第6章实数 6.1-6.2平方根、立方根　讲义　2023—2024学年人教版数学七年级下册

课 题 人教版数学七年级下册 第6章实数 6.1-6.2平方根、立方根 教学目标 1.了解平方根的概念； 2.理解并掌握平方根与立方根的内容； 3.能应用平方根与立方根的实际问题. 教学过程 【学生定位】 问题1 算术平方根 1. 若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根考查了平方根和算术平方根的定义 【考点】算术平方根；平方根 【解答】解：∵方程（x﹣5）2=19的两根为a和b， ∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数， ∵a＞b， ∴a﹣5是19的算术平方根， 故选C． 2．当=2时，则x=　 　． 算术平方根的定义 【考点】算术平方根 【解答】解：∵=2， ∴x﹣1=4． 解得：x=5． 故答案为：5． 问题2. 平方根与算术平方根 1． 若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 考查的是平方根的性质，明确2m﹣4与3m﹣1相等或互为相反数 【考点】平方根 【解答】解：当2m﹣4=3m﹣1时，m=﹣3， 当2m﹣4+3m﹣1=0时，m=1． 故选；D． 2． 的平方根是（　　） A．81 B．±3 C．﹣3 D．3 考查算术平方根和平方根的知识点 【考点】平方根 【解答】解：∵=9， 而9=（±3）2， ∴的平方根是±3． 故选B． 问题3. 非负数的性质：算术平方根、绝对值、平方 1．已知+（b+2）2=0，则（a+b）2017的值为（　　） A．0 B．2016 C．﹣1 D．1 掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方 【解答】解：由题意得，a﹣1=0，b+2=0， 解得，a=1，b=﹣2， 则（a+b）2017=﹣1， 故选：C． 问题4. 立方根 1． 下列语句正确的是（　　） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 考查了立方根 【考点】立方根 【解答】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或﹣1，故错误； B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0； C、负数有立方根，故错误； D、正确； 故选：D． 2． 若x﹣1是125的立方根，则x﹣7的立方根是　 ． 若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作 【考点】立方根 【解答】解：∵x﹣1是125的立方根， ∴x﹣1=5， ∴x=6， ∴x﹣7=6﹣7=﹣1， ∴x﹣7的立方根是﹣1． 故答案为：﹣1． 【问题考点】 问题1算术平方根 对应知识点：（1）算术平方根；（2）算术平方根的应用 问题2平方根 对应知识点：（1）平方根的概念；（2）平方根的应用 问题3. 非负性 对应知识点：（1）算术平方根；（2）平方；（3）绝对值 问题4. 立方根 对应知识点：（1）立方根；（2）立方根的应用 【精准突破】 【精准突破1】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a． （2）非负数a的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a 本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【例题精讲】 【例题1-1】 4是　 　的算术平方根． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：∵42=16， ∴4是16的算术平方根． 故答案为：16． 【例题1-2】1． =　 　． ． 2． =　 　．3． = 　．4．=　　． 【考点】算术平方根 【解答】1、解：∵52=25，∴=5．∴=﹣5．故答案为：﹣5． 2、∵42=16，∴=4，故答案为4． 3、=，故答案为：． 4、原式==，故答案为： 【例题1-3】 2的算术平方根是 　　． 36的算术平方根是　 ． 【考点】算术平方根 【解答】解：∵2的平方根是±，∴2的算术平方根是．故答案为：． 解：36的算术平方根是6．故答案为：6． 【精准突破2】平方根 （1） 定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 【一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 】 （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零． 【例题精讲】 【例题2-1】4的平方根是（　　） A．16 B．2 C．±2 D． 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ． 【考点】平方根 【解答】解：∵（±2）2=4， ∴4的平方根是±2， 故选C． 【例题2-2】如果一个数的平方根是a+6和2a﹣15，则这个数为　 　． 【考点】平方根 【解答】解：根据题意得：a+6+（2a﹣15）=0， 解得：a=3． 则这个数是（a+6）2=（3+6）2=81． 故答案是：81． 【例题2-3】1、（﹣4）2的平方根是　 　． 2、的平方根是　 　． 【考点】 平方根 【解答】1、∵（﹣4）2=16∴16平方根是±4．∴（﹣4）2的平方根是±4．故答案为：±4． 2、∵=9，9的平方根是±3，∴的平方根是±3．故答案为±3． 【精准突破3】非负性 （1）绝对值 任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． （2）非负数的性质：偶次方 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． （3）算术平方根 利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【例题精讲】 【例题3-1】如果=0，那么xy的值为　 ． