6.3实数　讲义　2023—2024学年人教版数学七年级下册

课 题 人教版数学七年级下册 第6章实数 6.3实数 教学目标 1.了解实数的概念； 2.理解并掌握实数的性质的内容； 3.能应用实数运算. 教学过程 【复习】 1.一个正数a的平方根是3x﹣4与2﹣x，则a是多少？ 2．计算：= 　． 3.把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　） A．70° B．90° C．105° D．120° 4.如图，则图中的x=　 　度． 【学生定位】 问题1无理数 1. 以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有　 　．（只填序号） 问题2. 实数 1． 下列四种说法： ①负数的立方根仍为负数； ②1的平方根与立方根都是1； ③4的平方根的立方根是； ④互为相反数的两个数的立方根仍为相反数， 正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2． 3﹣π的绝对值是（　　） A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π 问题3. 实数与数轴 1．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0 2. 如图，点A、B在数轴上表示的实数分别是﹣2和10，点C是线段AB上的一点且AC=3BC，求点C表示的数． 问题4. 实数的大小比较 1． 已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　 　． 2． 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b　 　0．（填“＞”，“＜”或“=”） 问题4. 实数的运算 1、计算：（﹣2）2×5+|π﹣1|﹣． 【精准突破】 【精准突破1】无理数 无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数． 【例题精讲】 【例题1-1】 在实数，，，，3.14中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例题1-2】在实数π、、、0.1234中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题1-3】 在给出的一组数0，π，，3.14，，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【例题1-4】下列各数：①，②0，③，④，⑤0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），⑥，⑦，无理数有 （填序号） 【精准突破2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数 {有理数{正有理数0负有理数& 无理数{正无理数负无理数 实数 {正实数 0 负实数． （3）实数的性质 实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【例题精讲】 【例题2-1】﹣的倒数是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【例题2-2】在实数，，0，，，﹣1.414，有理数有　 个． 【例题2-3】的相反数是　　；的平方根是　 　． 【例题2-4】的相反数是　 　．2﹣的绝对值为　 　． 【精准突破3】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【例题精讲】 【例题3-1】实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c| 【例题3-2】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） A．a＞b B．a＞﹣b C．a＜b D．﹣a＜﹣b 【例题3-3】如图所示，点C的表示的数为2，BC=1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【精准突破4】实数比较大小 【例题精讲】 【例题4-1】若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　） A．a2＜a＜ B．a＜＜a2 C．＜a＜a2 D．a＜a2＜ 【例题4-2】在﹣1，0，2，四个数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D． 【例题4-3】1、下列对的大小估计正确的是（　　） A．在4～5之间 B．在5～6之间 C．在6～7之间 D．在7～8之间 2、估计的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3、估计的值在哪两个整数之间（　　） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【精准突破5】实数的运算 实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【例题5-1】下列计算正确的是（　　） A．= B．=6 C． D． 【例题5-2】计算的值是（　　） A．1 B．±1 C．2 D．7 【例题5-3】的值为（　　） A．5 B． C．1 D． 【例题5-4】1. 计算：﹣|﹣3|+． 2. ﹣32+|﹣3|+． 【巩固练习】 【巩固一】无理数 1．在﹣3，，π，0.35中，无理数是（　　） A．﹣3 B． C．π D．0.35 2.在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3. 