专题1.2与二次函数解析式有关的九种类型问题-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（浙教版）

专题1.2与二次函数解析式有关的九种类型问题 目录 类型一、利用一般式求二次函数的解析式 2 类型二、利用顶点式求二次函数的解析式 2 类型三、利用交点式求二次函数的解析式 2 类型四、利用平移求二次函数的解析式 3 类型五、利用对称轴求二次函数的解析式 3 类型六、利用图象中的信息确定二次函数的解析式 3 类型七、利用表格中的信息确定二次函数的解析式 4 类型八、利用几何模型确定二次函数的解析式 5 类型九、利用实际生活问题确定二次函数的解析式 5 压轴能力测评（精选浙江地区中考模拟、阶段性测试26道） 6 1. 二次函数的解析式有三种常见形式： (1)一般式 (2)顶点式顶点坐标为（h,k） (3)交点式与x轴的交点为 ， 2.用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解． 一般地，当已知抛物线上三点或两点及对称轴时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 类型一、利用一般式求二次函数的解析式 1．（2024·河北邯郸·二模）在直角坐标系中，设函数（是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式； (2)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为若，求证：． 类型二、利用顶点式求二次函数的解析式 2．（22-23九年级下·安徽合肥·开学考试）当时，抛物线取得最小值为，且抛物线与轴交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若点，都在此抛物线上，试比较与的大小． 类型三、利用交点式求二次函数的解析式 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，，点的纵坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)若在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，求的值； 类型四、利用平移求二次函数的解析式 4．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是． (1)求A，C两点的坐标． (2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求P点的坐标及面积的最大值． 类型五、利用对称轴求二次函数的解析式 5．（22-23九年级上·青海西宁·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，抛物线的对称轴为直线，其中点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)已知，C为抛物线与y轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； 类型六、利用图象中的信息确定二次函数的解析式 6．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在斜坡底部点处安装一个的自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米 (1)求抛物线的解析式； (2)斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米 ①记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值斜坡可视作直线； ②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，直接写出自动喷水装置应向后平移即抛物线向左)多少米? 类型七、利用表格中的信息确定二次函数的解析式 7．（23-24九年级下·北京·开学考试）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点处）到落地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 已知：九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 5 6 7 9 竖直高度 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“”、“”或“”）． 类型八、利用几何模型确定二次函数的解析式 8．（22-23九年级下·安徽亳州·开学考试）某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图②，以下简称水池2）.如果设水池的边AD加长长度DM为，加长后水池1的总面积为，设水池2的边的长为，水池2的面积为.    (1)直接写出，关于x的函数解析式. (2)当水池1与水池2的面积相等时，求此时x的值. (3)当时，设，求W的最大值和此时x的值. 类型九、利用实际生活问题确定二次函数的解析式 9．（2022·湖北十堰·中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件）与销售时间（天）之间的关系式是 ，销售单价（元/件）与销售时间（天）之间的函数关系如图所示． (1)第15天的日销售量为_________件； (2)当时，求日销售额的最大值； (3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？ 压轴能力测评（精选浙江地区中考模拟、阶段性测试26道） 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）顶点为D的二次函数满足以下三个条件的任意两个： ①其与轴的交点为； ②其与x轴的交点为和； ③该函数其最大值为12 (1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式； (2)若存在直线，二次函数上的存在一个点A，使得等于A到直线的距离，求出A点的坐标． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）设二次函数(a是常数，)． (1)若，求该函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． (3)若二次函数图象经过，两点，当，时，，求a的取值范围． 3．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为二次函数上两点，若，． (1)求该二次函数的对称轴以及其图象与x轴的交点个数． (2)若该二次函数图象恰好经过，，，其中一点，求a的最大值． 5．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 6．（2024·浙江宁波·三模）设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … … y … n 1 p … (1)若时，求二次函数的表达式； (2)若当时，y有最小值为，求a的值； (3)若是函数图象上的点，若当时，，求a的值． 7．