专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 根据垂径定理求半径 题型二 根据垂径定理求长度 题型三 根据垂径定理求角度 题型四 根据垂径定理求面积 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 题型七 利用垂径定理求解其他问题 题型八 垂径定理的推论 题型九 垂径定理的实际应用 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型十二 垂径定理中的最值问题 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【经典例题一 根据垂径定理求半径】 【例1】（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 1．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，点D是的中点，交的延长线于点E，于点F．若，则的半径等于（    ） A．4cm B．5cm C． D． 2．（2024·广东佛山·三模）石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为 ． 3．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 【经典例题二 根据垂径定理求长度】 【例2】（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·广西·模拟预测）如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是 ．    3．（2024·上海静安·二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 【经典例题三 根据垂径定理求角度】 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点． (1)求的度数； (2)证明：是的中点． 【经典例题四 根据垂径定理求面积】 【例4】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 1．（2023·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2、（2023·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ． 3．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 【经典例题五 利用垂径定理求平行弦问题】 【例5】（2022·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 1．（2022·九年级单元测试）如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2022春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 3．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 5．（2021春·全国·九年级专题练习）如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点. (1)如图1,当半径为,若,求弦的长; (2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长. 【经典例题六 利用垂径定理求同心圆问题】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．（2021秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 3．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 4．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 5．（2020秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【经典例题七 利用垂径定理求解其他问题】 【例7】（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2020秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．    3．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点． （1）线段的长为 ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图： ①确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为 ； ②画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 5．（2020春·浙江杭州·九年级期中）如图，已知正方形的边长为1，正方形中，点在的延长线上，点在上，点在线段上，且．以为半径的与直线交于点、． （1）如图1，若点为中点，且点，点都在上，求正方形的边长． （2）如图2，若点在上，求证：以线段和为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值． （3）如图3，若点在上，求证：． 【经典例题八 垂径定理的推论】 【例8】（2022九年级上·全国·专题练习）下列命题中错误的有（    ）． （1）弦的垂直平分线经过圆心      （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分      （4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是 ．    3．（2024·江西抚州·二模）如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 【经典例题九 垂径定理的实际应用】 【例9】（2024·安徽池州·三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 1．（2024·湖北·一模）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众． 3．（2024·河南信阳·一模）河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为． (1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）； (2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径． 【经典例题十 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例10】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D． 2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为，，与交于点D （1）＝ ； （2）当点D恰好为的中点时，＝ ． 3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ． 4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D， (1)__________； (2)当点D恰好为的中点时，__________． 5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　） A． B． C． D． 1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．与互相垂直平分 D．连接、，是等腰三角形 2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．    (1)连接，判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求圆O的半径； 5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程 证明：如图2，在上截取，连接，，和 是弧的中点， ∴， …… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______. (3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长. 