在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中， 整数集合{　　　 　…}， 分数集合{　　　 　…}， 无理数集合{　 　　…}． 【巩固二】实数 1.的值是　 　，﹣绝对值是　　；　 　的立方根是﹣2； 平方根和立方根相等的数是　 ． 2、把下列各数分别填在表示它所属的括号里： 0，﹣，，﹣3.1，﹣2，，﹣ （1）正有理数：{ …} （2）整 数：{ …} （3）负 分 数：{ …}． 3. 按要求计算 （1）（求算术平方根）　　　（2）3.14﹣π的相反数、绝对值、倒数． 4. ① |﹣3|= ．② |﹣|﹣|3﹣|= . 【巩固三】实数与数轴 1、如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 2、如图的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是和﹣1，则点C所对应的实数是（　　） A．1 B．2 C．2﹣1 D．2+1 3、已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简． 【巩固四】比较实数大小 1.三个实数﹣，﹣2，﹣之间的大小关系是（　　） A．﹣＞﹣＞﹣2 B．﹣＞﹣2＞﹣ C．﹣2＞﹣＞﹣ D．﹣＜﹣2＜﹣ 2. 若m=，则m的范围是（　　） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 3. 画一条数轴，把﹣1，，2各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比较它们的大小，用“＜”号连接． 4. 已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分． （1）分别写出a、b的值； （2）求3a﹣b2的值． 【巩固五】实数的运算 1. 计算 1 ﹣（﹣1）2=　 　．② =　　． ③=　　. 2． .﹣×+|1﹣|+（﹣）2． 3．计算：﹣|﹣2|=　 　． 【查缺补漏】 1.求下列各式的相反数与绝对值． 2.5，﹣，﹣，，0． 2.把下列各数填入相应的集合内：，，，π，，，，，，，0，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）． 3.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（　　） ①b+c＞0；②a+b＞a+c；③bc＜ac；④ab＞ac． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4、在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（　　） A． B．﹣ C．0 D．|﹣2| 5. +﹣． 【举一反三】 1．（1）计算： （2）求x的值：25（x+2）2﹣36=0． 2. 已知m是的小数部分，n是的整数部分．求： （1）（m﹣n）2的值； （2）+m的值． 3．如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，设点C所表示的数为x． （1）写出实数x的值； （2）求（x+）2的值． 4. 把下列各数填入相应的集合内： ﹣7，0.32，，46，0，，，，﹣． 1 有理数集合：{　 } 2 无理数集合：{　 } 3 正实数集合：{　 } 4 实数集合：{　 }． 5. 已知实数x、y满足关系式+|y2﹣9|=0． （1）求x、y的值； （2）判断是无理数还是无理数？并说明理由． 【效果检验】 1．在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若实数a满足|a﹣|=，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点　 　． 3. 已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b﹣c2的平方根． 4. 比较大小：　 　． 2　 　4． 　 　4 　 　12． 5. 计算|﹣|+的值是　　，|﹣3|﹣=　 　． 【课后作业】 1.下列各数中：0.3、、π﹣3、、3.14、1.51511511…，有理数有　 　个，无理数有　 　个． 2．在如图的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和﹣，则点C对应的实数是　 　． 3.的整数部分是a，小数部分是b，求﹣a2+|b2﹣1|﹣2ab的值． 4. 比较大小： 　　， ﹣3　　, 3　　2．, ﹣　　﹣， 　　2． 5. 计算：（）2﹣|﹣2|=　 　． 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 人教版数学七年级下册 第6章实数 6.3实数 教学目标 1.了解实数的概念； 2.理解并掌握实数的性质的内容； 3.能应用实数运算. 教学过程 【复习】 1.一个正数a的平方根是3x﹣4与2﹣x，则a是多少？ 【考点】平方根 【解答】解：根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得：3x﹣4+2﹣x=0， 即得：x=1，即3x﹣4=﹣1，则a=（﹣1）2=1． 2．计算：= 　． 【考点】立方根 【解答】解：=﹣3．故答案为：﹣3． 3.把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（　　） A．70° B．90° C．105° D．120° 【考点】IK：角的计算． 【解答】解：∠ABC=30°+90°=120°．故选D． 4.如图，则图中的x=　 　度． 【考点】IF：角的概念． 