专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 点与圆的位置关系 题型六 三角形的外接圆 题型七 确定圆的条件 题型八 圆中角度的计算 题型九 圆中线段长度的计算 题型十 求一点到圆上点距离的最值 知识点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点二、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024九年级下·全国·专题练习）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023九年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 ． ①直径是圆中最长的弦，弦是直径； ②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④圆心不同的圆不可能是等圆； ⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形； ⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段； ⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长．”试分析这个观点是否正确． 甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长． 乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长． 请你判断谁的说法正确？    【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 3．（21-22九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 2．（21-22九年级上·江苏镇江·期中）小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为 ． 3．（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 3．（2024·广东佛山·一模）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩。小明同学发现沙滩上有很多遮阳伞，为游客带来一丝清凉。如图1是沙滩上的某型号圆形遮阳伞支架完全张开的状态，其伞柄和主骨架如图4所示（、、、在同一平面内）。为了了解遮阳伞下方的阴影大小，小明进行了如下探究． 【测量与整理】通过操作，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合，此时；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】 (1)伞从折叠到完全张开时，求骨架的端点到支点的距离； (2)当太阳光垂直照到地面上，求圆伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 【经典例题五 点与圆的位置关系】 【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（    ）    A． B． C． D． 1．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，的半径为，一次函数与相交于点． (1)求点的坐标； (2)判断点与的位置关系并说明理由； (3)过点作轴的垂线交于点，将直线沿轴向下平移多少个单位，该直线刚好经过点． 【经典例题六 三角形的外接圆】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ． 3．（22-23九年级上·山西大同·期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．    (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少? 【经典例题七 确定圆的条件】 【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）任意三点可以确定一个圆 （4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线 （5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 3．（22-23九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． (2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； (3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 【经典例题八 圆中角度的计算】 【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（    ）      A．15° B．30° C．45° D．60° 1．（2023·四川广元·统考一模）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1） ． （2）连接，则的最小值为 ． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，C为上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的面积与的面积之比为，求的值． 【经典例题九 圆中线段长度的计算】 【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（　　） A．4 B．5 C． D． 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点．若，则的长为（　　） A． B． C．1 D．2 2．（2023春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，M是边上的一点，将沿对折至，连接，当的长最小时，则的长是 ．    3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求： (1)圆心O到的距离． (2)求的长． 【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】 【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中， ，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    3．（2023·河北衡水·统考二模）如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 4．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（    ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 5．（2024·山东淄博·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．12 B．24 C．14 D．28 6．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ． 7．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 9．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 10．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，， 是平面内一动点，且，则线段的最大值为 ．    11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，并求的度数．    12．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）尺规作图（保留作图痕迹）． (1)已知：如图，A、B是上任意两点，求作：的直径，使； (2)已知：如图，A、B是内任意两点，求作：的直径，使． 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，、是的弦，连接、并延长，分别交弦、于点、，．求证：． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． (1)证明：； (2)证明：； (3)问：点P在的平分线上吗？为什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 点与圆的位置关系 题型六 三角形的外接圆 题型七 确定圆的条件 题型八 圆中角度的计算 题型九 圆中线段长度的计算 题型十 求一点到圆上点距离的最值 知识点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点二、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 综上所述，四个说法中正确的只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）下列说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧中，正确的命题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个命题进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，所以长度相等的两条弧是等弧，故原说法错误； 所以，正确的命题有①③共2个． 故选：B． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是 ． ①直径是圆中最长的弦，弦是直径； ②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④圆心不同的圆不可能是等圆； ⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形； ⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段； ⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形． 【答案】②⑤⑥⑦ 【分析】利用圆的有关定义及性质、等腰三角形的判定、中心对称图形的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦正确，弦是直径错误； ②同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧，正确； ③长度相等的两条弧是等弧，错误； ④圆心不同的圆不可能是等圆，错误； ⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形，正确； ⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段，正确； ⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确， 正确的有②⑤⑥⑦． 故答案为：②⑤⑥⑦． 【点睛】本题考查了圆的有关定义及性质，等腰三角形的判定，中心对称图形的定义等知识，解题的关键是牢记有关的定义及定理． 3．（2023九年级上·江苏·专题练习）有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长．”试分析这个观点是否正确． 甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长． 乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长． 请你判断谁的说法正确？    【答案】乙的观点正确 【分析】根据圆的基本概念进行分析即可． 【详解】解：弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行． ∴乙的观点正确． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，掌握在等圆或同圆中，优弧大于劣弧的概念是解题的关键． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键 【详解】 解：弦为，共有3条， 故选：B． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）的半径为，A为上一定点，点P在上沿圆周运动（不与点A重合），则使弦的长度为整数的点P共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径． 根据的半径为，得到直径，根据，得到在半圆上，有3个，另一侧也有3个，加上长度为的是与B点重合，一共有7个． 【详解】如图，∵的半径为， ∴直径， ∴弦长的整数值有或或或，共4种可能， 当或或时,各有2条, 当时有1条, ∴这样的弦共有7条． ∴这样的点P共有7个． 故答案为：7． 3．（21-22九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝4+2， ∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 1．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 2．（21-22九年级上·江苏镇江·期中）小明同学非常喜欢数学，他在课外书上看到了一个有趣的定理“中线长定理”：在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】根据矩形的性质得，，即，，即可得． 【详解】解：如图，设点M为DE的中点，点N为FC的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值， ∵DE=4，四边形DEFG为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三条边的关系，中线长定理，解题的关键是掌握中线长定理． 3．（2019九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 【详解】连结，， ∵    ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14    ∴的最大值为. 【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】A 【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为D点， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置． 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分，已知，以另外三个圆的半径为边的三角形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的面积公式，勾股定理逆定理．根据题意结合圆的面积公式求出三角形三边长，再结合勾股定理逆定理证明该三角形为直角三角形是解题关键．由题意可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为．再根据圆的面积公式可求出，，，根据勾股定理逆定理可判断这个三角形为直角三角形，再计算其面积即可． 【详解】解：∵以点为圆心的三个同心圆把以为半径的大圆的面积四等分， ∴可设以为半径的圆的面积为，则以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为． ∵以为半径的圆的面积为， ∴， ∴， ∴以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为，以为半径的圆的面积为， ∴，，， ∴，，， ∴，，，， ∴以另外三个圆的半径为边的三角形为直角三角形，且直角边为和， ∴这个三角形的面积为． 故选C． 2．（23-24九年级上·河南·期末）如图，周长为16的正方形中，E、F分别为、的中点，连接，以和为直径的两个半圆分别与相切，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以，据此即可求解．本题考查了不规则图形的面积的计算，计算不规则图形的面积一般是将不规则图形的面积转化为通过对多个规则图形面积的加减来解答． 【详解】∵周长为16的正方形， ∴正方形的边长4， ∴图中两个半圆的直径为4， 则其半径为2， 根据图形可知，阴影部分的面积是正方形的面积减去圆形的面积，再乘以， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 3．（2024·广东佛山·一模）综合与实践 【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩。小明同学发现沙滩上有很多遮阳伞，为游客带来一丝清凉。如图1是沙滩上的某型号圆形遮阳伞支架完全张开的状态，其伞柄和主骨架如图4所示（、、、在同一平面内）。为了了解遮阳伞下方的阴影大小，小明进行了如下探究． 【测量与整理】通过操作，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合，此时；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，． 【计算与分析】 (1)伞从折叠到完全张开时，求骨架的端点到支点的距离； (2)当太阳光垂直照到地面上，求圆伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图2可求得的长度，如图4，得到的长度，即可求得； （2）连接，，过点作于，由等腰三角形的性质可得为圆形伞的半径，然后证明四边形是矩形，可得，由勾股定理解得，最后由圆的面积公式可求解． 【详解】（1）， 如图2可知， 如图4， 答：骨架的端点到支点的距离为． （2）如图4，连接，，过点作于， 又 为圆形伞的半径 又点是中点，等于一半 ， 又， 四边形是矩形 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，二项式化简，圆的面积公式，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键． 【经典例题五 点与圆的位置关系】 【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键． 1．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两圆相切的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：连接， 四边形为矩形， 由勾股定理得，， 以，为圆心的两圆外切， 的半径为， 点在内， ， ， 在内， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，的半径为，一次函数与相交于点． (1)求点的坐标； (2)判断点与的位置关系并说明理由； (3)过点作轴的垂线交于点，将直线沿轴向下平移多少个单位，该直线刚好经过点． 【答案】(1) (2)点在圆上，理由见解析 (3)8 【分析】（1）联立两条直线的解析式，求解即可； （2）求出的长，与的半径比较大小后，即可得到结论； （3）对称性得到点坐标，设直线沿轴向下平移个单位，经过点，得到平移后的直线的解析式为，代入点坐标，求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵的半径为， ∴点在圆上； （3）如图，过点作轴的垂线交于点，    则：关于轴对称， ∴， 设直线沿轴向下平移个单位，经过点， 则平移后的直线为，把，代入得：； ∴将直线沿轴向下平移8个单位，该直线刚好经过点． 【点睛】本题考查两条直线的交点问题，点与圆的位置关系，圆的对称性，以及一次函数图象的平移．熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【经典例题六 三角形的外接圆】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设的外心为M， 、， M必在直线上， 由图可知，线段的垂直平分线经过点， ， 如图，过点M作于点D，连接， 中，，， 由勾股定理得：， 即外接圆半径的长为． 故选D． 【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键． 1．（22-23九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键． 2．（22-23九年级上·山东潍坊·期中）如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ． 【答案】 【分析】设三角形的外心为，然后根据外心的性质可以得到关于x、y的方程组，解方程组即可得解． 【详解】解：设三角形的外心为，由题意可得： ， 则， 解方程可得：， 故答案为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质、二元一次方程组的解法是解题关键． 3．（22-23九年级上·山西大同·期末）工人师傅后在一个上表面是直角三角形的器具上面安装一块圆板，要求这个圆板刚好覆盖住三角形，该直角三角形的形状如图所示．    (1)请用尺规作图在图上作出该图； (2)测量直角三角形的两直角边，，如果这个圆是一个正方形板所截，请你帮助师傅计算出所需要正方形板的最小面积是多少? 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）分别作线段,的垂直平分线，交于点O，以O为圆心， 长为半径画圆即可； （2）利用勾股定理求出，即为所需正方形的版的最小边长，即而求出面积； 【详解】（1）即为所作    （2）∵，， ∴ ∴所需要正方形板的最小面积是 【点睛】此题主要考查了外接圆的作法和勾股定理等知识，作垂直平分线和得出是解题关键． 【经典例题七 确定圆的条件】 【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键． 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）任意三点可以确定一个圆 （4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线 （5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．熟练掌握圆的性质是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据不在同一直线上的三点可以确定一个圆判断（3），根据对称轴的定义对（4）（5）进行判断． 【详解】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以（1）错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以（2）错误； 任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以（3）错误； 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以（4）正确； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心，所以（5）正确； 故正确的个数是2个， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 3．（22-23九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． (2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； (3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)不能． 【分析】（1）根据平移的性质可得答案； （2）先作出，由旋转后点D在线段上可知绕点B顺时针旋转，根据旋转的性质确定点D、E的位置，然后顺次连接即可； （3）根据A、B、E三点共线可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可得，A、B、E三点共线， ∴经过A，B，E三点不能确定一个圆， 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键． 【经典例题八 圆中角度的计算】 【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（    ）      A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到答案． 【详解】解：    连接，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 1．（2023·四川广元·统考一模）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形的判定和性质，得到，再根据三角形外角的性质，得到，利用三角形内角和定理，得到，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质是解题关键． 2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1） ． （2）连接，则的最小值为 ． 