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根 【解答】解：根据题意得，x﹣3=0，y+2=0， 解得x=3，y=﹣2， 所以，xy=3×（﹣2）=﹣6． 故答案为：﹣6． 【例题3-2】已知，求的平方根． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值；平方根 【解答】解：∵， ∴a﹣3=0，b﹣4=0， 解得a=3，b=4， ∴=， ∴±=±=±． 【例题3-3】如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是　 ． 【考点】 非负数的性质：算术平方根； 非负数的性质：偶次方； 平方根 【解答】解：∵与（2x﹣4）2互为相反数， ∴y﹣3=0，2x﹣4=0， 解得：y=3，x=2， ∴2x﹣y=1， ∴2x﹣y的平方根是：±1． 【精准突破4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：a3． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号a3 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是 负数，0的立方根是0． 【例题精讲】 【例题4-1】若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．4 考查了立方根的定义 【考点】立方根；21：平方根 【解答】解：∵一个数的平方根是±8， ∴这个数为（±8）2=64， 故64的立方根是4． 故选D． 【例题4-2】已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是　 　． 【考点】立方根；21：平方根 【解答】解：根据题意得：2x+1=（±5）2， 即2x+1=25， 解得：x=12． 则5x+4=5×12+4=64， 64的立方根是4． 故答案是：4． 【例题4-3】1、 =　　．2．=　 　．3、=　 　． 【考点】24：立方根 【解答】1、解：=，故答案为：． 2、解：∵（﹣4）3=﹣64，∴=﹣4，故答案为﹣4， 3、解：=﹣3．故答案为：﹣3． 【巩固练习】 【巩固一】算术平方根 1．162的算术平方根是　 　． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：∵162=162， 故答案为：16． 2.计算：= 　． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：∵42=16， ∴=4， 故答案为4． 3. （）2=　 　，=　 　． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：（）2=2，=π﹣3.14， 故答案为：2，π﹣3.14． 【巩固二】平方根 1.25的平方根是（　　） A．5 B．±5 C． D．± 【考点】平方根 【解答】解；25的平方根是±5， 故选：B． 2.的平方根是　 ． 【考点】平方根 【解答】解：∵2==（±）2， ∴2的平方根是±． 故答案为：±． 3. 如果一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，则这个数为　 ． 【考点】平方根 【解答】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15， ∴a+3和2a﹣15互为相反数， 即（a+3）+（2a﹣15）=0； 解得a=4， 则a+3=﹣（2a﹣15）=7； 则这个数为72=49； 故答案为49． 【巩固三】非负性 1、若+|b2﹣9|=0，则ab=　 　． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值 【解答】解：+|b2﹣9|=0， ∴a﹣2=0，b=±3， 因此ab=2×（±3）=±6． 故结果为：±6． 2、若+|b+1|+（c+1）2=0，则a+b﹣c=　 　． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方 【解答】解：根据题意得，a﹣2=0，b+1=0，c+1=0， 解得a=2，b=﹣1，c=﹣1， 所以，a+b﹣c=2﹣1﹣（﹣1）=2﹣1+1=2． 故答案为：2． 3、若a、b、c满足，求代数式的值． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的性质：偶次方 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 则原式==﹣2． 【巩固四】立方根 1. 如果的平方根是±3，则=　 ． 【考点】立方根；21：平方根；22：算术平方根 【解答】解：∵的平方根是±3， ∴=9， ∴a=81， ∴==4， 故答案为：4． 2. 计算：． 【考点】立方根；22：算术平方根 【解答】解：=9﹣3+=． 3. 已知5x﹣1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根． 【考点】立方根；21：平方根；22：算术平方根 【解答】解：∵5x﹣1的算术平方根为3， ∴5x﹣1=9， ∴x=2， ∵4x+2y+1的立方根是1， ∴4x+2y+1=1， ∴y=﹣4， 4x﹣2y=4×2﹣2×（﹣4）=16， ∴4x﹣2y的平方根是±4． 【查缺补漏】 1.9的平方根是（　　） A．±3 B． C．3 D． 【考点】平方根 【解答】解：9的平方根为±3． 故选：A． 2.一个正数x的平方根为2a﹣3和5﹣a，则x=　 　． 【考点】平方根 【解答】解：∵一个正数x的平方根为2a﹣3和5﹣a， ∴（2a﹣3）+（5﹣a）=0， 解得：a=﹣2． ∴2a﹣3=﹣7，5﹣a=7， ∴x=（±7）2=49． 故答案为：49． 3.的算术平方根是　 ． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：∵的平方为， ∴的算术平方根为． 