第08讲 有理数的乘方-【暑假导航】2024年七年级数学暑假优学讲练（人教版2024）

第08讲 有理数的乘方 1．乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂． 【注意】①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ② 乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来； ③ 在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； 如：，其底数为，； ，其底数为，； 2．有理数指数幂的符号规律： ① 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； ② 正数的任何次幂都是正数； ③ 0的任何正整数次幂都是0． 【注意】除0以外的任何数的“0次幂”结果为1. 3．科学计数法：把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式，其中n是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法． 4．有理数混合运算的步骤 ① 先乘方，再乘除，最后加减；2）同级运算，从左到右进行； ② 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【注意】运算要注意符号问题. 考点1：乘方的相关概念 【例1】（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 【例2】的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【变式1】（23-24七年级上·广西北海·阶段练习）对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【变式2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【变式3】把写成乘方的形式是（　　） A． B． C． D． 【变式4】对于与，下列说法正确的是    A．它们的意义相同 B．它们的结果相等 C．它们的意义相同，结果相等 D．它们的意义不同，结果不相等 【变式5】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 考点2：有理数乘方的运算 【例3】的倒数是（ ） A．－4 B． C． D．4 【例4】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式4】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）计算： ． 【变式5】（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）已知，则 ，若， ． 考点3：偶次乘方的非负性 【例5】当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【例6】（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ． 【变式1】（23-24七年级上·广东韶关·期中）若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式2】（23-24七年级上·河南焦作·期中） ． 【变式3】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知有理数n、m满足，则 ． 【变式4】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若，则的值为 ． 考点4：科学计数法 【例7】（23-24八年级下·广西贺州·期末）2023年10月3日，国家发展改革委、水利部等7部门联合印发《关于进一步加强水资源节约集约利用的意见》，提出到2025年，全国年用水总量控制在6400亿立方米以内．数据6400亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例8】（2024·湖南长沙·三模）近年来，长沙中高端人才净流入率居全国前三，高精尖人才集中在战略性新兴产业的比例达95%；“人才吸引力指数”跃居全国第十、中部第一．长沙人才总量2023年增至3150000．其中数据3150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山西阳泉·模拟预测）中国高速磁悬浮列车亮相于2023年世界制造大会，该列车车头修长，与子弹头相似，时速可达，数据可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河北邯郸·三模）新华社消息，2024年春节假期我国国内旅游出游4.74亿人次． 先将数据“4.74亿”精确到亿位，再用科学记数法可表示为 （      ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）人的大脑每天能记录大约86000000条信息，数据86000000用科学计数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（2024年黑龙江省绥化市中考模拟数学试题（四））2024年3月25日凌晨0时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序．鹊桥二号中继星成功减速并进入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功．请你把数据440万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 考点5：近似数 【例9】用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）（精确到）； （2）（精确到百分位）； （3）（精确到万位）； （4）万（精确到百位）． 【例10】用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： （1）38063（精确到千位）； （2）（精确到百分位）： （3）（精确到）； （4）（精确到十分位）． 【变式1】（23-24七年级下·上海宝山·期末）对于近似数0.010260，它有 个有效数字． 【变式2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）用四舍五入法得到的近似数，其精确度为 ． 【变式3】（23-24八年级上·江苏南京·期末）小亮称得一个罐头的质量为，若精确到，则这个罐头质量的近似值为 ． 【变式4】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，将16750000这个数保留三个有效数字并用科学记数法表示是 ． 【变式5】（23-24七年级上·河南新乡·期末）用四舍五入法取近似数： ．（精确到） 考点6：含乘方的混合运算 【例11】（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【例12】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ （3）从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【变式1】（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【变式2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果y是(　　) A． B． C． D． 