【解答】解：根据题意，得x+3x+2x=180°， 解得 x=30° 故应填：30． 【学生定位】 问题1 无理数 1. 以下各数：①﹣1；②；③；④；⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有　 　．（只填序号） 【考点】无理数 无理数的定义 【解答】解：②；③，⑤1.010010001…（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数， 故答案为：②⑤③． 问题2. 实数 1． 下列四种说法： ①负数的立方根仍为负数；②1的平方根与立方根都是1； ③4的平方根的立方根是； ④互为相反数的两个数的立方根仍为相反数，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】实数 据平方根和立方根的定义 【解答】解：①负数的立方根仍为负数，正确； ②1的平方根与立方根都是1，错误； ③4的平方根的立方根是，错误；④互为相反数的两个数的立方根一定为相反数，正确，故选B 2． 3﹣π的绝对值是（　　） A．3﹣π B．π﹣3 C．3 D．π 【考点】实数的性质；15：绝对值 考查了绝对值 【解答】解：∵3﹣π＜0， ∴|3﹣π|=π﹣3．故选B． 问题3. 实数与数轴 1．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|d| D．b+c＞0 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d． A、a＜﹣4，故A不符合题意； B、bd＜0，故B不符合题意； C、|a|＞4=|d|，故C符合题意； D、b+c＜0，故D不符合题意； 故选：C． 2. 如图，点A、B在数轴上表示的实数分别是﹣2和10，点C是线段AB上的一点且AC=3BC，求点C表示的数． 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：设点C表示的数为x，∵点A、B在数轴上表示的实数分别是﹣2和10，AC=3BC， ∴x﹣（﹣2）=3（10﹣x），解得：x=7，即点C表示的数为7． 问题4. 实数的大小比较 1． 已知a，b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=　 　． 【考点】2B：估算无理数的大小 【解答】解：∵9＜11＜16，∴3＜＜4．∴a=3，b=4．∴a+b=3+4=7．故答案为：7． 2． 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a+b　 　0．（填“＞”，“＜”或“=”） 【考点】2A：实数大小比较；29：实数与数轴 【解答】解：∵a在原点左边，b在原点右边，∴a＜0＜b， ∵a离开原点的距离比b离开原点的距离小，∴|a|＜|b|，∴a+b＞0．故答案为：＞． 问题4. 实数的运算 1、计算：（﹣2）2×5+|π﹣1|﹣． 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：（﹣2）2×5+|π﹣1|﹣=4×5+π﹣1﹣3=20+π﹣1﹣3=16+π 【问题考点】 问题1无理数 对应知识点：（1）无理数的识别判断； 问题2实数 对应知识点：（1）实数的概念；（2）实数的应用 问题3. 实数与数轴 对应知识点：（1）数轴的概念；（2）实数与数轴； 问题4. 实数的估算大小 对应知识点：（1）无理数与实数； 问题5. 实数的运算 对应知识点：（1）平方根、绝对值等的应用运算； 【精准突破】 【精准突破1】无理数 无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数． 说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等． （2）、无理数与有理数的区别： 　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数， 　　比如4=4.0，13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562． 　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能． （3） 学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数． 【例题精讲】 【例题1-1】 在实数，，，，3.14中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】26：无理数 带根号的数不一定是无理数 【解答】解：，是无理数，故选：B． 【例题1-2】在实数π、、、0.1234中，无理数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】26：无理数 【解答】解：无理数有：π，共2个．故选B． 【例题1-3】 在给出的一组数0，π，，3.14，，中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【考点】26：无理数 【解答】解：无理数有：π，，共有3个．故选C． 【例题1-4】下列各数：①，②0，③，④，⑤0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），⑥，⑦，无理数有　①⑤⑦　（填序号） 【考点】26：无理数 【解答】解：∵﹣=﹣2；=﹣5；=； ∴在所给的数中无理数有：﹣；0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）；﹣．故答案为①⑤⑦． 