专题04 二次根式的50道混合运算专训（5大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题04 二次根式的50道混合运算专训（5大题型） 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 二次根式的乘除法 题型三 二次根式的加减法 题型四 已知字母的值化简求值 题型五 分母有理化 【经典计算题一 利用二次根式的性质化简】 1．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 2．（23-24八年级下·广东汕尾·期中）． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知，化简：． 4．（23-24八年级下·广东汕尾·期中）． 5．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知，化简：． 6．（23-24七年级下·广西玉林·期中）已知，如图，在数轴上，请化简． 7．（23-24八年级下·云南昆明·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将将变成，即变成，从而使得得以化简． (1)例如，． ________ (2)请仿照上例化简：． 8．（23-24八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：若都是非负实数，则，当且仅当时，“”成立． 证明：，． ，当且仅当时，“”成立． (1)已知，求的最小值； (2)如图，灯湖中学计划在一楼建造一个长方形活动区域，由长方形的休闲区（即图中阴影部分）和环休闲区运动跑道（四周空白部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，运动跑道的宽分别为2米和5米．因为用地限制，要使整个活动区域所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？ 9．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ， ． 善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______ (2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简 (3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系． 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【经典计算题二 二次根式的乘除法】 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值： ，其中 2．（2023·湖北襄阳·二模）先化简，再求值：，其中． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）（1）化简： （2）计算：，，求的值． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 6．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 7．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）你能找出规律吗 (1)计算：__________，__________，__________，__________； (2)请按找到的规律计算：①；②； (3)已知，把用含的式子表示． 8．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 10．（23-24八年级上·江西吉安·阶段练习）我们知道，任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如可以分解成，或，显然是的最佳分解，此时． (1)直接写出的最佳分解：________，________； (2)若正整数，满足，，且，求的值． 【经典计算题三 二次根式的加减法】 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）计算：． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）计算： 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2) 4．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算： (1) (2) 5．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 6．（23-24八年级下·河南安阳·期末）计算： (1)； (2)． 7．（23-24八年级下·河南新乡·期末）计算： (1)； (2) 8．（2024八年级下·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以． 所以，即．所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_______； (2)若，求的值： (3)计算：． 【经典计算题四 已知字母的值化简求值】 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，求代数式的值． 4．（2024·江西南昌·二模）先化简，再求值：，其中． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 6．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）（1）计算：． （2）求值：已知，，求的值． 7．（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 9．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中 10．（23-24八年级下·广东珠海·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ，即． ，， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)若，求的值． 【经典计算题五 分母有理化】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中． 2．（2024·福建泉州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 3．（2024·福建厦门·二模）先化简，再求值：，其中． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）先化简再求值：，其中． 5．（2024·广东梅州·模拟预测）先化简，再求值，其中． 6．（2024·吉林·二模）先化简， 再求值： ，其中 ． 7．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 8．（23-24八年级下·山东威海·期中）计算： (1) (2)； 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 任务： (1)化简： ； (2)若，求的值． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】 像，（），（），， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离； (4)化简：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式的50道混合运算专训（5大题型） 题型一 利用二次根式的性质化简 题型二 二次根式的乘除法 题型三 二次根式的加减法 题型四 已知字母的值化简求值 题型五 分母有理化 【经典计算题一 利用二次根式的性质化简】 1．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 2．（23-24八年级下·广东汕尾·期中）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先用二次根式的性质、零指数幂、绝对值性质进行化简，再进行加减运算，即可求解；掌握（），（），是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的双重非负性，绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据的取值范围和二次根式的双重非负性，化简式子，合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据二次根式的被开方数和开绝对值的结果必须大于等于零， ∴，， 故， 故答案为． 4．（23-24八年级下·广东汕尾·期中）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先用二次根式的性质、零指数幂、绝对值性质进行化简，再进行加减运算，即可求解；掌握（），（），是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 5．（23-24八年级下·陕西安康·期末）已知，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的双重非负性，绝对值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据的取值范围和二次根式的双重非负性，化简式子，合并即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据二次根式的被开方数和开绝对值的结果必须大于等于零， ∴，， 故， 故答案为． 6．（23-24七年级下·广西玉林·期中）已知，如图，在数轴上，请化简． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、数轴、绝对值，掌握数轴上数的特征及二次根式的性质是解题的关键．由在数轴上的位置可得，，，再化简即可． 【详解】解：由在数轴上的位置可得，，， 原式， ， ， 7．