【变式3】（2024·广西贺州·三模）计算：． 【变式4】（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【变式5】计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 考点7：新定义与材料分析 【例13】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）阅读材料： 若，则，称b为以a为底N的对数． 例如，则． 根据材料填空： ． 【例14】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： （1）猜想：_____． （2）计算：． 【变式1】（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： （1）计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． （2）通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． （3）请你求出的值： 【变式3】要求的值等于多少，直接求非常困难，因为是一个非常大的数．因此，我们可以用方程的方法来做． 设， 则有， 即， 作简单的变形：， 则． 请你在理解基础上，模仿上述方法求下式的值： （1）． （2）． 【变式4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题： （1）______；______； （2）关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号） ①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有． （3）计算 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·三模）下列各式计算结果等于2024的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川甘孜·中考真题）祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是负数，不是有理数 B．0既没有倒数也没有相反数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 5．（23-24七年级下·广东惠州·开学考试）下列叙述正确的是（    ） A．3与互为倒数 B．3与为相反数 C．的底数是 D．当时，总是大于0 6．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2020 7．（23-24七年级下·河南漯河·期中）、是有理数．下列各式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24七年级下·广东清远·期中）某种细菌每分钟分裂成3个，一个细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成（    ）个． A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）扶桑的丁同学周末翻看哥哥的高中数学课本，对一个数学概念产生了兴趣：若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如．则叫做以为底的对数，记为（即），根据以上运算规则，（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 11．如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果为（    ） A．7 B． C．1 D．5 12．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）的底数是 ． 13．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 14．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 15．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 16．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 17．（23-24七年级上·广东云浮·期末）按图中程序运算，如果输入，那么输出的结果是 ． 18．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5、8、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 19．（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）计算的结果为 ． 20．（23-24七年级下·上海松江·期末）根据《2023年上海市国民经济和社会发展统计公报》公布的数据，至2023年末，上海全市常住人口为万人，较2022年底增长了万人．将数据万用科学计数法表示为 （保留三个有效数字）． 21．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． （1）； （2） 22．（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算： 23．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）计算： (1)； (2)． 24．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 25．（23-24七年级上·天津宁河·期中）计算： (1) (2) 26．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 27．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这一周超市售出的牛奶单价最高的是星期__________，最高单价是__________元 (2)这一周超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 1．（2024·河南·中考真题）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·中考真题）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·中考真题）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·西藏·中考真题）已知a，b都是实数，若，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2023 5．（2020·四川凉山·中考真题）等于（　　） A． B．2020 C． D．1 6．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 7．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 8．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 9．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是亿斤，将亿用科学记数法表示为 ． 