故答案为． 4、=　 　． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：原式==4， 故答案为：4． 5. ﹣27的立方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 【考点】立方根 【解答】解：∵（﹣3）3=﹣27， ∴﹣27的立方根是=﹣3． 故选B． 【举一反三】 1． 一个正方形鱼池的边长是 x m，当边长增加3m后，正方形鱼池的面积变为81m2，求x． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：由题意可得， （x+3）2=81， 解得，x1=6，x2=﹣12（舍去）， 即x的值是6． 2. 已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求：3a﹣4b的平方根． 【考点】22：算术平方根；平方根 【解答】解：根据题意得：2a+1=32=9，5a+2b﹣2=16， 即a=4，b=﹣1， ∴3a﹣4b=16， ∴3a﹣4b的平方根是±=±4． 答：3a﹣4b的平方根是±4． 3．已知（3x+2）2﹣4=28，求x的值． 【考点】平方根 【解答】解：方程整理得：（3x+2）2=32，即（3x+2）2=64， 开方得：3x+2=±8， 解得：x=2或x=﹣． 4. 已知a、b满足+|b﹣|=0，解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1． 【考点】非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值；86：解一元一次方程 【解答】解：根据题意得，2a+8=0，b﹣=0， 解得a=﹣4，b=， 所以（﹣4+2）x+3=﹣4﹣1，即﹣2x=﹣8， 解得x=4． 5. 已知实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2，求式子﹣的值． 【考点】立方根；21：平方根；22：算术平方根 【解答】解：∵实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2， ∴a+9=25，2b﹣a=﹣8，解得：a=16，b=4． ∴﹣=﹣=4﹣2=2． 【效果检验】 1．100的算术平方根是　 　． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：∵102=100， ∴=10． 2．化简的结果是　 　． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：==2． 3. 已知|2a+1|+=0，则 =　 　． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值 【解答】解：由题意得，2a+1=0，b+2=0， 解得a=﹣，b=﹣2， 所以，==4． 故答案为：4． 4. 若实数a、b满足，则=　　． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根；16：非负数的性质：绝对值 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 则原式=﹣． 故答案是：﹣． 5. ﹣8的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 【考点】立方根 【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2． 故选B 6. 一个数的立方根等于它本身，这个数是（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1 【考点】立方根 【解答】解：立方根等于它本身是0或±1． 故选D． 【课后作业】 1.若实数a、b满足（a﹣5）2+=0，则a+b=　 　． 【考点】23：非负数的性质：算术平方根；1F：非负数的性质：偶次方 【解答】解：根据题意得，a﹣5=0，b+3=0， 解得a=5，b=﹣3， 所以a+b=5+（﹣3）=2． 故答案为：2．　 2．的算术平方根是　　． 【考点】22：算术平方根 【解答】解：∵=6，故的算术平方根是． 故填． 3.若2m﹣1没有平方根，则m的取值范围是　 　． 【考点】平方根 【解答】解：∵负数没有平方根， ∴2m﹣1＜0， 解得：m． 故答案为：m． 4. 下列叙述正确的是（　　） A．0.4的平方根是±0.2 B．﹣（﹣2）3的立方根不存在 C．±6是36的算术平方根 D．﹣27的立方根是﹣3 【考点】立方根；21：平方根；22：算术平方根 【解答】解：A、应为0.04的平方根是±0.2，故本选项错误； B、﹣（﹣2）3=8，立方根是2，存在，故本选项错误； C、应为6是36的算术平方根，故本选项错误； D、﹣27的立方根是﹣3，正确． 故选D． 5. 已知2m﹣3与4m﹣5是一个正数的平方根，求这个正数． 【考点】平方根 【解答】解：当2m﹣3=4m﹣5时，m=1， ∴这个正数为（2m﹣3）2=（2×1﹣3）2=1； 当2m﹣3=﹣（4m﹣5）时，m= ∴这个正数为（2m﹣3）2=[2×﹣3]2= 故这个正数是1或． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 人教版数学七年级下册 第6章实数 6.1-6.2平方根、立方根 教学目标 1.了解平方根的概念； 2.理解并掌握平方根与立方根的内容； 3.能应用平方根与立方根的实际问题. 教学过程 【学生定位】 问题1算术平方根 1. 若方程（x﹣5）2=19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　） A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根 2．当=2时，则x=　 　． 问题2. 平方根与算术平方根 1． 若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1 2． 