【精准突破2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数 {有理数{正有理数0负有理数& 无理数{正无理数负无理数 实数 {正实数 0 负实数． （3）实数的性质 实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【例题精讲】 【例题2-1】﹣的倒数是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】28：实数的性质 【解答】解：﹣的倒数是﹣．故选：C． 【例题2-2】在实数，，0，，，﹣1.414，有理数有　 个． 【考点】27：实数 【解答】解：，0，=6，﹣1.414为有理数，有理数有4个，故答案为：4． 【例题2-3】的相反数是　　；的平方根是　 　． 【考点】27：实数 【解答】解：的相反数是；∵=4，4的平方根是±2，∴的平方根是±2． 故答案为：；±2． 【例题2-4】的相反数是　 　．2﹣的绝对值为　 　． 【考点】28：实数的性质 【解答】解：+的相反数是﹣（+）=﹣﹣． 故答案为：﹣﹣． 2﹣的绝对值为2﹣．故答案为：2﹣． 【精准突破3】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 【例题精讲】 【例题3-1】实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简：+|a﹣b|+﹣|b﹣c| 【考点】29：实数与数轴 考查了实数与数轴 【解答】解：原式=|a|+|a﹣b|+a+b﹣|b﹣c|=﹣a+a﹣b+a+b﹣c+b=a+b﹣c． 【例题3-2】实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　） A．a＞b B．a＞﹣b C．a＜b D．﹣a＜﹣b 【考点】29：实数与数轴 考查了实数与数轴的对应关系 【解答】解：∵由数轴可知，|a|＞b，a＜0，b＞0，∴a＜b．故选C． 【点评】此题主要，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想． 【例题3-3】如图所示，点C的表示的数为2，BC=1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：∵点C的表示的数为2，BC=1，以O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A， ∴BO==，则A表示﹣．故选：D． 【精准突破4】实数比较大小 【例题精讲】 【例题4-1】若0＜a＜1，则a，，a2从小到大排列正确的是（　　） A．a2＜a＜ B．a＜＜a2 C．＜a＜a2 D．a＜a2＜ 【考点】2A：实数大小比较 【解答】解：∵0＜a＜1，∴设a=，=2，a2=，∵＜＜2，∴a2＜a＜．故选A． 【例题4-2】在﹣1，0，2，四个数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D． 【考点】2A：实数大小比较 【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣1＜0＜＜2， ∴在：﹣1，0，2，四个数中，最大的数是2．故选：C． 【例题4-3】1、下列对的大小估计正确的是（　　） A．在4～5之间 B．在5～6之间 C．在6～7之间 D．在7～8之间 【考点】2B：估算无理数的大小 【解答】解：∵7＜＜8，∴在7到8之间，故选D． 2、估计的值在（　　） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【解答】解：∵2=＜=3，∴3＜＜4，故选B． 3、估计的值在哪两个整数之间（　　） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【解答】解：∵＜＜，∴8＜＜9，∴在两个相邻整数8和9之间． 故选：D． 【精准突破5】实数的运算 实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 【例题5-1】下列计算正确的是（　　） A．= B．=6 C． D． 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：A、原式=2﹣=，正确；B、原式==，错误； C、+为最简结果，错误；D、原式==2，错误，故选A 【例题5-2】计算的值是（　　） A．1 B．±1 C．2 D．7 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：原式=3+4+2﹣2=7．故选D． 【例题5-3】的值为（　　） A．5 B． C．1 D． 【考点】2C：实数的运算；2B：估算无理数的大小 【解答】解：原式=3﹣+﹣2=1．故选C． 【例题5-4】1. 计算：﹣|﹣3|+． 2. ﹣32+|﹣3|+． 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：原式=﹣9+（3﹣）+6 =﹣9+3﹣+6 =﹣． 【解答】解：原式=4+﹣3+6=7+． 【巩固练习】 【巩固一】无理数 1．在﹣3，，π，0.35中，无理数是（　　） A．﹣3 B． C．π D．0.35 【考点】26：无理数 【解答】解：﹣3，，0.35为有理数，π为无理数．故选C． 2.在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】26：无理数 【解答】解：在下列各数：3.1415926、、0.2、、、、中， 根据无理数的定义可得，无理数有、两个．故选A． 3. 在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中， 整数集合{　　　 　…}， 分数集合{　　　 　…}， 无理数集合{　 　　…}． 