10．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ． 11．（2024·广西·中考真题）计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 有理数的乘方 1．乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作“的次方”； 在中，叫做底数，叫做指数；当看作的次方的结果时，读作的次幂． 【注意】①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ② 乘方运算，代表的是多个相同因数相乘，要与乘法运算区分开来； ③ 在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； 如：，其底数为，； ，其底数为，； 2．有理数指数幂的符号规律： ① 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； ② 正数的任何次幂都是正数； ③ 0的任何正整数次幂都是0． 【注意】除0以外的任何数的“0次幂”结果为1. 3．科学计数法：把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式，其中n是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法． 4．有理数混合运算的步骤 ① 先乘方，再乘除，最后加减；2）同级运算，从左到右进行； ② 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 【注意】运算要注意符号问题. 考点1：乘方的相关概念 【例1】（23-24九年级下·河北邯郸·阶段练习）代数式的意义可以是（    ） A．6个n相加 B．6个n相乘 C．n个6相加 D．n个6相乘 【答案】D 【分析】根据幂的定义，乘法的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了，幂的概念理解，解题的关键是：理解幂的概念． 【详解】解： A、6个n相加，表示为：，不符合题意， B、6个n相乘，表示为：，不符合题意， C、n个6相加，表示为：，不符合题意， D、n个6相乘，表示为：，符合题意， 故选：D． 【例2】的底数、指数、结果分别是（    ） A． B． C．2，4，16 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的概念，有理数的乘方计算，对于式子，其中a叫做底数，m叫做指数，据此结合有理数乘方计算法则求解即可． 【详解】解：的底数是2，指数是4，其结果为， 故选：D． 【变式1】（23-24七年级上·广西北海·阶段练习）对于式子，下列说法不正确的是（    ） A．指数是3 B．底数是 C．结果为 D．表示3与相乘 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方，根据有理数的乘方的定义解答． 【详解】解：式子中： 指数是3，故A选项正确； 底数是，故B选项正确； 结果为，故C选项正确； 表示3个相乘，故D选项错误； 故选D． 【变式2】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）表示（    ） A．3个相乘 B．3个5相乘的相反数 C．5个相乘 D．5个3相乘的相反数 【答案】B 【分析】本题考查有理数幂的概念理解，掌握表示个相乘，进行判断即可． 【详解】解：表示3个5相乘的相反数； 故选B． 【变式3】把写成乘方的形式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据幂的意义即可得出答案，求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 【详解】解：当底数的时候，要加括号，故A选项错误； 底数是，故B选项错误； 在最前面有一个负号，故C选项错误； 原式写成乘方的形式是﹣（）4，故D选项正确； 故选：D． 【变式4】对于与，下列说法正确的是    A．它们的意义相同 B．它们的结果相等 C．它们的意义相同，结果相等 D．它们的意义不同，结果不相等 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方表示的意义，根据有理数的乘方表示的意义，即可求得答案． 【详解】解：表示的相反数，结果是，表示的4次方，结果是， 因此二者意义不同，结果也不相同，故选D． 【变式5】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）的底数是 ，值为 ；的底数是 ，值为 ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义以及运算法则是解题的关键． 在中，叫做底数，叫做指数，由此判断计算即可． 【详解】解：的底数是，值为； 的底数是，值为； 故答案为：，；，． 考点2：有理数乘方的运算 【例3】的倒数是（ ） A．－4 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方和倒数定义计算即可． 【详解】解：，的倒数为－4；故选：A． 【例4】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 【变式1】（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数中，相等的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据有理数的乘方计算法则，化简绝对值的方法计算出每个选项中的两个数即可得到答案． 【详解】解：A、与不相等，不符合题意； B、与相等，符合题意； C、与不相等，不符合题意； D、与不相等，不符合题意．     故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·河南信阳·期中）在，，，0中，非负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘方中的符号问题，判断每个数的正负号即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，，0中，只有0是非负数． 故选：A． 【变式3】有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘方，以及相反数的求法，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”． 【变式4】（23-24七年级下·湖南郴州·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法，根据有理数的乘方和乘法运算法则进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式5】（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）已知，则 ，若， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 考点3：偶次乘方的非负性 【例5】当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 【例6】（23-24七年级上·广东韶关·阶段练习）若，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，根据绝对值的非负性及乘方的非负性即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得：，即：， ，即：， 故答案为：，2． 