【经典例题十二 垂径定理中的最值问题】 【例12】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，是的直径，是的弦，于点是上一动点，连接是的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 2．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 1．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏宿迁·二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的半径为，点为上一点，连接，以为一条直角边，使，，交于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 7．（2023·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ． 8．（2024·江苏南京·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m． 9．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 10．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 11．（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 12．（2024·江苏泰州·一模）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 14．（2023·贵州·模拟预测）如图，是的直径，弦与相交于点E，． (1)写出图中一对你认为全等的三角形 ； (2)求证：； (3)若的半径为4，，求的长． 15．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，． (1)求点E到x轴的距离． (2)连结，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 垂径定理及其推论重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 根据垂径定理求半径 题型二 根据垂径定理求长度 题型三 根据垂径定理求角度 题型四 根据垂径定理求面积 题型五 利用垂径定理求平行弦问题 题型六 利用垂径定理求同心圆问题 题型七 利用垂径定理求解其他问题 题型八 垂径定理的推论 题型九 垂径定理的实际应用 题型十 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型十二 垂径定理中的最值问题 知识点一、圆的对称性 （1）对称中心 圆既是中心对称图形，又是轴对称图形和旋转对称图形。 将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。将圆周绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合，这说明圆是旋转对称图形。 1. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 2. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 3. 将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． （2）对称轴 经过圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以圆有无数条对称轴。 知识点二、垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 几何语言： 垂径定理的几个基本图形： 垂径定理在基本图形中的应用： 2．其它正确结论： ⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：①直径或半径；②垂直弦；③平分弦；④平分劣弧；⑤平分优弧．以上五个条件知二推三． 注意：在由①③推②④⑤时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 【经典例题一 根据垂径定理求半径】 【例1】（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，弦，垂足为点E，连接．若，则的半径长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，设的半径是r，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出r即可． 【详解】解：设的半径是r， ∵弦， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径长为10． 故选：C． 1．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，点D是的中点，交的延长线于点E，于点F．若，则的半径等于（    ） A．4cm B．5cm C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由弧，弦，圆周角之间的关系得到，，再由角平分线的性质得到，证明，得到，设的半径为，则，，在中由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 设的半径为，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 故选：C． 2．（2024·广东佛山·三模）石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了垂径定理的应用， 勾股定理等知识，根据垂径定理得到，在中，，列方程并解方程即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴, 在中， ， ∴ ∴ 解得, 即半径为． 故答案为：10 3．（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质得到，根据半径相等可得，等量代换得到，进而证得结论； （2）过点作于，根据垂径定理得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：过点作于，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即的半径长为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【经典例题二 根据垂径定理求长度】 【例2】（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，线段，分别为的弦，，，是的平分线，若，则弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，，根据圆内接四边形的性质可得，由平分，可得，，，，再证明，，可得，，则，进而求得，可知，再由勾股定理即可求解，能根据角平分线正确作出辅助线是解此题的关键． 【详解】解：过点作垂直于的延长线，交于，作于，连接，， ∵平分，， ∴，，(圆内接四边形对角互补)， 则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴， 由勾股定理可得：，即：， ∴， 故选：D． 1．（2024·广西·模拟预测）如图，点为上三点，，点为上一点，于，，，则的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧，弦，圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，在上取一点F，使得，连接，由得到，进而证明，得到，由三线合一定理得到，则． 【详解】解：如图所示，在上取一点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是 ．    【答案】1 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，构造直角三角形是求线段长的常用方法．连接，，作，先证明四边形是矩形，进而得出，再根据勾股定理求出，可得，根据即可得出答案． 【详解】解：连接，，过点O作于点G，交一点E，交于点F．    ∵，， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是1cm， 故答案为：1． 3．（2024·上海静安·二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，．    (1)求证：； (2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质： （1）作于点E，交于点F，连接运用证明，可得出结论； （2）设的半径为，在中，运用勾股定理列出方程求出的值即可得出结论． 