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）已知二次函数（为常数）的图象经过两点． (1)已知，求该二次函数的表达式． (2)当该二次函数图象经过点时． ①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)； ②若，求的取值范围． 8．（2024·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … … (1)请求出a和b的关系式． (2)若，求二次函数的表达式； (3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是负数，求的取值范围． 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)若此函数图象上三点，，，比较，，的大小．（用＜符号连接） (3)若将此二次函数的图象沿y轴翻折，直接写出翻折后的抛物线的表达式． 11．（19-20九年级上·浙江·周测）一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点 (1)求的值； (2)过点且垂直于轴的直线与二次函数的图像交于两点，点O为坐标原点，记，求关于的函数解析式并求的最小值． (3)已知点是二次函数图像上之间的一动点，求面积的最大值． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数（，为常数）的图象与x轴交于，两点． (1)若，两点的坐标分别为，，求的表达式． (2)设一次函数（为常数），若的函数表达式还可化为的形式，当函数的图象经过时，求的值． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，． (1)求a，b的值． (2)若，是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 14．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知抛物线（b是常数）经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点A关于抛物线的对称轴的对称点为，求抛物线顶点P与点A、所围成的三角形的面积． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与直线交于且对称轴为直线． (1)求的解析式． (2)若抛物线与直线的另一个交点为且坐标原点为，在抛物线上是否存在一点（点不与点重合），使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知函数，（为常数且） (1)若函数的图象经过点，两个点中的其中一个点，求该函数的表达式． (2)若函数的图象始终经过同一定点M． ①求点M的坐标和k的值． ②若，当时，判断与的大小并说明理由． 17．（2023·浙江·模拟预测）已知两个二次函数为，当时，取最小值6且，二次函数的最小值为，．求： (1)的值； (2)二次函数表达式． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，有二次函数的图象． (1)若该图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)，是该函数图象上的两个不同点； 若时，有，求的值； 当时，恒有，试求的取值范围． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）设二次函数（，为常数，），已知． (1)若该函数的对称轴为直线，求该二次函数的表达式． (2)无论，为何值，该二次函数一定过一个定点，请求出该定点坐标． (3)当时，随的增大而增大，求实数的最大值． 20．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的正半轴交于点A．    (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当时，求的面积． 21．（23-24九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式．； (2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点． ①若点在二次函数的图像上，求的最大值． ②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围． 22．（2024·山西吕梁·模拟预测）随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点P离地面的距离为9米，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的表达式． (2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与的水平距离． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，点的横坐标为，与轴相交于点．        (1)求出抛物线的解析式． (2)求出抛物线与轴的交点坐标． (3)根据图象，当时，直接写出自变量的取值范围． 24．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 25．（2024·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 26．（2024·山东临沂·二模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元）×年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润总销售额生产费用） 年销售量（万件） 20 40 总销售额（万元） 560 1040 (1)求与以及与之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ (3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2与二次函数解析式有关的九种类型问题 目录 类型一、利用一般式求二次函数的解析式 2 类型二、利用顶点式求二次函数的解析式 3 类型三、利用交点式求二次函数的解析式 4 类型五、利用对称轴求二次函数的解析式 5 类型四、利用平移求二次函数的解析式 7 类型六、利用图象中的信息确定二次函数的解析式 8 类型七、利用表格中的信息确定二次函数的解析式 10 类型八、利用几何模型确定二次函数的解析式 11 类型九、利用实际生活问题确定二次函数的解析式 12 压轴能力测评（精选浙江地区中考模拟、阶段性测试26道） 14 1. 二次函数的解析式有三种常见形式： (1)一般式 (2)顶点式顶点坐标为（h,k） (3)交点式与x轴的交点为 ， 2.用待定系数法求二次函数的解析式 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解． 一般地，当已知抛物线上三点或两点及对称轴时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 类型一、利用一般式求二次函数的解析式 1．