0的概念逐项判断即可得． 【详解】A、既不是正数，也不是负数，则此项错误； B、不是正数，则此项错误； C、整数包括负整数、和正整数，且没有最小的整数，则此项错误； D、既不是正数也不是负数，则此项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了0的概念，掌握理解0的概念是解题关键． 【变式训练】 1．（2022秋·全国·七年级专题练习）0既不是 ，也不是 ．0是 和 的分界点． 【答案】 正数/负数 负数/正数 正数/负数 负数/正数 【分析】根据0的意义求解即可． 【详解】解：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界点， 故答案为：正数；负数；正数；负数． 【点睛】本题主要考查了0的意义，熟知0的意义是解题的关键． 【题型六 】有理数的分类 例题：（2023秋·浙江绍兴·七年级校考阶段练习）在，＋，，，，，中．负分数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意找出负的分数，逐个分析，即可求解． 【详解】解：在，＋，，，，，中．负分数有，，，共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握是解题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）把下列各数填在相应的集合圈里；（将各数用逗号隔开） ，，，，0，，，．    【答案】答案见解析 【分析】有理数分为：正整数、负整数、零、正分数、负分数；根据定义分类即可． 【详解】解：把各数填入如下图：    【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法，对所给的数进行准确地分类是解题的关键． 【题型七 】带“非”字的有理数 例题：（2023秋·全国·七年级课堂例题）在五个数中，非负有理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】找出五个数中非负有理数即可． 【详解】解：在“”这五个数中，非负有理数是2.3，0， 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握非负有理数的定义是解本题的关键． 【变式训练】 1．（2022秋·河北沧州·七年级校考阶段练习）在下列各数，，，，，中，非负数有 个． 【答案】 【分析】非负数包括正数和，据此即可求得答案． 【详解】非负数包括正数和，所以非负数为：，，，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数，牢记非负数的定义（正数和）是解题的关键． 一、选择题 1．（2022秋·海南海口·七年级校考期中）下列各数：中，有理数的个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据整数和分数统称为有理数，进行作答． 【详解】是有理数，π是无限不循环小数，不是有理数， 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的知识，关键是掌握有理数的定义． 2．徐老师家买了台冰箱，冰箱冷藏室的温度零上5℃记为+5℃，冷冻室的温度零下18℃记为（    ） A．+18℃ B．-18℃ C．0℃ D．-5℃ 【答案】B 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：冰箱冷藏室的温度为零上5℃，记作+5℃， 则冷冻室的温度零下18℃，记作-18℃， 故选：B． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 3．（2023秋·全国·七年级专题练习）下列各数中，负数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解：是负数，既不是正数也不是负数，和是正数． 故选：A． 【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“”得到负数是解题的关键． 4．如果水库的水位高于正常水位5m时，记作+5m，那么低于正常水位3m时，应记作（　　）． A．+3m B．-3m C．+3 D．-3 【答案】B 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果水库的水位高于正常水位5m时，记作+5m，那么低于正常水位3m时，应记作m． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正负数的意义，关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 5．（2023秋·七年级课时练习）规定：表示向左移动3记作：，则表示向右移动5记作（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，所以，表示向左移动3记作：，则表示向右移动5记作． 【详解】解：“正”和“负”相对， 表示向左移动3记作：，则表示向右移动5记作， 故选：D． 【点睛】此题考查了正数和负数，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 二、填空题 6．在数8.3，4，0.8，，0，90，，中，负整数有 个． 【答案】2 【分析】根据负整数的定义进行判断即可 【详解】解：∵=-24； ∴负整数有-4，两个 故答案为：2 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握相关知识的定义是解题的关键 7．（2022秋·河南洛阳·七年级统考期中）小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么－4万元表示 ． 【答案】支出4万元 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵把存入3万元记作+3万元， ∴－4万元表示支出4万元． 故答案为：支出4万元． 【点睛】此题主要考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 8．（2022秋·七年级课时练习）在数－23，5，，0，4，，5.2中，是整数的 ；非正数集合 【答案】 -23，5，0，4， -23，0 【分析】整数和分数统称为有理数，整数包含正整数、0、负整数；比0大的数是正数，非正数即0与负数，据此解题． 