【详解】（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴； （2）解：设的半径为，则， 又， ∴， 在中，， 即：， 解得，， ∴. 【经典例题三 根据垂径定理求角度】 【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，是直径，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：． 1．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，四边形内接于，E为延长线上一点，连接，若，且，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，连接，由， 证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形，得再证明是等边三角形即可得出结论． 【详解】连接，如图， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴，即是等边三角形， ∴， ∴, 故选：D 2．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接， ∵点C为半圆上的四等分点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段延长线上时， ∵， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 3．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，是的直径，于点，连接并延长交于点，且恰为的中点． (1)求的度数； (2)证明：是的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由垂径定理得出，由线段垂直平分线的性质得出，，从而得出，推出是等边三角形，即可得出结论； （2）证明出是等边三角形，结合得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，为的直径， ， 垂直平分， ， 为的中点，过圆心， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， （2）解：为的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ，即是的中点． 【经典例题四 根据垂径定理求面积】 【例4】（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）    A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的底边为定值， ∴使得底边上的高最大时，面积最大， 点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，    ∵，的半径为1， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键． 1．（2023·湖北鄂州·一模）如图，以等边的一边为直径的半圆交于点，交于点，若，则阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，，可得，，都是等边三角形，从而得弓形的面积弓形的面积，进而得阴影部分的面积的面积，进而即可求解． 【详解】连接，，， 是等边三角形， ，， ， ，，，都是等边三角形， ， 弓形的面积弓形的面积， 阴影部分的面积的面积， ， 是等边三角形，边长为， 过点作于点，则，， 的面积， 阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，圆的对称性，得出阴影部分的面积等于的面积是解题的关键． 2、（2023·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ． 【答案】40 【分析】由，得，结合，推出是的中位线，是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，得到的长，再根据直径所对的圆周角是直角知道，从而利用即可求得面积． 【详解】 为的中位线 又 ，点是中点 即为中点 是的中位线 是直径 的面积 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线，圆周角定理及其推论，勾股定理，二项式的化简等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 3．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题主要考查了弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等等： （1）如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； （2）先由垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可根据三角形面积公式求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； 由角平分线的定义得到，则，则，则； （2）解：设交于H，连接， 角平分线的定义得到，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 利用垂径定理求平行弦问题】 【例5】（2022·四川遂宁·中考真题）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB， ∴AD=DB= AB= 在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2， 解得，OA=4 ∴OD=OC-CD=3， ∵AO=OE,AD=DB, ∴BE=2OD=6 故选B 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键 1．（2022·九年级单元测试）如图所示，矩形与相交于、、、，若，，，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，求出DH的长，再根据矩形的性质求出MP的长，再由垂径定理解答即可. 【详解】如图所示，过O作OH⊥CD并延长，交AB与P，则EH＝EF＝×8＝4，DH＝DE＋EH＝1＋4＝5，即AP＝5，MP＝AP－AM＝5－2＝3，MN＝2MP＝2×3＝6.故C选项正确,                               【点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形求解. 2．（2022春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值． 【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H． ∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F， ∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9， ∴，， ∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21， BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21， 在Rt△BCH中，根据勾股定理得：， 即PA＋PC的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键． 3．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ． 【答案】 【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算． 【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， 则EH=FH=EF=2， ∵GB=5， ∴OF=OB=， 在△OHF中，勾股定理，得 OH=， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形OADH也是矩形， ∴AD=OH=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在上，经过圆心O的线段于点F，与交于点E，已知半径为5． （1）若，，求的长； （2）若，且，求弦的长； 【答案】（1）7；（2）8 【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE的长，即可求出EF的长； （2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设，在中，利用勾股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长． 