【变式1】（23-24七年级上·广东韶关·期中）若，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】直接利用偶次方和绝对值的非负性得出x、y的值，进而得出答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选B 【变式2】（23-24七年级上·河南焦作·期中） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算，即可． 【详解】解：． 故答案为： 【变式3】（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知有理数n、m满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性及乘方运算的符号规律，依题意得，，再代入原式即可求解，熟练掌握绝对值的非负性及乘方运算的符号规律是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ，即：， ，即：， ， 故答案为：． 【变式4】（23-24七年级上·河南驻马店·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了偶次方以及绝对值的性质，根据偶次方以及绝对值具有非负性来解即可． 【详解】且 解得： 故答案为：． 考点4：科学计数法 【例7】（23-24八年级下·广西贺州·期末）2023年10月3日，国家发展改革委、水利部等7部门联合印发《关于进一步加强水资源节约集约利用的意见》，提出到2025年，全国年用水总量控制在6400亿立方米以内．数据6400亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：6400亿， 故选：D． 【例8】（2024·湖南长沙·三模）近年来，长沙中高端人才净流入率居全国前三，高精尖人才集中在战略性新兴产业的比例达95%；“人才吸引力指数”跃居全国第十、中部第一．长沙人才总量2023年增至3150000．其中数据3150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数科学记数法，对于一个绝对值大于等于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选B． 【变式1】（2024·山西阳泉·模拟预测）中国高速磁悬浮列车亮相于2023年世界制造大会，该列车车头修长，与子弹头相似，时速可达，数据可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴用科学记数法可表示为． 故选：B． 【变式2】（2024·河北邯郸·三模）新华社消息，2024年春节假期我国国内旅游出游4.74亿人次． 先将数据“4.74亿”精确到亿位，再用科学记数法可表示为 （      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法，以及近似数，先将数据“4.74亿”利用四舍五入精确到亿位，再根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位）表示该数即可． 【详解】解：“4.74亿”精确到亿位为5亿， 5亿， 故选：A． 【变式3】（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）人的大脑每天能记录大约86000000条信息，数据86000000用科学计数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式．其中为整数．表示时关键要正确确定的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将86000000用科学记数法表示为：． 故选：C． 【变式4】（2024年黑龙江省绥化市中考模拟数学试题（四））2024年3月25日凌晨0时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序．鹊桥二号中继星成功减速并进入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功．请你把数据440万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：440万即4400000， ∴， 故选：C． 考点5：近似数 【例9】用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）（精确到）； （2）（精确到百分位）； （3）（精确到万位）； （4）万（精确到百位）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题考查求一个数的近似数，掌握四舍五入法进行求解即可． （1）四舍五入法，求解即可； （2）四舍五入法，求解即可； （3）四舍五入法，求解即可； （4）四舍五入法，求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4）万． 【例10】用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值： （1）38063（精确到千位）； （2）（精确到百分位）： （3）（精确到）； （4）（精确到十分位）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，即对该位的下一位数字进行四舍五入，据此求解即可． 【详解】（1）解：（精确到千位）； （2）解：（精确到百分位） （3）解：（精确到） （4）解：（精确到十分位）． 【变式1】（23-24七年级下·上海宝山·期末）对于近似数0.010260，它有 个有效数字． 【答案】5 【分析】本题考查有效数字，对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字． 【详解】解：对于近似数0.010260，前面两个0不是有效数字，后面1，0，2，6，0均为有效数字，共5个， 故答案为：5． 【变式2】（23-24七年级上·陕西商洛·期末）用四舍五入法得到的近似数，其精确度为 ． 【答案】百位 【分析】本题考查近似数．熟练掌握四舍五入法，以及确定近似数的精确数位的方法，是解题的关键．确定2所在的数位，即可得出结论． 【详解】解：，其中在百位上， ∴近似数精确到百位． 故答案为：百位． 【变式3】（23-24八年级上·江苏南京·期末）小亮称得一个罐头的质量为，若精确到，则这个罐头质量的近似值为 ． 【答案】2.2 【分析】本题主要考查近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．对千分位数字四舍五入即可． 【详解】解：， 故答案为：2.2． 【变式4】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，将16750000这个数保留三个有效数字并用科学记数法表示是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正整数指数的科学记数法与有效数字，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．同时要对近似值有效数字有正确的理解：从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字. 