第15讲 双曲线及其方程（11考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第15讲 双曲线及其方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单性质．. 2．会应用双曲线的方程及其几何性质解决一些简单问题. 知识点 1 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 知识点 2 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 知识点 3 双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直． 拓广：双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. (5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S＝b2·，其中θ为∠F1PF2. 考点一：双曲线的定义及其应用 例1.（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 【变式1-2】（22-23高二·全国·课堂例题）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义可得，求的最小值相当于求的最小值，当三点共线时能取得最小值. 【详解】因为，所以要求的最小值， 只需求的最小值. 如图,连接交双曲线的右支于点.当点A位于点处时， 最小，最小值为. 故的最小值为.    故选：C 【变式1-3】（多选）（20-21高二上·全国·课后作业）(多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．7 C．17 D．22 【答案】AD 【分析】根据方程求得a，再利用双曲线的定义求解. 【详解】因为a2＝25，所以a＝5． 由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝10． 由题意知|PF1|＝12， 所以|PF1|－|PF2|＝±10， 所以|PF2|＝22或2． 故选：AD 考点二：由双曲线的定义求标准方程 例2.（23-24高二下·湖北·开学考试）已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过动圆与圆外切，且和圆内切列出关于圆心距的式子，通过变形可得双曲线的方程. 【详解】如图， 设动圆的半径为，则，， 则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为实轴长的双曲线的右支. 因为， 所以. 故动圆圆心的轨迹方程为. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程. 【详解】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义及两圆的位置关系计算即可. 【详解】由题意易知两圆圆心分别为，半径分别为， 设动圆圆心，半径， 则根据题意有, 根据双曲线的定义知的轨迹是以原点为中心，为左右焦点，为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为：. 故选：A 【变式2-3】  （23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题意，结合双曲线的定义即可求解. 【详解】设，， 由于动点的轨迹方程为 则， 故点M到定点与到定点的距离差的绝对值为8， 则动点的轨迹是以为焦点的双曲线， 由于，，则， 故M的轨迹方程为：， 故答案为：. 考点三：由a,b,c求双曲线的标准方程 例3.（23-24高二下·广西·阶段练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的焦点坐标与长轴上的顶点坐标，再设所求双曲线方程为，即可得到，，从而求出，即可得到双曲线方程. 【详解】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为， 设所求双曲线方程为， 所以，，所以， 所以双曲线方程为. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解. 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有， 又由双曲线的离心率为，有， 可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可. 【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：. 则，解得：. 所以双曲线的标准方程为. 故选：A 【变式3-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由题意可得条件，，从而得到双曲线标准方程.. 【详解】由题可得双曲线焦点在轴上，且，，所以，，则双曲线的标准方程为. 故答案为： 考点四：根据方程表示双曲线求参数 例4.（23-24高二下·江西·期中）已知方程表示的图形是：______．试分别求出的取值范围． (1)双曲线； (2)椭圆； (3)圆． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线方程的结构特征，得到不等式，求解即得； （2）根据椭圆方程的结构特征，得到不等式组，求解即得； （3）由圆的标准方程的特征，建立方程，求解即得. 【详解】（1）对于方程． 若方程表示双曲线，则，解得或， 即当时，方程表示双曲线； （2）根据题意得 即当时，方程表示椭圆； （3）由，解得，即当时，方程为表示圆. 【变式4-1】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意对方程变形，然后列出关于的不等式组，可求得答案. 【详解】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 【变式4-2】（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】对双曲线的焦点位置进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得； 若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，无解. 综上所述，. 故选：D. 【变式4-3】（多选）（23-24高二上·广东中山·期中）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 【答案】AC 【分析】根据曲线方程的特点可得答案. 【详解】若，即时，曲线表示圆，A正确； 当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确； 若表示双曲线，则有，即或，C正确； 若表示椭圆，则，解得且，D不正确. 故选：AC 考点五：根据双曲线过的点求双曲线方程 例5.（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线过和两点，求双曲线的标准方程． 【答案】． 【分析】方法一，双曲线的焦点位置不确定，可分类讨论用待定系数法求解，方法二，设双曲线方程为，解方程得解. 