【详解】解：（1）连接AO和DO， ∵，且EF过圆心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理， ， ∴； （2）如图，连接BO和DO， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ，解得，（舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解． 5．（2021春·全国·九年级专题练习）如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点. (1)如图1,当半径为,若,求弦的长; (2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长. 【答案】(1)8  (2) 【分析】(1)连接，根据垂径定理求出的长，因为，进而在中根据勾股定理求出长，所以求出的长即可; (2) 连接,过点D作于点M，根据勾股定理和垂径定理求出，可以证明,进而求出的长，根据所做的辅助线，可得为等腰直角三角形，所以可以求出的长，然后根据，进而求出的长； 【详解】解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长， 即：, , 设，则， 由勾股定理得： , 即：， 解得：, ; (2)连接,过点D作于点M，如图所示： ， 在中根据勾股定理可得： , , ， 而, , 又 在和中， , , , , , , , 为等腰直角三角形， , 把代入到中， 解得：. 【点睛】本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，最后代入求值. 【经典例题六 利用垂径定理求同心圆问题】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．（2021秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 【答案】134 【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32， ∵OE⊥AB， ∴AE=EB=100cm， 在RT△OAE中， 在RT△OCE中，， 则 解得：r=134． 故答案为：134． 【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．（2021·湖南长沙·统考中考真题）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先根据垂径定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 4．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 5．（2020秋·江苏扬州·九年级统考阶段练习）高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【答案】(1)6;(2). 【分析】（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出． 【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111， 到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111 到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000 所以，到第6天所有鸡都会被感染； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA． ∵OA=5，OC=3，CD=4， ∴CE=2． 在Rt△OCE中，AE= ， ∴AC=AE-CE= ， ∵AC=BD， ∴AC+BD=． 答：这条公路在该免疫区内有（）千米． 考点：（1）垂径定理的应用；（2）勾股定理． 【经典例题七 利用垂径定理求解其他问题】 【例7】（2020秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A、B、C是圆上的点，则此圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC，根据垂直平分线可得AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6，设OD=x，则OE=16-x，再根据OB=OC即可列出方程求得x=7，最后再根据圆的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接BC，作AB，BC的垂直平分线，交点为点O，连接OB，OC， 则OB=OC，AE=BE=2，DE=4×4=16，DC=4+2=6， 设OD=x，则OE=16-x， ∵OB=OC， ∴OB2=OC2， ∴22+(16-x) 2=62+x2， 解得x=7， ∴r2=OB2=22+92=85， ∴圆的面积S=πr2=85π， 故选：B． 【点睛】本题考查了作三角形的外心，垂径定理的应用，圆的面积公式，熟练掌握垂径定理是解决本题的关键． 1．（2020秋·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的圆心是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=，所以a=3+． 【详解】过作轴于点，交于点，作于点，连接，如图． 的圆心坐标是， 把代入得， 点坐标为， 为等腰直角三角形， 也为等腰直角三角形． ， 在中， ， ． 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质． 2．（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．    【答案】3 【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵过圆心O， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键． 3．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均在格点上，并且在同一个圆上，取格点，连接并延长交圆于点． （1）线段的长为 ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画图： ①确定圆心；并求出四边形外接圆的半径为 ； ②画出线段，使平分，且点在圆上并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 作出的平分线并延长交圆于点，连接，即为所求 【分析】（1）根据网格的特征，利用勾股定理求解即可； （2）根据格点的特征及勾股定理确定四边形外接圆的圆心，从而求解半径； （3）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可． 【详解】（1）根据网格的特征， 线段 故答案为：． （2）根据格点的特征，四边形外接圆的圆心位于格点O的位置，连接，，，， 由题意可得 故答案为：． （3）取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可， 由格点特征可得四边形为平行四边形，则有 点为中点，即为的中位线 点为中点 ∴点是的中点 ∴ ∴即为所求， 故答案为：取格点，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接，即可. 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用网格的结构特点构造平行四边形和中位线． 4．（2023秋·江苏·九年级专题练习）不过圆心的直线交于、两点，是的直径，于，于．    (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形； (2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论除外不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意构造出垂径定理的基本图形，使得于，于． （2）根据图形得出结论 （3）选择图①，过作于．由垂径定理知．进而得出 ，则． 【详解】（1）解：如图所示， 在图①中、延长线交于外一点； 在图②中、交于内一点； 在图③中．    （2）在三个图形中均有结论：线段． （3）证明：如图①，过作于．由垂径定理知． 于，于， ， ∴， 为直径， ， ， ． 