【详解】解：在数－23，5，，0，4，，5.2中， 整数的有：-23，5，0，4； 非正数的有：-23，0， 故答案为：-23，5，0，4；-23，0． 【点睛】本题考查有理数的分类、带“非”字的有理数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）若约定向北走8km记作＋8km，那么向南走5km记作 km． 【答案】-5 【分析】根据题目的规定，可知向北为正，则向南为负，因此向南走5km记作-5km． 【详解】解：由题意可知，向南走为负，记作-5km． 故答案：-5 【点睛】本题考查了正负数，解决此题的关键是理解相反意义的量． 10．（2022秋·山西太原·七年级山西大附中校考阶段练习）有理数，0，，，，3%中，整数是 ；负分数是 ；非负数是 . 【答案】 ，0， 0，，，3% 【分析】根据有理数的分类直接填空即可． 【详解】根据有理数的分类，整数是，0，；负分数是；非负数，即是正数和零，是0，，，3%. 故答案为：，0，；；0，，，3% 【点睛】本题考查有理数，熟悉有理数的分类是本题的关键． 三、解答题 11．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）把下列各数分别填在表示它所在的集合里： -5，，0，-3.14，，2012，1.99， （1）正数集合：{                       }； （2）负数集合：{                       }； （3）整数集合：{                       }； （4）分数集合：{                       }． 【答案】（1）正数集合：{ ，2012，1.99，，}； （2）负数集合：{-5，，-3.14，}； （3）整数集合：{-5，0，2012，，}； （4）分数集合：{   ，-3.14，，1.99，} 【分析】主要考查数的分类，分清正负数，整数分数即可 【详解】（1）正数集合：{ ，2012，1.99，，}； （2）负数集合：{-5，，-3.14，}； （3）整数集合：{-5，0，2012，，}； （4）分数集合：{   ，-3.14，，1.99，} 【点睛】正负数和有理数不存在包含与被包含的关系. 12．（2022秋·七年级课时练习）出租车司机小李某天上午营运时是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接六位乘客的行车里程（单位：km）如下：－4，＋9，－10，＋10，－5，－12．问： （1）将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ （2）若汽车耗油量为0.08L/km，这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ （3）若出租车起步价为10元，起步里程为3km（包括3km），超过部分每千米1.5元，则小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】（1）西12km；（2）4L；（3）108元 【分析】（1）把行程里程加起来即可； （2）把行程里程的绝对值加起来算出总路程，再进行计算即可； （3）分别算出6次计费加起来即可； 【详解】（1）， ， ， ， 答：小李在西12km处． （2）， ， ， ， 答：共耗油4L． （3）第一次车费：（元）， 第二次车费：（元）， 第三次车费：（元）， 第四次车费：（元）， 第五次车费：（元）， 第六次车费：（元）， ， 答：小李这天上午共得车费108元． 【点睛】本题主要考查了正负数的应用，准确计算是解题的关键． 13．出租车司机小王某天下午营运是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程(单位：千米)如下： ＋15，－2，＋5，－1，＋10，－3，－2，＋12，＋4，－5，＋6. (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车时的出发点多远？ (2)若汽车耗油量为0.05升/千米，这天下午小王的汽车共耗油多少升？ 【答案】小王距下午出车时的出发点向东39千米;3.25升． 【分析】（1）将题目中的数据相加即可解答本题； （2）将题目中的各个数据的绝对值相加再乘以0.05即可解答本题． 【详解】（1）＋15－2＋5－1＋10－3－2＋12＋4－5＋6＝39， 所以小王距下午出车时的出发点向东39千米； （2）＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝65(千米)， 65×0.05＝3.25(升)， 所以这天下午小王的汽车共耗油3.25升． 【点睛】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． 14．某检修小组乘一辆汽车沿公路检修线路，约定向东走为正，向西走为负．某天从A地出发到收工时，行走记录（长度单位：千米）为：+15，－2，+5，－1，+10，－3． ⑴问收工时，检修小组在A处的哪一边，距A地多远？ ⑵若汽车每千米的耗油为升，求从出发到收工共耗油多少升？ 【答案】（1）收工时，检修小组在A的东边，距A地24千米；（2）36a升． 【分析】（1）把行驶记录相加，然后根据正负数的规定解答； （2）求出行驶记录的绝对值的和，再乘以a即可． 【详解】（1）+15-2+5-1+10-3， =+30-6， =+24千米， 所以，收工时，检修小组在A的东边，距A地24千米； （2）|+15|+|-2|+|+5|+|-1|+|+10|+|-3|， =15+2+5+1+10+3， =36千米， ∵汽车每千米耗油量为a升， ∴从出发到收工共耗油36a升． 【点睛】此题考查正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 15．把下列各数填入相应的大括号内：﹣13.5，0，+27，﹣，，﹣10，3.14 （1）正数集合：{　 　} （2）负数集合：{　 　} （3）整数集合：{　 　} （4）分数集合：{　 　} （5）非负整数集合：{　 　} 【答案】见解析 【分析】利用正数，负数，整数，分数，以及非负整数定义判断即可． 【详解】（1）正数集合：{+27，，3.14}； （2）负数集合：{}； （3）整数集合：{0，+27，}； （4）分数集合：{，，，3.14}； （5）非负整数集合：{0，+27}， 【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$