（23-24八年级下·云南昆明·期中）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则将将变成，即变成，从而使得得以化简． (1)例如，． ________ (2)请仿照上例化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质． （1）把被开方数中的5写成，然后利用完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质化简即可； （2）把被开方数中的11写成，然后利用完全平方公式分解因式，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ． 8．（23-24八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：若都是非负实数，则，当且仅当时，“”成立． 证明：，． ，当且仅当时，“”成立． (1)已知，求的最小值； (2)如图，灯湖中学计划在一楼建造一个长方形活动区域，由长方形的休闲区（即图中阴影部分）和环休闲区运动跑道（四周空白部分）组成．已知休闲区的面积为4000平方米，运动跑道的宽分别为2米和5米．因为用地限制，要使整个活动区域所占面积最小，则休闲区的长和宽该如何设计？ 【答案】(1)最小值为 (2)休闲区的长为, 宽为 【分析】本题主要考查了完全平方公式的理解，解分式方程， 求最小值等，解题的关键是弄清题意，求出最小值. （1）根据，可得答案； （2）设休闲区的长为，进而表示出宽，再表示出面积，然后根据材料提示可得答案. 【详解】（1）解：根据题意得， 当时，解得负值舍去， ∴当时，原式的最小值为； （2）设休闲区的长为，则宽为 根据题意，得： 公园的面积 当 时, 解得负值舍去， 所以当时，面积最小为 则 ， 所以休闲区的长为, 宽为，整个活动区域所占面积最小． 9．（23-24八年级下·甘肃定西·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ， ． 善于思考的小明进行了探索，找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 (1)按照上述两个根式化简过程的基本思想，填空______ (2)按照上述两个根式化简过程的基本思想，将化简 (3)针对上述各式反映的规律，写出中m、n与a、b之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】此题考查了二次根式的化简，读懂题意正确化简是解题的关键． （1）按照题意把被开放式变形后化简即可； （2）按照题意把被开放式变形后化简即可； （3）等式两边平方后，即可得到答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：把两边平方可得： ∴，． 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 【经典计算题二 二次根式的乘除法】 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期末）先化简，再求值： ，其中 【答案】， 【分析】首先根据完全平方公式及平方差公式进行因式分解，再进行分式的混合运算进行化简，最后把代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： 将代入得，原式． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，二次根式的化简求值，准确对分式进行化简是解决本题的关键． 2．（2023·湖北襄阳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）（1）化简： （2）计算：，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】题目主要考查分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先通分，然后计算加减法即可； （2）根据题意得出，然后代入化简即可． 【详解】解：（1） （2）∵， ∴． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)15 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及二次根式的性质，按照二次根式乘法法则计算即可． （1）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （2）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （3）根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算即可． （4）根据二次根式的性质和二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 5．（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 6．（2023八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）先算除法，再化为最简二次根式，最后合并即可； （2）先展开，再去括号，最后合并．熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1） ． （2） ． 7．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）你能找出规律吗 (1)计算：__________，__________，__________，__________； (2)请按找到的规律计算：①；②； (3)已知，把用含的式子表示． 【答案】(1)6，6，20，20． (2)①10；②1 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，根据相关计算找到规律是解题关键． （1）根据算术平方根的计算方法计算即可，可发现两个二次根式相乘等于被开方数相乘后再开方； （2）根据（1）中的规律把被开方数先相乘再开方计算即可； （3）把40分解成的形式，利用（1）中所得规律列出表达式即可． 【详解】（1）解：，， ，． 故答案为：6，6，20，20． （2）解：①； ②. （3）解：． 8．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若与是关于4的共轭二次根式，则__________ (2)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2)－2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可． 【详解】（1）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴． （2）∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． 9．（22-23八年级上·福建泉州·期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵与是关于C的共轭二次根式， ∴， ∴， ∵C是有理数， ∴， ∴解得． 【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算． 10．（23-24八年级上·江西吉安·阶段练习）我们知道，任意一个二次根式（为正整数），都可以进行这样的分解：（，是正整数，且），在的所有这种分解中，如果最小，我们就称是的最佳分解，并规定：．例如可以分解成，或，显然是的最佳分解，此时． (1)直接写出的最佳分解：________，________； (2)若正整数，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了新定义，二次根式的乘法，理解新定义的含义是解答本题的关键． （1）先求出的最佳分解，再求即可； （2）可设，其中为正整数．由可得，由可求出，进而可求出的值． 【详解】（1）可以分解为， 显然是的最佳分解，此时． 故答案为：，； （2）∵， ∴可设，其中为正整数． 得． ∵， ∴． ∵， ∴是一个正整数的平方数． ∵， ∴，， ∴． 【经典计算题三 二次根式的加减法】 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，绝对值，二次根式加法．熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 先求绝对值和求立方根，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先运用完全平方公式和二次根式的除法运算，然后合并解题． 【详解】解： ． 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法及实数的运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再合并即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 得， 解得：， 将代入①得：， 故方程组的解为：． 4．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算： （1）将括号内的二次根式化简后再合并，最后进行除法运算即可； （2）将括号展开后，再合并即可 【详解】（1）解： （2）解： 5．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 6．（23-24八年级下·河南安阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，然后进行加减运算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行乘法计算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（23-24八年级下·河南新乡·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）先将二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，∵，则，∴． 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，c d（填写＞，＜或者＝）． (2)猜想 ，之间的大小，并证明． (3)化简： （直接写出答案）． 