【点睛】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 5．（2020春·浙江杭州·九年级期中）如图，已知正方形的边长为1，正方形中，点在的延长线上，点在上，点在线段上，且．以为半径的与直线交于点、． （1）如图1，若点为中点，且点，点都在上，求正方形的边长． （2）如图2，若点在上，求证：以线段和为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值． （3）如图3，若点在上，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；；（3）证明见解析 【分析】（1）连接OC，设BE=EF=x，则OE=x+，得出(x+)2+x2＝()2+12，解得：x=，则答案求出； （2）连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=，则结论可得证； （3）连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）2+b2，得出a=b，则OA=EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE=∠ODA，结论得出． 【详解】解：（1）连接 ∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形， ∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°， ∵点O为AB中点， ∴OB=AB=， 设BE=EF=x，则OE=x+， 在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2， ∴(x+)2+x2＝OF2， 在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2， ∴()2+12=OC2， ∵OC，OF为⊙O的半径， ∴OC=OF， ∴(x+)2+x2＝()2+12， 解得：x=， ∴正方形BEFG的边长为； （2）证明：如图2，连接OC， 设OB=y，BE=EF=x， 同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2， ∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12 ∵OC，OF为⊙O的半径， ∴OC=OF， ∴x2+（x+y）2=y2+12， ∴2x2+2xy=1， ∴x2+xy=， 即x（x+y）=， ∴EF×OE=， ∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为． （3）证明：连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b， ∵∠DAO=∠OEF=90°， ∴DA2+OA2=OD2，OE2+EF2=OF2， ∴12+a2=OD2，（1-a+b）2+b2=OF2， ∵OD=OF， ∴12+a2=（1-a+b）2+b2， ∴（b+1）（a-b）=0， ∵b+1≠0， ∴a-b=0， ∴a=b， ∴OA=EF， 在Rt△AOD和Rt△EFO中， ， ∴Rt△AOD≌Rt△EFO（HL）， ∴∠FOE=∠ODA， ∵∠DAO=90°， ∴∠ODA+∠AOD=90°， ∴∠FOE+∠AOD=90°， ∴∠DOF=90°， ∴DO⊥FO． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键． 【经典例题八 垂径定理的推论】 【例8】（2022九年级上·全国·专题练习）下列命题中错误的有（    ）． （1）弦的垂直平分线经过圆心      （2）平分弦的直径垂直于弦 （3）梯形的对角线互相平分      （4）圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的性质，垂径定理和四边形的识别，根据垂径定理可对命题（1）（2）进行判断，根据四边形的相关性质可对命题（3）进行判断，根据对称轴的定义可对命题（4）进行判断，熟练掌握相关性质是解本题的关键． 【详解】（1）弦的垂直平分线经过圆心，这个命题正确； （2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以命题（2）错误； （3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以命题（3）错误； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以命题（4）错误； 因此以上命题中有3个命题是错误的， 故选：C． 1．（23-24九年级上·广东江门·期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案． 【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径， ∴，，，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，，故选项B，C正确，不符合题意； 已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是 ．    【答案】/度 【分析】过O作半径于点F，连，由垂径定理得到，则有，再根据题意证明为等边三角形，得到，则的度数可求． 【详解】解：过O作半径于点F，连， ∴， ∴，    ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 则的度数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的性质、垂径定理、等边三角形的性质和判定，及轴对称图形的性质，熟练根据垂径定理作辅助线得到等边三角形是关键． 3．（2024·江西抚州·二模）如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线的定义； （1）连接并延长，交于点，连接，即可求解； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求． 【详解】（1）如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求； ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求 ∵ ∴ ∴ ∴， 连接， ∴垂直平分 ∴ ∴ 【经典例题九 垂径定理的实际应用】 【例9】（2024·安徽池州·三模）如图1，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热，如图2，它的截面图可以近似看作是由去掉两个弓形后与矩形组合而成的图形，其中，若的半径为25，，则该平底烧瓶的高度为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，过点O作，交于点E，交于点F，，利用垂径定理，得到，再利用勾股定理，，，即可求出平底烧瓶的高度． 【详解】如图，连接，过点O作，交于点E，交于点F， ∵， ∴， 且易知平分， ∵， ∴， 在和中，， 由勾股定理得，， ∴该烧瓶的高度为． 故选：D 1．（2024·湖北·一模）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M， ∵， ∴， 连接，， ∴， ∵，． ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故选：C． 2．（23-24九年级下·上海宝山·期中）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形是观众观演区，阴影部分是舞台，是半圆O的直径，弦与平行．已知长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳 名观众． 【答案】150 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，矩形的性质等知识，过O作于G，交弧于H，连接，利用垂径定理求出，设半圆的半径为r，在中，利用勾股定理求出半径，从而可求矩形的面积，即可求解． 【详解】解：过O作于G，交弧于H，连接， 则，， ∵，， ∴， 设半圆的半径为r，则， 在中，， ∴， 解得， ∴ ∴正方形边长， ∴， ∴矩形的面积为， ∵每平方米最多可以坐3名观众，， ∴观演区可容纳人， 故答案为：150． 3．（2024·河南信阳·一模）河南是全国重要的文物大省，地下文物全国第一，地上文物全国第二．“以铜为鉴，可以正衣冠”．铜镜，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．如图是一个铜镜的残片，文物修复专家准备用现代高科技手段将其复原，使得“破镜重圆”．