【详解】  解法一  当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为. 因为，在双曲线上， 所以 解得（不合题意，舍去）. 当双曲线的焦点在y轴上时， 设双曲线的方程为. 因为，在双曲线上， 所以 解得即，. 所以所求双曲线方程为． 解法二  因为双曲线的焦点位置不确定， 所以设双曲线方程为. 因为，在双曲线上， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为． 【变式5-1】（23-24高二上·福建泉州·期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）分析可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，代入运算求解即可； （2）设双曲线的标准方程为，代入点、运算求解即可. 【详解】（1）因为，可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为， 代入，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设双曲线的标准方程为， 代入点、可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【变式5-2】（22-23高二·全国·课堂例题）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，求出结合焦点位置得出双曲线方程； （2）由焦点坐标及双曲线上点，利用双曲线定义求出，即可得出双曲线方程. 【详解】（1）由已知得5，．因此，且． 又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是． （2）由已知得双曲线的焦点在y轴上，且，所以另一个焦点坐标为. 因为点在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为 ， 因此，从而． 因此，所求双曲线的标准方程是． 【变式5-3】（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)焦点在y上，且经过点和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点及a求出可写出标准方程； （2）根据焦点及双曲线上的点利用定义求出a，再求即可得解； （3）设出双曲线方程，代入点求出，得解. 【详解】（1）由题意，，所以， 又焦点在轴上， 所以所求双曲线方程为. （2）由题意，焦点在轴上，， 又经过点， 所以， 所以，又， 所以所求双曲线方程为. （3）因为焦点在y上，所以设， 因为经过点和， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为. 考点六：双曲线“焦点三角形”问题 例6.（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得. 【详解】 由可得：，如图，设则①， 在中，由余弦定理，，即：② 由①②联立，解得：. 则三角形的面积为. 故答案为：. 【变式6-1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【分析】先根据双曲线定义列出，，然后结合求出的周长. 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 【变式6-2】（23-24高二下·河北·开学考试）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，，（在第一象限）是双曲线上关于轴对称的两个点，若直线与直线的斜率之积为，直线与双曲线的右支交于另一点，且，的周长为20，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点，结合题意计算可得，由的周长为20，，结合双曲线定义可得，计算即可得、，即可得该双曲线的标准方程. 【详解】设，则，有，即，即， 则，所以，所以， 因为直线与双曲线的右支交于另一点，所以， ，即，， 则的周长为， 所以，则，所以该双曲线的标准方程为． 故选：C．    【变式6-3】（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 考点七：求共焦点、共渐近线的双曲线方程 例7.（22-23高二·江苏·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 【答案】(1)． (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为． （2）法一：∵双曲线1的焦点在轴上，∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即．　① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二：设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得,解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 【变式7-1】（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的性质计算即可. 【详解】易知，其焦点坐标为， 对于双曲线，可得，其焦点坐标为， 故， 此时，则其渐近线方程为. 故选：D 【变式7-2】（20-21高二·全国·课后作业）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解． 【详解】解：设双曲线方程为，将点代入， 即，解得或（舍去）， 故所求双曲线方程为． 故答案为： 【变式7-3】（22-23高二上·甘肃临夏·期末）（1）若椭圆的焦点坐标为，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程． （2）与椭圆有公共焦点，且经过点，求双曲线的标准方程． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）采用待定系数法，由所过点知，根据椭圆关系可求得结果； （2）根据椭圆方程可得焦点坐标，由此可假设双曲线方程，代入所过点坐标即可求得结果. 【详解】（1）椭圆焦点坐标为，可设椭圆方程为：， 又椭圆经过点，且，， 椭圆的标准方程为：； （2）由椭圆方程知：焦点坐标为，则可设双曲线方程为：，， 又双曲线经过点，，又，解得：， 双曲线的标准方程为：. 考点八：由离心率求双曲线方程 例8.（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据点到直线的距离为1，结合离心率及的关系即可求解. 【详解】设双曲线方程为，则渐近线方程为，焦点为， 所以焦点到渐近线的距离为， 又，结合，可得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 【变式8-1】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设出双曲线方程，在根据离心率公式，即可求出。 