（2024·河北邯郸·二模）在直角坐标系中，设函数（是常数，）． (1)若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式； (2)已知，当（是实数，）时，该函数对应的函数值分别为若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，第（2）小问的关键是利用，首先对代数式化简，然后配方说明的范围． （1）使用待定系数法求二次函数解析式，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可． （2）已知，则，容易得到，利用，即代入，对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证． 【详解】（1）由题意，得 解得, 所以，该函数表达式为． （2）由题意，得，， 所以 ， 由条件，知， 所以． 类型二、利用顶点式求二次函数的解析式 2．（22-23九年级下·安徽合肥·开学考试）当时，抛物线取得最小值为，且抛物线与轴交于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)若点，都在此抛物线上，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）将抛物线化为顶点式代值即可求解； （2）根据题意分、、三种情况进行讨论即可； 【详解】（1）解：当时，抛物线取得最小值为， ∴该抛物线的顶点坐标为； 抛物线的顶点式为， 将顶点代入得， 将代入得， 解得：. ∴. ∴. （2）由可知该函数对称轴为； 当时，y随x的增大而减小， ∴； 当时，y随x的增大而增大， ∴； 当时， ①当时，； ②当时，； 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据题意灵活应用是解题的关键. 类型三、利用交点式求二次函数的解析式 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，，点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，求的值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设是抛物线在上方的一点，，当取得最大值时，的长即为所求，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，，， ∴设， ∵点在轴且纵坐标为，则， 将代入得： 解：， ∴函数表达式为； （2）解：∵， ∴，则是等腰直角三角形， 设直线的解析式为 则 解得： ∴直线 如图所示，设是抛物线在上方的一点，，作轴交于于点，    设是抛物线在上方的一点，，当取得最大值时，则在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，此时， 设，则 ∴, ∵轴，则是等腰直角三角形， ∴ 则时取得最大值，， ∴ 类型五、利用对称轴求二次函数的解析式 4．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点B的坐标是． (1)求A，C两点的坐标． (2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求P点的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)； (3)存在，面积有最大值，P点坐标为． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图象平移的性质，分割法求三角形面积是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式，再根据图象上点的坐标特点求A、C的坐标； （2）根据D点的平移情况确定函数图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，即可求平移后的函数解析； （3）过点P作轴交于点Q，设，则，可得，当时，的面积有最大值，此时P点坐标为． 【详解】（1）解：将点代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴， 当时，， 解得或， ∴； （2）当时，， ∴， ∵平移后D点到A点位置， ∴函数图象向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴； （3）存在点P，使的面积最大，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作轴交于点Q， 设，则， ∴， ∴ 当t时，的面积有最大值， 此时P点坐标为． 类型四、利用平移求二次函数的解析式 5．（22-23九年级上·青海西宁·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，抛物线的对称轴为直线，其中点A的坐标为． (1)求点B的坐标； (2)已知，C为抛物线与y轴的交点，求抛物线的解析式； (3)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）由抛物线的对称性和点A的坐标即可求得点B的坐标； （2）根据和对称轴为直线即可求出，将代入求得c的值，即可得到抛物线的解析式； （3）求出抛物线与y轴的交点C的坐标为，．设P点坐标为，由求出x的值，进一步即可得到点P的坐标； 【详解】（1）∵对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴A、B两点关于直线对称， ∵点A的坐标为， ∴点B的坐标为； （2）∵时，抛物线的对称轴为直线， ∴，解得． 将代入， 得，解得． 则二次函数的解析式为； （3）当时，， ∴抛物线与y轴的交点C的坐标为，． 设P点坐标为， ∵， ∴， ∴，． 当时，； 当时，． ∴点P的坐标为或． 类型六、利用图象中的信息确定二次函数的解析式 6．（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在斜坡底部点处安装一个的自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似的看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米 (1)求抛物线的解析式； (2)斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米 ①记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值斜坡可视作直线； ②如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，直接写出自动喷水装置应向后平移即抛物线向左)多少米? 【答案】(1)抛物线为 (2)①的最大值为；②喷射架应向后移动3米 【分析】此题考查了二次函数在实际问题中的应用； （1）根据当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，设设水流形成的抛物线为，代入点求出二次函数的解析式，即可求解； （2）①先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解； ②设喷射架向后平移了米，设出平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解． 