【详解】解： 故答案为： 【变式5】（23-24七年级上·河南新乡·期末）用四舍五入法取近似数： ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了近似数．精确到，则要把千分位上的数字8进行四舍五入即可． 【详解】解：∵， ∴（精确到）． 故答案为：． 考点6：含乘方的混合运算 【例11】（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的混合运算，先化简乘方和绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 【例12】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________ （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________ （3）从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子： ________________________________    ________________________________ 【答案】（1）6 （2） （1）； 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． ()根据题意列出算式，找出积最大值即可； ()根据题意列出算式，找出商最小值即可； ()利用“点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 故最大值为； （2）解：， 故最小值为； （3）解：根据题意得：；， 即符合题意的式子为：；． 【变式1】（2024·四川达州·三模）在我国古书《易经》中有“上古结绳而治”的记载，它指“结绳记事”或“结绳记数”．如图，一远古牧人在从右到左依次排列的绳子上打结，满6进1，用来记录他所放牧的羊的只数，由图可知，他所放牧的羊的只数是（   ） A．1234 B．310 C．60 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的运算，根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为，右边第2位的计数单位为，右边第3位的计数单位为，右边第4位的计数单位为，……，依此类推，可求出结果． 【详解】解：根据题意得： （只）， 答：他所放牧的羊的只数是310只． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·广东深圳·期中）如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则输出的结果y是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，输入，然后列式计算，直至结果大于即可． 【详解】解：开始输入的值为， 则，返回继续运算； ，输出结果； 故选：C． 【变式3】（2024·广西贺州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和括号内，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 【变式4】（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算绝对值、有理数的乘方，再计算有理数的乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 【变式5】计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 考点7：新定义与材料分析 【例13】（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）阅读材料： 若，则，称b为以a为底N的对数． 例如，则． 根据材料填空： ． 【答案】 【分析】先根据乘方确定，，根据新定义求出，，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 【例14】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下列各式：，，，…解答下列问题： （1）猜想：_____． （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 【变式1】（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图．若，则第2024次“F运算”的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了整数的奇、偶性的新定义问题，通过若干次得出循环是解题关键．按新定义运算法则，分别计算第一次到第九次运算结果可得出循环规律即可求解． 【详解】由题意可知，当时，历次运算的结果是∶ 故规律为： 即从第七次开始1和4出现循环，偶数次为4，奇数次为1， ∴当时，第2024次“运算”的结果是4． 故答案为：4． 【变式2】（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，个相同的因数相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即．一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． 问题： （1）计算以下各对数的值：　 　；　 　；　 　． （2）通过观察（1），请直接写出、、之间满足的等量关系是　 　． （3）请你求出的值： 【答案】(1)2，4，6 (2) (3)5 【分析】此题考查定义新运算，掌握运算的方法，找出计算的规律解决问题． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：，； （3）利用（2）得出结论：，进一步计算得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：∵，，，； ∴； （3）解：； ， ． ∴． 【变式3】要求的值等于多少，直接求非常困难，因为是一个非常大的数．因此，我们可以用方程的方法来做． 设， 则有， 即， 作简单的变形：， 则． 请你在理解基础上，模仿上述方法求下式的值： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设，则有，依照例题求解即可； （2）设，则有，依照例题求解即可． 【详解】（1）设 则有， 即， 作简单的变形：， 则 ∴； （2）设 则有， 即， 作简单的变形： 则 ∴． 【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，有理数的乘方运算，解题的关键是仿照例子计算．本题属于基础题，难度不大． 【变式4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题： （1）______；______； （2）关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号） ①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有． （3）计算 【答案】(1)； (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的除法．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）， ； 故答案为：，； （2）①对于任何正整数n，当n为偶数时， 有, n为奇数时， ， 故①错误； ②∵，， ∴， 故②错误； ③∵， 故③正确； ④对于任何正整数n， 都有， 而不是， 故④错误； 故答案为：③； （3） ． 