【详解】由题意知，双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 因为双曲线C经过点，所以， 因为，所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 【变式8-2】（23-24高二上·黑龙江·期中）写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程 ． ①焦点在x轴上；②离心率为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据焦点位置设出方程，再由离心率公式并取得出方程. 【详解】双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为（，）， 由于双曲线的离心率为，所以，又，所以， 所以可取，，此时双曲线的一个标准方程为． 故答案为：（答案不唯一） 【变式8-3】（2024高二·全国·专题练习）（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程． 【答案】 【分析】由焦距、离心率、及焦点位置即可得双曲线方程. 【详解】根据题意知，解得， 又． 又因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上， 所以所求双曲线方程为． 考点九：由方程研究双曲线的几何性质 例9.（多选）（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则下列结论中正确的是（    ） A．的实轴长为 B．的虚轴长为 C．的渐近线方程为 D．的离心率为2 【答案】AC 【分析】设另外一个焦点为，与该渐近线的交点为，则易得到该渐近线的距离，从而易得，又，，又，从而可求出，进而得，再针对各个选项，分别求解即可． 【详解】不妨设，设该渐近线方程为，即， 设与该渐近线的交点为，则到该渐近线的距离， 又，，又直线与圆相切，， 设另外一个焦点为，则，， 又，，，又，， 双曲线的实轴长为，虚轴长为，A选项正确，B选项错误； 渐近线方程为，离心率为，C选项正确，D选项错误． 故选：AC． 【变式9-1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两渐近线的倾斜角，得到渐近线方程，得到，求出离心率. 【详解】因为一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，且这两条渐近线倾斜角的和等于， 所以渐近线的倾斜角分别为，故渐近线方程为， 故，，故离心率为. 故选：B. 【变式9-2】（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 【变式9-3】（多选）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得，即可判断AB，由余弦定理代入计算即可求得，再由三角形的面积公式，即可判断CD 【详解】因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确. 不妨设点在的右支上，则.因为， 所以.在中，， 则， 所以的面积， 故C，D正确. 故选：BCD 考点十：双曲线的离心率问题 例10.（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，利用双曲线定义，结合余弦定理求得，再利用余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】令，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则，令， 在中，由余弦定理得，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 【变式10-1】（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双曲线离心率为，可得或，即可由充分不必要条件求解. 【详解】的离心率为时，当焦点在轴时，，解得， 当焦点在轴时，，解得， 故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件， 故选：B 【变式10-2】（23-24高二上·江西萍乡·期末）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线标准方程及离心率公式求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以，，， 因为离心率为，所以， 解得：，所以. 故选：C. 【变式10-3】（多选）（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，比较各个选项即可 【详解】因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：AB 考点十一：等轴双曲线问题 例11.（22-23高二上·江西景德镇·期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干中直线方程求得双曲线焦点坐标，再根据等轴双曲线中且即可求解. 【详解】因为双曲线实轴在上且焦点在直线上， 故令得，即. 又因为且，所以， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 【变式11-1】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出等轴双曲线方程，根据方程即可求出其渐近线方程. 【详解】由题意，若等轴双曲线方程为， 则，则其渐近线方程为； 若等轴双曲线方程为， 则，则其渐近线方程为， 综上，等轴双曲线的渐近线方程为. 故选：C 【变式11-2】（23-24高二上·江苏·阶段练习）若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意写出焦点在轴的双曲线的标准方程，再根据该双曲线为等轴双曲线写出满足的条件，解得即可. 【详解】由于双曲线是焦点在轴上的双曲线，所以双曲线的标准方程为， 又因为双曲线为等轴双曲线，所以，解得. 故选：. 【变式11-3】（22-23高二上·甘肃兰州·期末）双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是 . 【答案】 【分析】首先根据双曲线的离心率得到渐近线方程为，再求渐近线的夹角即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 所以双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为. 因为与的夹角为， 所以双曲线的两条渐近线的夹角是. 故答案为： 1．（21-22高二上·河南平顶山·期末）设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ） A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大 C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解. 【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误； 对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误； 对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确； 对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误. 