【考点】26：无理数 【解答】解：整数集合{0，﹣}；分数集合{，3.14}； 无理数集合{，﹣，7.151551…}． 【巩固二】实数 1.的值是　 　，﹣绝对值是　　；　 　的立方根是﹣2； 平方根和立方根相等的数是　 ． 【考点】27：实数 【解答】解：=2；|﹣|=；（﹣2）3=﹣8；==0． 故答案为：2；；﹣8；0． 2、把下列各数分别填在表示它所属的括号里： 0，﹣，，﹣3.1，﹣2，，﹣ （1）正有理数：{ …} （2）整 数：{ …} （3）负 分 数：{ …}． 【考点】27：实数 【解答】解：（1）正有理数：{，}；（2）整 数：{ 0，，﹣2}； （4） 负 分 数：{，﹣3.1}． 3. 按要求计算 （1）（求算术平方根）　　　 （2）3.14﹣π的相反数、绝对值、倒数． 【考点】28：实数的性质；22：算术平方根 【解答】解：（1）∵（）2=，∴的算术平方根是； （2）3.14﹣π的相反数是π﹣3.14，绝对值π﹣3.14，倒数． 4. ① |﹣3|= ．② |﹣|﹣|3﹣|= . 【考点】28：实数的性质 【解答】①解：∵﹣3＜0，∴|﹣3|=3﹣．故答案为：3﹣． ②解：|﹣|﹣|3﹣|=﹣（3﹣）=2﹣﹣3． 【巩固三】实数与数轴 1、如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：如图，设A点表示的数为x，则2＜x＜3，∵1＜＜2，1＜＜2，2＜＜3，3＜＜4，∴符合x取值范围的数为．故选C． 2、如图的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是和﹣1，则点C所对应的实数是（　　） A．1 B．2 C．2﹣1 D．2+1 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：∵A、B两点对应的实数是和﹣1，∴AB=+1， ∵点B与点C关于点A对称，∴AC=+1，∴点C所对应的实数是2+1，故选D． 3、已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简． 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：由图示知，b＜a＜0．则a﹣b＞0，a+b＜0．所以原式=a﹣b﹣（a+b）=﹣2b． 【巩固四】比较实数大小 1.三个实数﹣，﹣2，﹣之间的大小关系是（　　） A．﹣＞﹣＞﹣2 B．﹣＞﹣2＞﹣ C．﹣2＞﹣＞﹣ D．﹣＜﹣2＜﹣ 【考点】2A：实数大小比较 【解答】解：∵﹣2=﹣，又∵＜＜∴﹣2＞﹣＞﹣．故选C． 2. 若m=，则m的范围是（　　） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 【考点】2B：估算无理数的大小 【解答】解：∵5＜＜6，∴5﹣3＜﹣3＜6﹣3，即2＜m＜3．故选B． 3. 画一条数轴，把﹣1，，2各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比较它们的大小，用“＜”号连接． 【考点】2A：实数大小比较；29：实数与数轴 【解答】解：﹣1的相反数是1；的相反数是﹣；2的相反数是﹣2； ∴﹣2＜﹣＜﹣＜＜＜2． 4. 已知a、b分别是6﹣的整数部分和小数部分． （1）分别写出a、b的值； （2）求3a﹣b2的值． 【考点】2B：估算无理数的大小 【解答】解：（1）∵2＜＜3， ∴﹣3＜﹣＜﹣2，∴3＜6﹣＜4，∴a=3，b=6﹣﹣3=3﹣； （2）3a﹣b2=3×3﹣（3﹣）2=9﹣9+6﹣5=6﹣5． 【巩固五】实数的运算 1. 计算 1 ﹣（﹣1）2=　 　．② =　　． ③=　　. 【考点】2C：实数的运算 【解答】①解：原式=5﹣1=4．故答案为：4． 2 解：原式=．故答案为：． 3 解：=2﹣=．故答案为：． 2． .﹣×+|1﹣|+（﹣）2． 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：原式=2﹣4×+1+3，=2﹣1+﹣1+3，=3+． 3．计算：﹣|﹣2|=　 　． 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：原式=3﹣2=1，故答案为：1． 【查缺补漏】 1.求下列各式的相反数与绝对值． 2.5，﹣，﹣，，0． 【考点】28：实数的性质 【解答】解：2.5的相反数是﹣2.5，绝对值是2.5；﹣的相反数是，绝对值是； ﹣的相反数是，绝对值是；的相反数是2﹣，绝对值是2﹣； 0的相反数是0，绝对值是0． 2.把下列各数填入相应的集合内：，，，π，，，，，，，0，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）． 【考点】27：实数 【解答】解：有理数集合：{，0，﹣，﹣，…}； 无理数集合：{，，π，，，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）…}． 3.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（　　） ①b+c＞0；②a+b＞a+c；③bc＜ac；④ab＞ac． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：∵由数轴可得c＜0＜b＜a，且a＞|c|＞b， ∴①b+c＞0，应为b+c＜0，故不正确；②a+b＞a+c，正确； ③bc＜ac，应为bc＞ac，故不正确；④ab＞ac，正确．共2个正确．故选：B． 4、在实数0，﹣，，|﹣2|中，最小的是（　　） A． B．﹣ C．0 D．|﹣2| 【考点】2A：实数大小比较 【解答】解：|﹣2|=2，∵四个数中只有﹣，﹣为负数，∴应从﹣，﹣中选； ∵|﹣|＞|﹣|，∴﹣＜﹣．故选：B． 5. +﹣． 