文物修复专家量得铜镜残片上最大的弦的长为，铜镜上的点到弦的最大距离为． (1)请你用尺规作图的方法，帮助文物修复专家找出铜镜所在圆的圆心（简要说明作图思路，不写具体作法，保留作图痕迹）； (2)请你帮助文物修复专家求出铜镜所在圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理．关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心． （1）利用垂径定理可知，圆心O是两条弦中垂线的交点； （2）连接．由题意可知，，则，设的半径为，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，作弦的垂直平分线，交弧 于点 C，连接，作的垂直平分线，和的交点即是圆心O的位置； （2）如图所示，连接． 由题意可知，，则， 设的半径为，则． 在中， ， 解得 ， 所以的半径为 ． 【经典例题十 利用弧、弦、圆心角的关系求解】 【例10】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答． 【详解】解：A、∵点A是中点， ∴， ∴， 无法得出，故选项A错误； B、如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故此选项正确； C、∵， ∴，故选项C错误； D、无法得出，故选项D错误． 故选：B．    【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键． 1．（2023·江苏·模拟预测）将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案． 【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，, ∴， ∵沿折叠得到，， ∴点C和点D关于对称， ∴， ∴， 故选C 【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系． 2．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，在半圆O中半径为，，与交于点D （1）＝ ； （2）当点D恰好为的中点时，＝ ． 【答案】 60° 【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以； （2）设，得，，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：（1）,， ， ， ， 为圆O的直径， ， ； 故答案为：； （2）设， ∵点D恰好为的中点， ， 在中，， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得（舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题． 3．（2022春·山东烟台·九年级校联考期中）如图，以的半径为半径，自上的A点起，在圆上依次画弧截取点B，C，D，E，F．正方形EFGH的中心为，连接FA，，则 ． 【答案】75°/75度 【分析】连接OA，OF，OE，根据等边三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦关系，求得∠AFE=120°，再根据正方形的性质求得∠O1FE=45°，计算角的差即可解答； 【详解】解：如图，连接OA，OF，OE， ∵FE=OF=OE，∴△OFE是等边三角形，∴∠OFE=60°，∴弧FE=60°， 由圆心角、弧、弦关系可得弧FE=弧ED=弧DC=弧CB=弧BA=60°， ∴弧AF=360°-60°×5=60°，∴∠AOF=60°， ∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∴∠AFO=60°， ∴∠AFE=∠AFO+∠OFE=120°， ∵O1是正方形的中心，∴∠O1FE=45°， ∴∠AFO1=∠AFE-∠O1FE=75°， 故答案为：75°； 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；等边三角形的判定和性质；正方形的性质；掌握相关性质是解题关键． 4．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，在半圆O中半径为，，，与交于点D， (1)__________； (2)当点D恰好为的中点时，__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，得 ，所以，由为圆O的直径，得，所以； （2）设，得，，，在中，根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴， ∴ ， ∴， ∵为圆O的直径， ∴， ∴； 故答案为：60°； （2）解：设， ∵点D恰好为的中点， ∴， 在中，， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∵圆O半径为，则， ∴， 解得（舍去 ）， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系和勾股定理，解题的关键是正确利用勾股定理解决问题． 5．（2023秋·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料： 定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆． 我们由定理可以进一步得出结论：，，． 定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分． 探究问题：如图，在和中， ，，，连接交于点，交于点，连接． (1)求证； (2)请直接写出___________度，___________度； (3)若，求证． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)， (3)证明过程见详解 【分析】（1）根据题意，证明即可求证； （2）由（1）可知，在，中即可求解；根据定理一，可知四点共圆，由此即可求解； （3）根据定理二，如图所示（见详解），，证明是等腰三角形，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 在，， ∴在中，， ∴； ∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示， ∵，， ∴是等腰直角三角形，即， ∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同， ∴， 故答案为：，． （3）解：如图所示，取的中点，连接， 由（2）可知，，， ∴在中，点是的中点， ∴根据定理二，可知，即， ∴是等腰三角形，且， ∵是外角， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰三角形，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆、直角三角形、等腰三角形的综合，掌握圆的基础知识，定理一，定理二，等腰三角形的性质是解题的关键． 【经典例题十一 利用弧、弦、圆心角的关系求证】 【例8】．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若，，则的直径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，首先证明，设,在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题 【详解】解：如图，连接． ， ，， 点D是弧的中点， ， ， ， ， 设, 在中，则有， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 1．（2023春·河北承德·九年级校联考阶段练习）已知锐角，观察下图中的作图痕迹，判断下列结论错误的是（    ） A．当时， B． C．与互相垂直平分 D．连接、，是等腰三角形 【答案】C 【分析】根据尺规作图可知所作的平分，据此结合等腰三角形的判定、含角的直角三角形的性质、垂直平分线的判定即可作答． 【详解】根据尺规作图可知所作的平分，， ∴， A项，∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴在中，，即有， ∵， ∴，故该项正确，不符合题意； B项，∵， ∴，故该项正确，不符合题意； D项，连接、， ∵是等腰三角形，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形，故该项正确，不符合题意； C项，根据图形只能证明垂直平分，不能证明垂直平分， 故该项不正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，同圆中相等的圆心角所对应的弧也相等等知识，掌握等腰三角形的判定，是解答本题的关键． 2．