故选：C. 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用渐近线的斜率公式结合倾斜角与斜率之间的关系，即可解决. 【详解】由题意得的渐近线方程为，则． 故选：B. 3．（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知双曲线的虚轴长为4，离心率为，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，双曲线的虚轴长为，离心率为， 可得，即， 因为，即，解得：. 所以曲线的方程为. 故选：C. 4.（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助双曲线定义计算即可得. 【详解】由双曲线定义可知：， 则三角形的周长为， 故. 故选：D. 5.（多选）（22-23高二上·湖南株洲·期中）已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据双曲线定义直接计算可得. 【详解】由双曲线定义可知，即， 所以或. 故选：AD 6．（多选）（22-23高二上·广东佛山·期末）已知曲线的方程为，则可能是（    ） A．半径为的圆 B．焦点在上的椭圆，且长轴长为 C．等轴双曲线 D．焦点在上的双曲线，且焦距为 【答案】AD 【分析】根据曲线的形状求出参数的值或取值范围，再结合各曲线的几何性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若曲线为圆，则，解得， 此时，曲线的方程为，该圆的半径为，A对； 对于B选项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得， 此时，椭圆的长轴长为，B错； 对于C选项，若曲线为等轴双曲线，则，无解，C错； 对于D选项，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 此时，双曲线的焦距为，D对. 故选：AD. 7．（22-23高二下·四川自贡·期末）双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可设双曲线方程为，将代入方程求得，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线经过一点，渐近线方程为， 可设双曲线方程为， 将代入方程得， 故双曲线的方程为，标准方程为， 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海·期中）双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ . 【答案】/-0.5 【分析】由点到直线距离公式及得到，结合，求出. 【详解】由于双曲线在左支位于渐近线之间，故， 因为，故， 又，故. 故答案为： 9．（20-21高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分焦点在轴，设出双曲线方程，利用待定系数法带入点求解； （2）根据相同焦点设出所求方程，代入点求解. 【详解】（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为， 把点A的坐标代入，可得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为， 把A点的坐标代入，可得， 故所求双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以，解得或 (舍去). 所以双曲线的标准方程为. 10．（2023高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 双曲线及其方程 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握双曲线的定义、标准方程、几何图形及简单性质．. 2．会应用双曲线的方程及其几何性质解决一些简单问题. 知识点 1 双曲线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内； (2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 知识点 2 双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 知识点 3 双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长． a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2.等轴双曲线及性质 (1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e＝⇔两条渐近线y＝±x相互垂直． 拓广：双曲线中的几个常用结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为. (5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S＝b2·，其中θ为∠F1PF2. 考点一：双曲线的定义及其应用 例1.（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【变式1-1】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【变式1-2】（22-23高二·全国·课堂例题）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（20-21高二上·全国·课后作业）(多选)双曲线＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．7 C．17 D．22 考点二：由双曲线的定义求标准方程 例2.（23-24高二下·湖北·开学考试）已知两圆，，动圆与圆外切，且和圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·湖北·期末）已知一个动圆P与两圆：和：都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A．（） B． C．（） D．（） 【变式2-3】  （23-24高二上·湖南益阳·期末）的坐标满足方程：，则M的轨迹方程为 . 考点三：由a,b,c求双曲线的标准方程 例3.（23-24高二下·广西·阶段练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【变式3-1】（23-24高二上·广东茂名·期末）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知双曲线的右焦点为，实轴长为8，则该双曲线的标准方程为 . 考点四：根据方程表示双曲线求参数 例4.（23-24高二下·江西·期中）已知方程表示的图形是：______．试分别求出的取值范围． (1)双曲线； (2)椭圆； (3)圆． 