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：原式=﹣3+3﹣（﹣1）=﹣3+3+1=1． 【举一反三】 1．（1）计算： （2）求x的值：25（x+2）2﹣36=0． 【考点】2C：实数的运算；21：平方根 【解答】解：（1）原式=1﹣2+﹣+1+=； （2）方程整理得：（x+2）2=，开方得：x+2=±，解得：x1=﹣，x2=﹣． 2. 已知m是的小数部分，n是的整数部分．求： （1）（m﹣n）2的值； （2）+m的值． 【考点】2B：估算无理数的大小 【解答】解：∵m是的小数部分，n是的整数部分，∴m=﹣2，n=4； （1）（m﹣n）2=（﹣2﹣4）2=（﹣6）2=7﹣12+36=43﹣12； （2）+m=+﹣2=﹣1． 3．如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，设点C所表示的数为x． （1）写出实数x的值； （2）求（x+）2的值． 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：（1）由数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点C为点B关于点A的对称点，得=1，解得，（2）当x=2﹣时，（x+）2=4． 4. 把下列各数填入相应的集合内： ﹣7，0.32，，46，0，，，，﹣． 1 有理数集合：{　 } 2 无理数集合：{　 } 3 正实数集合：{　 } 4 实数集合：{　 }． 【考点】实数 【解答】答案：①有理数集合：{﹣7，0.32，，46，0，…} ②无理数集合：{，，﹣…}； ③正实数集合：{0.32，，46，，，…}； ④实数集合：{﹣7，0.32，，46，0，，，，﹣…}； 5. 已知实数x、y满足关系式+|y2﹣9|=0． （1）求x、y的值； （2）判断是无理数还是无理数？并说明理由． 【考点】无理数；16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根 【解答】解：（1）由题意，得 解得或； （2） 当x=2，y=3时，==3是有理数． 当x=2，y=﹣3时，==是无理数． 【效果检验】 1．在﹣2，，，3.14，，，这6个数中，无理数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【考点】26：无理数 【解答】解：根据判断无理数的3类方法，可以直接得知：是开方开不尽的数是无理数， 属于π类是无理数，因此无理数有2个．故选：C． 2．若实数a满足|a﹣|=，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、C三点中的点　 　． 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：∵|a﹣|=，∴a=﹣1或a=2．故答案为：B． 3. 已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b﹣c2的平方根． 【考点】2B：估算无理数的大小；21：平方根；22：算术平方根 【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，∴， 解得，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∴的整数部分是3，即c=3， ∴原式=5+2×2﹣9=0． 4. 比较大小：　 　． 2　 　4． 　 　4 　 　12． 【考点】2A：实数大小比较 【解答】解：5＞2，，故答案为：＞． 解：2=，4=，∵28＜32，∴＜，∴2＜4．故答案为：＜． 解：∵2=，4=，12＜16，∴＜，即2＜4．故答案为：＜． 解：两数的平方值为：140，144，而140＜144，∴＜12．故填空答案：＜． 5. 计算|﹣|+的值是　　，|﹣3|﹣=　 　． 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：原式=﹣+=，故答案为： 解：原式=3﹣2=1．故答案为：1． 【课后作业】 1.下列各数中：0.3、、π﹣3、、3.14、1.51511511…，有理数有　 　个，无理数有　 　个． 【考点】26：无理数；12：有理数 【解答】解：0.3、=2、3.14这三个数是有理数，π﹣3、、1.51511511…这三个数是无理数，故答案为3、3． 2．在如图的数轴上，点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是1和﹣，则点C对应的实数是　 　． 【考点】29：实数与数轴 【解答】解：设点C所表示的数为x，∵点B与点C到点A的距离相等， ∴AC=AB，即x﹣1=1+，解得：x=2+．故答案为：2+． 3.的整数部分是a，小数部分是b，求﹣a2+|b2﹣1|﹣2ab的值． 【考点】2B：估算无理数的大小；33：代数式求值 【解答】解：∵16＜17＜25，∴4＜＜5，∴a=4，b=﹣4， ∴﹣a2+|b2﹣1|﹣2ab，=﹣16+|32﹣8|﹣8（﹣4），=﹣16． 故答案为：﹣16． 4. 比较大小： 　　， ﹣3　　, 3　　2．, ﹣　　﹣， 　　2． 【考点】2A：实数大小比较 【解答】解：5=，4=，∵75＜80，∴＜．故答案是：＜． 解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴﹣3＜0，﹣2＞0，∴﹣3＜．故为：＜． 解：∵3=，2=，18＞12，∴3＞2．故答案为：＞． 解：因为|﹣|＞，所以﹣＞﹣．∵2=，而4＜5，∴＞2． 故答案为：＞，＞． 5. 计算：（）2﹣|﹣2|=　 　． 【考点】2C：实数的运算 【解答】解：原式=3﹣2=1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$