【详解】（1）由题可知：当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米 可设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 抛物线为 （2）①由题可知点坐标为 设直线的解析式为，把点的坐标代入得： 解得 直线解析式为： 的最大值为 ②设喷射架向后平移了米，则平移后的抛物线可表示为 将点代入得： 解得：或舍去 喷射架应向后移动米 类型七、利用表格中的信息确定二次函数的解析式 7．（23-24九年级下·北京·开学考试）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系．实心球从出手（点处）到落地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． 已知：九年级一名男生进行了两次训练． (1)第一次训练时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 5 6 7 9 竖直高度 2 5 根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的二次函数关系； (2)第二次训练时，实心球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记该男生第一次训练实心球落地的水平距离为，第二次训练实心球落地的水平距离为，则______（填“”、“”或“”）． 【答案】(1)实心球竖直高度的最大值为，抛物线的解析式为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，实数的大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式． （1）先根据表格中的 找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，选出表格中的数据，利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）令落地点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出落地点的横坐标，进而得出和，进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可得，抛物线的顶点坐标为， 实心球竖直高度的最大值为， 设抛物线的表达式为， 当时，， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，（舍去）， ， 在中，令，则， 解得：，（舍去）， ， ，， ， 故答案为：． 类型八、利用几何模型确定二次函数的解析式 8．（22-23九年级下·安徽亳州·开学考试）某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图②，以下简称水池2）.如果设水池的边AD加长长度DM为，加长后水池1的总面积为，设水池2的边的长为，水池2的面积为.    (1)直接写出，关于x的函数解析式. (2)当水池1与水池2的面积相等时，求此时x的值. (3)当时，设，求W的最大值和此时x的值. 【答案】(1)， (2)当或时，水池1与水池2的面积相等 (3)当时，最大，最大值为 【分析】（1）根据长方形的面积公式解答即可； （2）当时，可得关于x的方程，解方程即得答案； （3）根据二次函数的性质求解即可 【详解】（1）， （2）当时，， 解得，， ∴当或时，水池1与水池2的面积相等； （3）当时，， ∵， ∴当时，最大，最大值为. 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握解一元二次方程的方法和二次函数的性质是解题的关键. 类型九、利用实际生活问题确定二次函数的解析式 9．（2022·湖北十堰·中考真题）某商户购进一批童装，40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量（件）与销售时间（天）之间的关系式是 ，销售单价（元/件）与销售时间（天）之间的函数关系如图所示． (1)第15天的日销售量为_________件； (2)当时，求日销售额的最大值； (3)在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？ 【答案】(1)30 (2)2100元 (3)9天 【分析】（1）将直接代入表达式即可求出销售量； （2）设销售额为元，分类讨论，当时，由图可知，销售单价；当时，有图可知，p是x的一次函数，用待定系数法求出p的表达式；分别列出函数表达式，在自变量取值范围内求取最大值即可； （3）分类讨论，当和时列出不等式，解不等式，即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，销售量； 故答案为30； （2）设销售额为元， ①当时，由图可知，销售单价， 此时销售额 ∵， ∴随的增大而增大 当时，取最大值 此时 ②当时，有图可知，p是x的一次函数，且过点（20，40）、（40，30） 设销售单价， 将（20，40）、（40，30）代入得： 解得 ∴ ∴ ∵， ∴当时，随的增大而增大 当时，取最大值 此时 ∵ ∴的最大值为2100， ∴当时，日销售额的最大值为2100元； （3）当时， 解得 ∴ 当， 解得 ∴ ∴，共9天 ∴日销售量不低于48件的时间段有9天． 【点睛】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应用题的综合题型，解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，求出函数表达式，其中自变量取值范围是易错点、难点． 压轴能力测评（精选浙江地区中考模拟、阶段性测试26道） 1．（2024·浙江杭州·模拟预测）顶点为D的二次函数满足以下三个条件的任意两个： ①其与轴的交点为； ②其与x轴的交点为和； ③该函数其最大值为12 (1)从以上条件任选两个，求出函数的表达式； (2)若存在直线，二次函数上的存在一个点A，使得等于A到直线的距离，求出A点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查的重点是利用待定系数法求函数的解析式，熟练掌握点和直线，两点间距离公式． （1）选择任意两个条件用待定系数法，就可以求出函数的表达式； （2）根据函数的表达式，计算出点D的坐标，利用点和直线，两点间距离公式就可以计算出点A的坐标． 【详解】（1）解：选择条件①和②， ∵二次函数与y轴的交点为 ∴， ∵二次函数与x轴的交点为和； ∴将点和代入函数， ∴， ∴函数的表达式 答：函数的表达式为：； （2）解：设点A的坐标为， ∵点D为函数的顶点， 则对称轴， 把代入，得， ∴点D的坐标为， ∵直线， ∴点A到直线的距离， ∴， 设 ∵A到直线的距离等于， ∴ ∴， ∴或， 把代入，得 ∴点，或 答：点A的坐标为：或． 2．（2024·浙江宁波·模拟预测）设二次函数(a是常数，)． (1)若，求该函数图象的顶点坐标． (2)若该二次函数图象经过，，三个点中的一个点，求该二次函数的表达式． (3)若二次函数图象经过，两点，当，时，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，函数图象上点的坐标特征，待定系数法， （1）当时，二次函数化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）先判断抛物线过点，代入解析式即可求得，从而求得抛物线的解析式． （3）分和两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果． 