【变式4-1】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·河南许昌·期末）若方程表示双曲线，则的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【变式4-3】（多选）（23-24高二上·广东中山·期中）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 考点五：根据双曲线过的点求双曲线方程 例5.（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线过和两点，求双曲线的标准方程． 【变式5-1】（23-24高二上·福建泉州·期中）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 【变式5-2】（22-23高二·全国·课堂例题）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8； (2)双曲线的一个焦点坐标是，且双曲线经过点． 【变式5-3】（23-24高二上·全国·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)焦点在y上，且经过点和． 考点六：双曲线“焦点三角形”问题 例6.（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ． 【变式6-1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【变式6-2】（23-24高二下·河北·开学考试）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，，（在第一象限）是双曲线上关于轴对称的两个点，若直线与直线的斜率之积为，直线与双曲线的右支交于另一点，且，的周长为20，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 考点七：求共焦点、共渐近线的双曲线方程 例7.（22-23高二·江苏·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 【变式7-1】（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 【变式7-2】（20-21高二·全国·课后作业）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【变式7-3】（22-23高二上·甘肃临夏·期末）（1）若椭圆的焦点坐标为，且椭圆经过点，求椭圆的标准方程． （2）与椭圆有公共焦点，且经过点，求双曲线的标准方程． 考点八：由离心率求双曲线方程 例8.（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则的标准方程为 . 【变式8-1】（2024·北京门头沟·一模）已知双曲线经过点， 离心率为2，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·黑龙江·期中）写出一个同时满足下列条件的双曲线的标准方程 ． ①焦点在x轴上；②离心率为． 【变式8-3】（2024高二·全国·专题练习）（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求双曲线的方程． 考点九：由方程研究双曲线的几何性质 例9.（多选）（23-24高二下·福建泉州·阶段练习）若双曲线的一个焦点关于其一条渐近线的对称点在双曲线上，且直线与圆相切，则下列结论中正确的是（    ） A．的实轴长为 B．的虚轴长为 C．的渐近线方程为 D．的离心率为2 【变式9-1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【变式9-2】（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【变式9-3】（多选）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知点在左､右焦点分别为的双曲线上，，则（    ） A．渐近线方程为 B．离心率为 C． D． 考点十：双曲线的离心率问题 例10.（23-24高二下·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 . 【变式10-1】（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式10-2】（23-24高二上·江西萍乡·期末）焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式10-3】（多选）（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值可能是（    ） A．3 B． C． D． 考点十一：等轴双曲线问题 例11.（22-23高二上·江西景德镇·期中）中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（      ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高二上·江苏·阶段练习）若双曲线：为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式11-3】（22-23高二上·甘肃兰州·期末）双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是 . 1．（21-22高二上·河南平顶山·期末）设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（    ） A．越大，双曲线开口越小 B．越小，双曲线开口越大 C．越大，双曲线开口越大 D．越小，双曲线开口越大 2．（23-24高二下·广西贵港·期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角小于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知双曲线的虚轴长为4，离心率为，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4.（2024·青海·模拟预测）已知，分别是双曲线C：的左、右焦点，，点P在C的右支上，且的周长为，则（   ） A． B． C． D． 5.（多选）（22-23高二上·湖南株洲·期中）已知双曲线E：的左右焦点分别为、，点P在双曲线E上，=10，则为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（22-23高二上·广东佛山·期末）已知曲线的方程为，则可能是（    ） A．半径为的圆 B．焦点在上的椭圆，且长轴长为 C．等轴双曲线 D．焦点在上的双曲线，且焦距为 7．（22-23高二下·四川自贡·期末）双曲线经过一点，渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ． 8．（23-24高二上·上海·期中）双曲线在左支上一点到其渐近线的距离为，则＝ . 9．（20-21高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点. 10．（2023高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 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