的平方根是（　　） A．81 B．±3 C．﹣3 D．3 问题3. 非负数的性质：算术平方根、绝对值、平方 1．已知+（b+2）2=0，则（a+b）2017的值为（　　） A．0 B．2016 C．﹣1 D．1 问题4. 立方根 1． 下列语句正确的是（　　） A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B．一个数的立方根不是正数就是负数 C．负数没有立方根 D．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 2． 若x﹣1是125的立方根，则x﹣7的立方根是　 ． 【精准突破】 【精准突破1】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为a． （2）非负数a的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a 本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【例题精讲】 【例题1-1】 4是　 　的算术平方根． 【例题1-2】 =　 　． =　 　． = 　． =　　． 【例题1-3】 2的算术平方根是 　 　． 36的算术平方根是　 ． 【精准突破2】平方根 （1） 定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 【一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 】 （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零． 【例题精讲】 【例题2-1】4的平方根是（　　） A．16 B．2 C．±2 D． 【例题2-2】如果一个数的平方根是a+6和2a﹣15，则这个数为　 　． 【例题2-3】1、（﹣4）2的平方根是　 　． 2、的平方根是　 　． 【精准突破3】非负性 （1）绝对值 任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． （2）非负数的性质：偶次方 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． （3）算术平方根 利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【例题精讲】 【例题3-1】如果=0，那么xy的值为　 ． 【例题3-2】已知，求的平方根． 【例题3-3】如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y的平方根是　 ． 【精准突破4】立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作：a3． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号a3 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是 负数，0的立方根是0． 【例题精讲】 【例题4-1】若一个数的平方根是±8，则这个数的立方根是（　　） A．±2 B．±4 C．2 D．4 【例题4-2】已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是　 　． 【例题4-3】1、 =　　．2．=　 　．3、=　 　． 【巩固练习】 【巩固一】算术平方根 1．162的算术平方根是　 　． 2．计算：= 　． 3. （）2=　 　，=　 　． 【巩固二】平方根 1.25的平方根是（　　） A．5 B．±5 C． D．± 2.的平方根是　 ． 3. 如果一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，则这个数为　 ． 【巩固三】非负性 1、若+|b2﹣9|=0，则ab=　 　． 2、若+|b+1|+（c+1）2=0，则a+b﹣c=　 　． 3、若a、b、c满足，求代数式的值． 【巩固四】立方根 1. 如果的平方根是±3，则=　 ． 2. 计算：． 3. 已知5x﹣1的算术平方根是3，4x+2y+1的立方根是1，求4x﹣2y的平方根． 【查缺补漏】 1.9的平方根是（　　） A．±3 B． C．3 D． 2.一个正数x的平方根为2a﹣3和5﹣a，则x=　 　． 3.的算术平方根是　 ． 4、=　 　． 5. ﹣27的立方根是（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 【举一反三】 1．一个正方形鱼池的边长是 x m，当边长增加3m后，正方形鱼池的面积变为81m2，求x． 2. 已知2a+1的平方根是±3，5a+2b﹣2的算术平方根是4，求：3a﹣4b的平方根． 3．已知（3x+2）2﹣4=28，求x的值． 4. 已知a、b满足+|b﹣|=0，解关于x的方程（a+2）x+b2=a﹣1． 5. 已知实数a+9的平方根是±5，2b﹣a的立方根是﹣2，求式子﹣的值． 【效果检验】 1．100的算术平方根是　 　． 2．化简的结果是　 　． 3. 已知|2a+1|+=0，则 =　 　． 4. 若实数a、b满足，则=　　． 5. ﹣8的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D． 6. 一个数的立方根等于它本身，这个数是（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．0或±1 【课后作业】 1.若实数a、b满足（a﹣5）2+=0，则a+b=　 　． 2．的算术平方根是　　． 3.若2m﹣1没有平方根，则m的取值范围是　 　． 4. 下列叙述正确的是（　　） A．0.4的平方根是±0.2 B．﹣（﹣2）3的立方根不存在 C．±6是36的算术平方根 D．﹣27的立方根是﹣3 5. 已知2m﹣3与4m﹣5是一个正数的平方根，求这个正数． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$