【答案】 /90度 2 【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解； （2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴ .∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 故答案为． （2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时 ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，C为上一点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的面积与的面积之比为，求的值． 【答案】(1)∠BOC的度数为50° (2) 【分析】（1）设，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再根据建立方程求解即可； （2）过C作于H，设，根据三角形面积之比求出，则由勾股定理得，进而得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：过C作于H，设， ∵的面积与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股可得， 在中，由勾股可得， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【经典例题九 圆中线段长度的计算】 【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ， ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质． 1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，是的直径，弦于点．若，则的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理得，，从而即可得到，最后由计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ，弦于点， ， 是的直径， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关概念进行计算是解题的关键． 2．（2023春·贵州铜仁·九年级校考阶段练习）如图，在矩形中，，，M是边上的一点，将沿对折至，连接，当的长最小时，则的长是 ．    【答案】 【分析】由翻折可得，故可确定点的轨迹，即可求解． 【详解】解：由题意得： 故点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，如图所示：    设则 在中，， ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查动点轨迹问题．矩形的性质，勾股定理的应用，确定点的轨迹是解题关键． 3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求： (1)圆心O到的距离． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，如图，根据含度的直角三角形三边的关系求出即可； （2）连接，如图，利用勾股定理计算出 和即可得答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图， ， ， ， 在中，， ， 即圆心到的距离为； （2）解：连接，如图， ， ∴在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圆的概念，解本题的关键在熟练掌握度角所对的直角边等于斜边的一半的性质． 【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】 【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， 当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键． 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．过点D作交延长线于G，解,得，，进一步求得，从而解得． 【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．    过点D作交延长线于G， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴ ∴ 由折叠的性质可知 ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中， ，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得出在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在上时，当点P在上时，当P在上时，即可求解． 【详解】解：在矩形中， ， ∴， ， 如图所示，当点P在上时，    ∵， ．∴在A为圆心，2为半径的弧上运动， 当A，，C三点共线时，最短， 此时， 当点P在上时，如图所示，    此时， 当P在上时，如图所示，此时，    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．（2023·河北衡水·统考二模）如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，即可得证； （2）根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上，进而勾股定理求得的长，当在线段上时，取得最小值，即可求解； （3）根据题意作出图形，延长交于点，得出，，勾股定理求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和均为边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是的中点， ∴， ∵点关于的对称点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 连接，如图所示， ∵是的中点，是等边三角形 ∴， ∴， 当在线段上时，取得最小值， ∴的最小值为 （3）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的距离，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，若以点为圆心，的长为半径的圆恰好经过的中点，则的长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键． 连接，由直角三角形斜边中线定理可得，然后可得是等边三角形，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， 故选：D． 2．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理，准确识图，熟练掌握圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理是解题的关键．连接并延长交于点D，根据得出，，再根据三角形外角定理可得，，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 故选：B． 3．（2024·河北保定·二模）如图，在直角坐标系中，存在三个定点分别为，，，顺次连接，现添加一点，使得，那么的长不可能为（    ） A．4 B．7 C．11 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定点所处的位置是解题关键．首先根据点的坐标，确定，由题意可知点在以点为圆心，以5为半径的圆上，然后确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：如下图， ∵，，， ∴，，， ∴， 由题意可知，， 则点在以点为圆心，以5为半径的圆上， ∴当点在线段上时，取最小值， 此时， 当点在线段的延长线上时，取最大值， 此时， ∴的取值范围为， ∴的长不可能是4，选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 4．（2024·河北邯郸·二模）如图，平面上有P，Q，M，N四点，其中任意三点都不在同一条直线上，嘉淇进行了如下操作：①连接四点画出四边形；②利用尺规分别作，的垂直平分线，两直线交于点O．