（2022秋·九年级单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）： （1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等． （2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等． （3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等． （4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等． 【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题 【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假． 【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题； 对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题； 对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题； 对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为和所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题． 故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题． 【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（2023秋·北京·九年级清华附中校考期中）如图，是的直径，弦，分别过、作的垂线，垂足为、，以下结论 ①； ②； ③若四边形是正方形，则； ④若为弧的中点，则为中点． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，可得结论①②正确，证明，可得③错误；证明是等边三角形，可得④正确，从而可得答案． 【详解】解：连接、，如图， 、， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ，， ，故②正确， ，， ，故①正确， 当四边形是正方形时，， ， ， 故③错误， 若是的中点，连接，而 ， ， 是等边三角形， ， ，故④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，直角三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，圆心角、弧、弦的关系；掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”是解题的关键． 4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．    (1)连接，判断与的位置关系，并证明； (2)若，，求圆O的半径； 【答案】(1)，证明见详解 (2)5 【分析】（1），理由如下：延长交于点，连接，再根据圆的基本性质及等腰三角形的性质即可； （2）由（1）中结论，，，先证明，再根据勾股定理即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长交于点，连接，    ， ， ； （2）解：由（1）中结论，， ， ， 设的半径为，则， 在中，，即， 解得：，即的半径为5．    【点睛】本题考查圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 5．（2023秋·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程 证明：如图2，在上截取，连接，，和 是弧的中点， ∴， …… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______. (3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论； （3）过点作，根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和． 是的中点， ． 在和中 ， ， ， 又， ， ． （2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为 故答案为：． （3）解：如图所示，过点作， 由阿基米德折弦定理得：， ∵ ∴ ∴， ∴的周长为 【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长法”是解答本题的关键． 【经典例题十二 垂径定理中的最值问题】 【例12】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得出当时，最小，即最小，进而可得是等腰直角三角形，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直于 ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴当时，最小，即最小， ∴是等腰直角三角形， 设， 则， ∵， 在中， 即 解得：（负值舍去） 故选：B． 1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）如图，是的直径，是的弦，于点是上一动点，连接是的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位线定理，垂径定理，勾股定理等．根据题意可知当为直径时，有最大值，再利用中位线定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，于点， ∴连接， ∴，， ∴当为直径时，有最大值， ∴， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴的最大值为， 故选：C． 2．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题 【详解】解：∵， ∴ ∵C为的中点， ∴， 在绕点O旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ∵， ∴， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵C为的中点， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为： 3．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是弦上的一个动点，连接，过点作交于点． (1)试说明当点在的什么位置时，的长取得最大值？ (2)若，求长的最大值． 【答案】(1)为中点位置； (2) 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理； （1）连接，如图，利用勾股定理得，利用垂线段最短得到当时，最小； （2）根据（1）得出、重合进而根据，求出即可． 【详解】（1）解：连接 又为半径是一个定值， 越小，越大 当为垂线段时，为最小值，则取最大值 为中点位置时，的长取得最大值． （2）由（1）知 、重合 的最大值是． 1．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离为，水面宽为，则桥拱半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．在圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．连接，由题意可知，，设桥拱半径，则，，在中，根据勾股定理求出r的值即可． 【详解】解：如图，连接． 由题意可知，且过圆心， ∴． 设桥拱半径，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴桥拱半径为． 故选B． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 3．（2024·江苏宿迁·二模）七巧板被西方人称为“东方魔术”，如图，小米同学运用数学知识设计徽标，将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，取名为“火箭”，过该图形的，，三个顶点作圆，则该圆的半径长上（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质，确定圆的条件以及三角形的外接圆与外心，先求得，，利用垂径定理求得的长，在中，由勾股定理求解即可，解题的关键是作出适当的辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：∵将边长为的正方形分割成的七巧板拼成了一个轴对称图形，如图，连接， ∴，， ∴， 设该圆的半径长是，则，， 在中，由勾股定理得，解得， ∴该圆的半径长是， 故选：． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，于点，于点，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接、，过点作，交于点，交于点，交于点，易得四边形、四边形均为矩形，由垂径定理可得，在中，由勾股定理可解得的长度，进而可计算的长度，然后计算圆盘离桌面最近的距离即可． 【详解】解：连接、，过点作，交于点，交于点，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 即圆盘离桌面最近的距离是． 故选：C． 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的半径为，点为上一点，连接，以为一条直角边，使，，交于点，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，三角形的面积，勾股定理，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，利用三角形的等面积法求得，再由勾股定理得，进而得，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则，，    ∵的半径为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，古人在计算残缺的不确定圆心的圆形物件的半径时，会采用以下的方法：在圆上找两点A，B，连接并确定的中点C，弧的中点D．若测得为20分米，为5分米，则半径为 分米． 【答案】12.5 【分析】本题考查圆的基本性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握圆的基本性质，勾股定理的应用，根据题意，垂直平分，则圆心在上，连接，设半径分米，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：点为弦的中点，点D为弧的中点， ∴垂直平分，则圆心在上，则分米， 连接， 设半径分米，分米， 在中，，即：， 解得：， 即：半径为12.5分米， 故答案为：12.5． 7．（2023·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ． 【答案】40 【分析】由，得，结合，推出是的中位线，是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，得到的长，再根据直径所对的圆周角是直角知道，从而利用即可求得面积． 【详解】 为的中位线 又 ，点是中点 即为中点 是的中位线 是直径 的面积 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线，圆周角定理及其推论，勾股定理，二项式的化简等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键． 8．（2024·江苏南京·一模）圆在中式建筑中有着广泛的应用．如图，某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为，地面入口的宽度为，门枕的高度为，则该圆弧所在圆的半径为 m． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设该门洞的半径的半径为，过点作于点，延长交圆于点，连接，则，由垂径定理得，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：设该门洞的半径的半径为，如图，过点圆心作于点，延长交圆于点，连接， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即该门洞的半径为， 故答案为：． 9．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题 【详解】解：∵， ∴ ∵C为的中点， ∴， 在绕点O旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图， ∵， ∴， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵C为的中点， 由勾股定理得，， ∴的周长， 故答案为： 10．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接， ∵点C为半圆上的四等分点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段延长线上时， ∵， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 11．（2024·上海·模拟预测）如图，以为直径的圆O中，点O为圆心，C为弧的中点，过点C作且．连接，分别交，于点E，F，与圆O交于点G，连接． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定可得四边形为平行四边形，根据为半圆的中点可得，根据矩形的判定可得平行四边形为矩形，即可证明； （2）连接，，交于，结合（1）易知四边形为正方形，可证，得，再证垂直平分，进而证明，再根据角度之间的互余关系可得，即可则证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵为半圆的中点， ∴，即， ∴平行四边形为矩形． ∴， ∴． （2）证明：连接，，交于， 由（1）可知平行四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆的基本性质，矩形、正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 12．（2024·江苏泰州·一模）如图，内接于，，，垂足为D． (1)请用无刻度的直尺在上找一点P，使得平分，保留作图痕迹，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)图见解析，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理和勾股定理： （1）连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． （2）过点O作，垂足为H，求出由勾股定理求出,从而得,在中由勾股定理求出 【详解】（1）解：连接并延长交于点P，则点P即为所求作的点． 理由：连接， ∵， ∴ 又， ∴ ∴ 又∵， ∴垂直平分， 由垂径定理：点P是的中点， ∴平分． （2）解：过点O作，垂足为H， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∵ ∴， ∴ 又 ∴ ∴． 13．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若． (1)连接，求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， 为的下半圆弧的中点， ， ， ， ； （2）在中，， ， （不合题意舍去）或， 的半径为． 14．（2023·贵州·模拟预测）如图，是的直径，弦与相交于点E，． (1)写出图中一对你认为全等的三角形 ； (2)求证：； (3)若的半径为4，，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键． （1）由得，再证明，从而证明出； （2）由垂径定理可得结论； （3）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． （2）证明：∵， ， ． （3）解：，， ， ， ， ， ， ． 15．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴相交于点A，B，过点O，A的与该直线相交于点C，连结，． (1)求点E到x轴的距离． (2)连结，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理、勾股定理和一次函数图象上点的坐标特征． （1）过点作轴于点，先确定，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）连结，，如图，先求出，则可判断为等腰直角三角形，所以，再根据圆周角定理得到，所以为等腰直角三角形，于是根据等腰直角三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， 当时，，解得， ， ， ， 在中，， 点到轴的距离为； （2）连结，，如图， 当时，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 为等腰直角三角形， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$