【详解】（1）解：当时，二次函数， 化为顶点式为：， ∴该函数的顶点坐标为． （2）当时， 此时，因此不过． 当时， ， 此时，因此不过， 故抛物线过点，把代入得： ， 解得：， 代入二次函数的表达式为：， 整理得： 故二次函数的表达式为：． （3）∵二次函数(a是常数，)的图像与x轴交点，， ∴二次函数图像的对称轴为， ①当时，函数图象开口向上， ∵，， ∴，即位于对称轴右侧， 如果不位于对称轴左侧，则，与矛盾， 如果位于对称轴左侧，位于对称轴右侧， 则， ∴， 解得：(舍去)， ②当时， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 化简整理得，， ∵，即， ∴，解得； 综上所述，． 3．（2023·浙江·模拟预测）如图，已知二次函数图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)或 【分析】 本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式． （1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标； （2）求出、B关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案． 【详解】（1） 把和代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为； （2） 如图： 点关于对称轴直线的对称点，点关于对称轴直线的对称点， 由图像可得，当时，的范围是或 4．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，，为二次函数上两点，若，． (1)求该二次函数的对称轴以及其图象与x轴的交点个数． (2)若该二次函数图象恰好经过，，，其中一点，求a的最大值． 【答案】(1)对称轴为直线，其图象与x轴有1个交点 (2)a的最大值为1 【分析】 本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出． （1）根据，，先确定抛物线的对称轴为直线，然后得出，代入得出函数解析式为：，令，根据一元二次方程根的判别式，判断根的情况，即可得出答案； （2）将四个点的坐标分别代入函数解析式中求出a的值，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴该二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得：， 令， ∵， ∴有一个解， ∴该二次函数图象与x轴有1个交点． （2）解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴a的最大值为1． 5．（2024·浙江·模拟预测）已知：二次函数（m是常数） (1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）． (2)若该二次函数图象与直线交于A，B两点（点A在点B的右侧），这两点的横坐标分别为，，求证：是个定值． (3)已知点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解． （2）利用根与系数的关系即可判断； （3）求得直线的解析式为，即可得到抛物线的顶点在直线上，分别求得抛物线过、点时的的值，结合图象即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线顶点坐标为． （2）证明：由题意可知，，是方程，即的两个根， ，， ． 是个定值． （3）解：设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， 直线解析式为． 抛物线顶点坐标为， 抛物线的顶点在直线上， 当时，抛物线与线段有1个交点，当时，抛物线与线段有2个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 将代入得， 解得，， 时，抛物线与线段有1个交点， 综上所述，该二次函数图象与线段只有一个交点，的取值范围是或． 6．（2024·浙江宁波·三模）设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … … y … n 1 p … (1)若时，求二次函数的表达式； (2)若当时，y有最小值为，求a的值； (3)若是函数图象上的点，若当时，，求a的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求二次函数表达式即可； （2）设，由抛物线过可得，即，然后分和分两种情况分别运用二次函数的性质进行解答即可； （3）分和分两种情况分别运用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得：，解得：， ∴； （2）解：设， ∵经过， ∴， ∴， ∴， ①若时，当时，， ，解得：， ②若时，当时，， ，解得， ∴综上所述：或； （3）解：若时，当时，， ∴， ∴， 若时，当时，；当时，， ∵表格中当时，， ∴不符合题意； ∴综上所述：． 7．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）已知二次函数（为常数）的图象经过两点． (1)已知，求该二次函数的表达式． (2)当该二次函数图象经过点时． ①求该二次函数图象的对称轴和最小值(用含的代数式表示)； ②若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①直线，；② 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数求最值等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）①该二次函数图象经过和可得对称轴为直线，进而得到，再采用配方法即可解答；②分和两种情况分别根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：把分别代入， 得，解得． 该二次函数表达式为． （2）解：①该二次函数图象经过和 对称轴为直线． ∴，解得：， ，最小值为．     ②当时，，符合要求； 当时，关于对称轴的对称点为， ，而在对称轴右侧，随的增大而增大． ， ． 故的取值范围是． 8．（2024·浙江温州·一模）已知抛物线的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数的最值得到当时，函数的最大值为．再结合二次函数图像，二次函数增减性，以及，得到当时，最大值在处取得，最后根据二次函数性质即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得； 将代入，得到，解得， 所以函数解析式为． （2）解：当时，， ，可知函数顶点为， 即当时，函数的最大值为． ∴ ， ∴， ∴时函数值都是 当时，最大值在处取得， 的取值范围为． 9．