若以点O为圆心，长为半径画⊙O，则不一定在上的点是（    ）    A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上的任意一点，到线段两端的距离相等是解题的关键； 连接，，，，由线段垂直平分线的性质可得出，据此即可得出结论． 【详解】解：连接，，，     作，的垂直平分线，两直线交于点O， ， 点P，Q， N在点O为圆心，长为半径的圆上，与的大小关系不能确定， 点M不一定在圆上， 故选：C． 5．（2024·山东淄博·一模）如图，的半径为4，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于两点．若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（    ） A．12 B．24 C．14 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取得最大值的位置． 连接，根据直角三角形的性质得出，说明要使取得最大值，则需取得最大值，连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值，过点M作轴于点Q，根据勾股定理求出，得出答案即可． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， 点A、点B关于原点O对称， ， ， 若要使取得最大值，则需取得最大值， 连接，并延长交于点，当点P位于位置时，取得最大值， 过点M作轴于点Q， 则， ， 又， ， ． 故选：D． 6．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点D在内，点B在内，那么半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两圆相切的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：连接， 四边形为矩形， 由勾股定理得，， 以，为圆心的两圆外切， 的半径为， 点在内， ， ， 在内， ， ， ． 故答案为：． 7．（2024·上海闵行·三模）若点P到上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么的半径为 ． 【答案】或者 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，分点P在外和内两种情况讨论，当点P在外时，最大距离与最小距离之差等于直径；当点P在内时，最大距离与最小距离之和等于直径，即可得． 【详解】解：点P在外时， 外一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于； 点P在内时， 内一点到上所有的点的距离中，最大距离是，最小距离是， 的半径长等于， 故答案为：或者． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，圆M的半径为4，圆心M的坐标为，点P是圆M上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为 . 【答案】28 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最大值时点P的位置．连接，由中知若要使取最大值，则需取最大值，连接，交于点，当点P位于点时，取得最小值，当点P在的延长线与的交点上时，取最大值，据此可得出取最大值时点P的位置，求解可得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵点A、点B关于原点O对称， ∴，即点为中点， ∴， 若要使取最大值，则需取最大值， 连接，交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，圆心M的坐标为， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴当点P在的延长线与的交点上时，取最大值， ∴的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为：． 9．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值． 【详解】解：作的中点，连接． 矩形中，， ， ， ， ， 当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值． ，，， ， ， 有最小值为4． 故答案为：4． 10．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，，， 是平面内一动点，且，则线段的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆相关知识点，解题的关键是明确点的运动轨迹． 根据勾股定理算出，再根据题意确定点在以为半径的上运动，的最大值，即可求解； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴点在以为半径的上运动， 如图当三点共线时，   最大，最大值． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，是的弦，，．在图中作弦，使，并求的度数．    【答案】图见解析，的度数为或 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，以及圆有关的概念，注意有两种情况，不要漏解 以点A为圆心，以长为半径画圆交于点、，连接，，则或即为所求作的弦．由作图与圆的的有关概念得出，从而得是等边三角形，进而得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图，以点A为圆心，以长为半径画圆交于点、，连接，，则或即为所求作的弦．    连接，． ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴． 同理：． 综上所述，的度数为或． 12．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）尺规作图（保留作图痕迹）． (1)已知：如图，A、B是上任意两点，求作：的直径，使； (2)已知：如图，A、B是内任意两点，求作：的直径，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作图； （1）连接并延长，交于点E，再作的平分线，交于，即为所求 （2）连接，，，根据对称的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得到． 【详解】（1）作法：连接并延长，交于点E，再作的平分线，交于，即为所求． （2）解：如图： 即为所求． 理由：连接，，，如图，根据作法可知，点与点关于点对称，是的垂直平分线， ．．． △． ， 是的垂直平分线， ， ． 13．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，、是的弦，连接、并延长，分别交弦、于点、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握全等三角形的判定与性质 ．由，，可得，证明，可得，进而可证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明：，， ， 又， ， ， 又，， ， ． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是直径，是弦，延长，相交于点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在两个同心圆中，大圆的半径和分别交小圆于点C和D，连接、，交于点P． (1)证明：； (2)证明：； (3)问：点P在的平分线上吗？为什么？ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)在，理由见解析 【分析】本题考查圆的性质，三角形判定的判定及性质． （1）直接运用“”即可证明； （2）由得到，由，得到，从而运用“”即可证明； （3）连接，由得到，运用“”证明，得到，即可得到点P在的平分线上． 【详解】（1）在和中， ∴； （2）∵ ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （3）点P在的平分线上．理由如下： 连接， ∵ ∴ 在和， ， ∴， ∴， ∴平分，即点P在的平分线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$