【答案】(1) (2)，证明过程见解析 (3)4或 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【详解】（1）解：∵， 则， ∴； 故答案为：>． （2）解：猜想：， 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴ ∵ ∴， 分情况讨论： ①若，即时， 原式； ②若，即时， 原式， 综合①②得： 当时，原式； 当时，原式； 故答案为：4或． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； （2）猜想，证明如下： ∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 10．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： 因为，所以． 所以，即．所以． 所以． 请根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：_______； (2)若，求的值： (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，正确进行分母有理化是解题关键． （1）直接进行分母有理化即可得出答案； （2）根据题意得出a的值，再把要求的式子变形为，再代入计算得出答案； （3）将要求的式子各项进行分母有理化，再进行加减即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： 则原式 当时，原式 （3）解： 【经典计算题四 已知字母的值化简求值】 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的混合运算和本次根式的混合运算，将原式被除式中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分子利用完全平方公式分解因式，并利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后得到最简结果，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值． 【详解】解： 当时， 原式． 2．（23-24九年级下·上海·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的运算法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式． 把代入代数式，再根据平方差公式、完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：∵， ． 4．（2024·江西南昌·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，再把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 5．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，，分别求下列代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)31 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． （1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算； （2）根据完全平方公式计算． 【详解】（1），， ，， ； （2） ． 6．（23-24八年级下·广东江门·阶段练习）（1）计算：． （2）求值：已知，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简求值： （1）先计算二次根式除法，再计算二次根式加法即可； （2）根据二次根式的加减计算法则代值计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， ∴． 7．（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （）先利用完全平方公式把原式配成，然后把的值代入即可； 本题考查了二次根式的混合运算和二次根式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 当， 原式 ． 8．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读材料，并解决问题：定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化． 如：将分母有理化，解：原式． 运用以上方法解决问题： 已知：． (1)化简； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）仿照已知化简即可； （）求出、的值，再把它们代入代数式计算即可求解； 本题考查了二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴原式 ， ． 9．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中 【答案】(1)小明 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简求值即可得解； （2）根据二次根式的性质化简求值即可得解． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∴小明的计算错误，小颖的计算正确， 故答案为：小明； （2）解： ， 当时，， ∴原式． 10．（23-24八年级下·广东珠海·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ，即． ，， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算； （2）法一：先对字母的值进行二次根式的分母有理化计算，然后代入求值． 法二：仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）法一：当时， 原式 ． 法二：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典计算题五 分母有理化】 1．（23-24八年级下·广东梅州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的运算法则对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 2．（2024·福建泉州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】先计算括号里面的得，再利用分式的除法法则化简分式即可解答．本题考查了分式的混合运算法则，因式分解，掌握分式的混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解∶ ； 当时，原式． 3．（2024·福建厦门·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解此题的关键．括号内先通分，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，再将代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∴当时，原式． 5．（2024·广东梅州·模拟预测）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值、分母有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 6．（2024·吉林·二模）先化简， 再求值： ，其中 ． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把数值代入进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 7．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 8．（23-24八年级下·山东威海·期中）计算： (1) (2)； 【答案】(1)44； (2)； 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）现根据乘法分配律计算，再根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）先分母有理化和化简绝对值，根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 9．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 任务： (1)化简： ； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简及求值． （1）分子分母同乘再化简即可； （2）先将按照题目中的分析进行分母有理化，再算出及即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2） ． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】 像，（），（），， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)如图，中，与的角平分线相交于点，若的周长为，面积为，求点到边的距离； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)点到边的距离为； (4)． 【分析】（）直接利用材料中的定义求解即可； （）先对分母进行有理化，再求解即可； （）先作出点到各边的垂线段，再表示出的面积，求出点到各边的距离即可； （）先对分母进行有理化，然后合并同类二次根式即可； 本题考查了二次根式的有理化运算，角平分线的性质，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解： ， ， ， ； （3）如图，过分别作，，，连接， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 设点到边的距离为， ， ， ∴， ∵的周长为，面积为， ∴， 则； （4）解： ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$