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： … 0 1 2 3 … … … (1)请求出a和b的关系式． (2)若，求二次函数的表达式； (3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用图象上当或时，，可得，从而可得答案； （2）把，代入，再建立方程组解题即可； （3）根据题意，结合，则二次函数为，得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵当或时，， ∴二次函数的对称轴为直线： ， ∴； （2）解：把，代入， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式是； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴是顶点，和关于对称轴对称， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是负数，则抛物线必须开口向上，且， ∵， ∴二次函数为， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点． (1)求该二次函数表达式； (2)若此函数图象上三点，，，比较，，的大小．（用＜符号连接） (3)若将此二次函数的图象沿y轴翻折，直接写出翻折后的抛物线的表达式． 【答案】(1)抛物线解析式为； (2) (3) 【分析】（1）设顶点式，然后把已知点的坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式； （2）先分别计算，，，再比较大小即可； （3）根据关于y轴对称的点的坐标特点可得翻折后的解析式． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把 代入得 ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）∵此函数图象上三点，，， ∴，，， ∴； （3）由关于y轴翻折的两点坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴关于关于y轴翻折的解析式为， 即． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 11．（19-20九年级上·浙江·周测）一次函数与二次函数的图像的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点 (1)求的值； (2)过点且垂直于轴的直线与二次函数的图像交于两点，点O为坐标原点，记，求关于的函数解析式并求的最小值． (3)已知点是二次函数图像上之间的一动点，求面积的最大值． 【答案】(1)，， (2)，最小值为7 (3)最大值为 【分析】（1）将代入求出k值，进而求出顶点F的坐标，再将代入求出a值； （2），将二次函数解析式与直线联立，求含m的代数式表示出，代入即可； （3）过点P作轴交一次函数的图象于点H，设点，则，根据即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得； 一次函数解析式为， 二次函数的图象的顶点为，点F在一次函数图象上， ， 将代入，得， 解得， 综上可知，，； （2）解：如图所示， 点，， 点A在线段上，， 由（1）知，， 抛物线解析式为， 联立，得， 整理得， 解得， ， ， ，， ∴当时，W取得最小值7； （3）解：如图，过点P作轴交一次函数的图象于点H， 设点，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为． 【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数图像与直线的交点问题，求二次函数的最值等，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数（，为常数）的图象与x轴交于，两点． (1)若，两点的坐标分别为，，求的表达式． (2)设一次函数（为常数），若的函数表达式还可化为的形式，当函数的图象经过时，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（）根据待定系数法求解析式即可求解； （）先求出的函数解析式，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可． 【详解】（1）将，代入中得： ， 解得， ∴； （2）由题可知， ∴， ∵当时，， ∴， ∴或． 【点睛】此题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，掌握待定系数法求二次函数解析式及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知抛物线经过点，． (1)求a，b的值． (2)若，是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）分别求出和，根据列出方程，解方程即可． 【详解】（1）将，代入，得： ， 解得 （2）当时， ∵ ∴ 解得， ∴ 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，用待定系数法求出a,b的值是解题的关键． 14．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）已知抛物线（b是常数）经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点A关于抛物线的对称轴的对称点为，求抛物线顶点P与点A、所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）应用待定系数法即可求得； （2）根据题意先求出抛物线的对称轴，进而得出点，再求出顶点，然后根据三角形的面积公式即可求． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：如图，    抛物线 抛物线的对称轴为，顶点坐标， ， ， 点P与点A、所围成的三角形的面积为1． 【点睛】本题是二次函数待定系数法求解析式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线与直线交于且对称轴为直线． (1)求的解析式． (2)若抛物线与直线的另一个交点为且坐标原点为，在抛物线上是否存在一点（点不与点重合），使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为∶或． 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式可求出的解析式，结合抛物线的对称轴及点的坐标可求出的解析式． （2）先求出点的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可解决问题． 【详解】（1）解：将点坐标代入得，， 所以． 因为抛物线的对称轴是直线， 所以， 解得． 将点坐标代入得，， 所以． （2）解：将二次函数和一次函数解析式联立方程组得， ， 解得或 ∴点的坐标为，． ∴，， ∵， ∴ ∵，， ∴． 将代入得，， 解得． 所以点或． 将代入得，， 此方程无解． 综上所述，点的坐标为∶或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的交点问题，能根据所给条件求出二次函数和一次函数的解析式是解题的关键． 16．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知函数，（为常数且） (1)若函数的图象经过点，两个点中的其中一个点，求该函数的表达式． (2)若函数的图象始终经过同一定点M． ①求点M的坐标和k的值． ②若，当时，判断与的大小并说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)①，；②，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）①由函数经过点，对于函数，当时，，推出当时，两个函数过定点； ②设，即可求解． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 则抛物线过定点，则不能过， 把代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：①函数， 该函数恒经过点， ∵函数、的图象始终经过同一定点M， 当时，， 由（1）可得，经过定点， 对于函数，当时，， ∴当时，两个函数都过定点， ②∵，， 设， 令， ∴或， ∵，故函数y开口向上， 则当时，， 即． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．（2023·浙江·模拟预测）已知两个二次函数为，当时，取最小值6且，二次函数的最小值为，．求： (1)的值； (2)二次函数表达式． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意得，进而解一元二次方程即可求解； （2）设，，根据对应项系数相等列方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵当时，取最小值6且，， ∴，即， 解得或， ∵， ∴； （2）解：由题意，设，， 由， ∴，解得， ∴，． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数最值问题、解一元二次方程，根据题意得出相关方程（组）是解决问题的关键． 18．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在平面直角坐标系中，有二次函数的图象． (1)若该图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)，是该函数图象上的两个不同点； 若时，有，求的值； 当时，恒有，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)；；． 【分析】（）直接将点代入即可； （）利用等式的性质，求解； 由已知当，对任意的，都有，则在时，二次函数是随的增大而增大，结合图象即可求解． 【详解】（1）∵函数图象过点， ∴将点代入， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）函数的对称轴是直线， ∵，为此二次函数图象上的两个不同点，且，则， ∴， ∴； 函数的对称轴是直线:， ∵，对任意的，都有， 当，时， ∴； 当时，不符合题意舍去； ∴综上可知的取值范围是． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的特征，能够运用数形结合思想进行求解是解题的关键． 19．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）设二次函数（，为常数，），已知． (1)若该函数的对称轴为直线，求该二次函数的表达式． (2)无论，为何值，该二次函数一定过一个定点，请求出该定点坐标． (3)当时，随的增大而增大，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的对称轴可得，结合题意可求得，，即可得到二次函数的解析式； （2）将代入，整理得，即可求解； （3）根据题意可得，求得二次函数的对称轴的取值范围为：，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：， 则， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， 则， ∴二次函数， 整理得，， 当时，即， 将代入，得， 故无论，为何值，该二次函数一定过一个定点，定点坐标为； （3）解：∵当时，随的增大而增大， ∴二次函数的开口向下，即， 则二次函数的对称轴为， ∵， ∴， 即二次函数的对称轴的取值范围为：， 故， 即的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 20．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，抛物线过点，对称轴是直线，且抛物线与轴的正半轴交于点A．    (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)在第二象限内的抛物线上有一点P，当时，求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线为：； (2)15 【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入函数的解析式，结合对称轴建立方程组求解二次函数的解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）确定A点坐标，然后设第二象限内抛物线上的点，结合勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得 抛物线的解析式为． 当，解得：，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：； （2）∵， ∴，则， 设第二象限内抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：，（舍去）， ∴，， ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及勾股定理的应用，求出函数解析式并利用数形结合思想解题是关键． 21．（23-24九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式．； (2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点． ①若点在二次函数的图像上，求的最大值． ②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】（1）待定系数法计算即可． （2）①设点的坐标为，则点的坐标为， 把代入构造h为函数的二次函数计算即可．②当，点的坐标为代入解析式，确定m的值，结合图像计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得，， ∴． （2）①设点的坐标为，则点的坐标为． 把代入，得： ， ， ∵，当时，且满足， ∴． ②设点的坐标为，则点的坐标为． 当，点的坐标为， 把代入得：， ∴或． ∴或 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 22．（2024·山西吕梁·模拟预测）随着多地中考体育项目以及分值的调整，游泳成为某些地区中考选考科目，如图某校新建成游泳馆的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点P离地面的距离为9米，以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．    (1)求抛物线的表达式． (2)学校计划在体育周举行游泳比赛，体育老师设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处位于地面上方2米，求条幅与的水平距离． 【答案】(1) (2)条幅与的水平距离为米到米之间 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键． （1）根据矩形的性质，求出点的坐标，进而求出点的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形，米，米， ∴米，米， ∴， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 设抛物线的解析式为：，把代入，得：， 解得：， ∴； （2）解：由题意，当时：， 解得：， 当时，， ∴条幅与的水平距离为米到米之间． 23．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，点的横坐标为，与轴相交于点．        (1)求出抛物线的解析式． (2)求出抛物线与轴的交点坐标． (3)根据图象，当时，直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线解析式求解即可； （2）令，解方程即可； （3）根据二次函数的对称性可得，结合函数图象，写出在轴上方且在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式， 得：， 解得：，， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为，当，则， 解得：, 与轴交点为，； （3）解：点与点关于轴对称，， ， 当或时，． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求函数解析式，解题的关键在于数形结合思想的运用． 24．（2024·浙江台州·一模）图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可； 对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案； 对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围． 【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是． 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得，，解得， ∴； （2）解： 由题意可得米， 将代入， 解得， ∴6根钢柱总长 (米)； （3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为． ∴抛物线解析式为. ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． 将代入， 可得，， ∴， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键． 25．（2024·河南周口·二模）某道路两侧有两个与地面垂直且长度相等的电线杆和，中间是自然垂下的电线，符合抛物线特征．两电线杆的距离为，电线杆上的电线离地面的距离均为，最低点到地面的距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式； (2)因实际需要，电力公司需要在 之间增设一根电线杆，若增设的电线杆距离为，使得左边形成的抛物线的最低点距为，到地面的距离为，求电线杆 上电线离地面的距离． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数解析式等知识，特别是抛物线的关系式的三种形式应熟练掌握，灵活应用． （1）根据题意，建立平面直角坐标系，根据抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式为，将代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）根据题意得左侧抛物线的顶点为，且过点，设左侧抛物线的函数表达式为 ，将代入函数表达式即可求得左侧抛物线的函数表达式，当时，代入函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：如下图所示，以A 为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． ∵，两电线杆间的距离为， ∴抛物线的顶点为 设抛物线的函数表达式为 将代入 得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为 （2）解：距离 为，，左侧抛物线的最低点到地面的距离为， ∴左侧抛物线的顶点为，且过点． 设左侧抛物线的函数表达式为 将代入 得．解得． ∴左侧抛物线的函数表达式为 ∴当时， ， ∴电线杆上电线离地面的距离为． 26．（2024·山东临沂·二模）某厂一种农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用（万元）与年产量（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图所示）；该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元）×年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比，部分数据如表所示．生产出的该产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获年毛利润为万元．（年毛利润总销售额生产费用） 年销售量（万件） 20 40 总销售额（万元） 560 1040 (1)求与以及与之间的函数解析式； (2)若要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为多少？ (3)若要使该产品的年毛利润不低于1000万元，结合函数图象，求该产品年销售量的变化范围． 【答案】(1)， (2)要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件 (3)年销售量大于50万元，小于100万元 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质等知识， （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据毛利润，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得到，求出，，然后根据年毛利润不低于1000万元求解即可． 【详解】（1）由题意，设． 经过点， ． 解得：． ． 设每件产品的预售额为元． 该产品的总销售额（万元）预售总额（万元）波动总额（万元），预售总额每件产品的预售额（元年销售量（万件），波动总额与年销售量的平方成正比， ． ． ． ； （2）由题意，， ， 当时，利润最大． 要使该产品的年毛利润最大，该产品的年产量应为75万件． （3）由题意，令， ． ． ． ，． 年毛利润不低于1000万元，且相应抛物线开口向下， 该产品年销售量的变化范围为：． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$