1．（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，正确理解乘方的意义是解题的关键．根据乘方的意义求解即可． 【详解】解：． 故选：B． 2．（2024·江苏扬州·三模）下列各式计算结果等于2024的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 根据有理数的混合运算法则进行计算． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意： D、，不符合题意． 故选：C． 3．（2024·四川甘孜·中考真题）祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据，即得解． 【详解】解： ， 将1665000用科学记数法表示应为． 故选：B． 4．（22-23六年级下·上海闵行·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．是负数，不是有理数 B．0既没有倒数也没有相反数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【答案】A 【分析】 本题考查了相反数的定义以及有理数的定义，有理数的乘方，根据相关内容的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、是负数，是无限不循环小数，不是有理数，故该选项正确，符合题意； B、0没有倒数，但有相反数，即为0，故该选项错误，不符合题意； C、如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数也可以是正数，故该选项错误，不符合题意； D、如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是，故该选项错误，不符合题意； 故选：A 5．（23-24七年级下·广东惠州·开学考试）下列叙述正确的是（    ） A．3与互为倒数 B．3与为相反数 C．的底数是 D．当时，总是大于0 【答案】D 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，绝对值和乘方的意义，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，中，a叫做底数，据此求解即可． 【详解】解；A、3与不互为倒数，原说法错误，不符合题意； B、3与不互为相反数，原说法错误，不符合题意； C、的底数是，原说法错误，不符合题意； D、当时，总是大于0，原说法正确，符合题意； 故选；D． 6．计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．2020 【答案】B 【分析】根据负数的偶次方结果为正，从而可得答案． 【详解】解：， 故选B 【点睛】本题考查的是负数的乘方运算的符号确定，熟记负数的奇次方结果为负，负数的偶次方结果为正是解本题的关键． 7．（23-24七年级下·河南漯河·期中）、是有理数．下列各式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值性质，根据有理数的乘方与绝对值性质举反例说明即可解题． 【详解】解：A、若，则，不成立，如，，故选项不符合题意； B、若，则，不成立，如，但，故选项不符合题意； C、若，则，成立，符合题意； D、若，则，不成立，如，但，故选项不符合题意； 故选：C． 8．（23-24七年级下·广东清远·期中）某种细菌每分钟分裂成3个，一个细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成（    ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的意义．掌握乘方的意义是解决本题的关键．根据每分钟分裂成3个，共分裂分钟，根据乘方的意义得结论． 【详解】解：根据题意得：某种细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成个， 故选：D． 9．（23-24七年级上·广东广州·阶段练习）扶桑的丁同学周末翻看哥哥的高中数学课本，对一个数学概念产生了兴趣：若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如．则叫做以为底的对数，记为（即），根据以上运算规则，（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题干提供的信息进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则． 10．（22-23七年级上·浙江温州·期中）小明的文档中有一个如图1的实验中学，他想在这个文档中用1000个这种，设计出一幅如图2样式的图案．他使用“复制粘贴”（用鼠标选中，右键点击“复制”，然后在本文档中“粘贴” 的方式完成，则他需要使用“复制粘贴”的次数至少为（　　） A．9次 B．10次 C．11次 D．12次 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意是解题的关键．根据复制粘贴呈2倍的速度增加，所以求2的幂运算． 【详解】解：，， 故选：B 11．如图是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了程序流程图与有理数计算，解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序，按程序一步一步计算． 【详解】解：依题意，得 ． 故选B． 12．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）的底数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数乘方的定义“一般地，个相同的因数相乘，记作，这种运算叫做乘方，其中，叫底数，叫指数”，熟记有理数乘方的定义是解题关键．根据有理数的乘方的定义即可解答． 【详解】解：根据乘方的定义，的底数是3． 故答案为：3． 13．（23-24六年级下·上海普陀·期中）9个2相乘的结果用幂的形式表示为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的乘方，解答此题的关键是要明确同底数幂的乘法的运算方法．9个2相乘，结果用幂的形式表示时，底数为2，指数为9，所以可以表示为． 【详解】解：9个2相乘的结果用幂的形式表示为． 故答案为：． 14．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）在中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据幂的定义中指数与底数的说明解答本题． 【详解】解：在中底数是，指数是， 故答案为：， 15．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 16．（2024·河南濮阳·一模）某种细菌平均每20分钟由1个分裂成2个，经过1小时，这种细菌由1个能分裂成 个． 【答案】8 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据1小时中有3个，得到细菌分裂了3次，归纳总结即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：（次， 则经过1小时后这种细菌由1个分裂成（个． 故答案为：8． 17．（23-24七年级上·广东云浮·期末）按图中程序运算，如果输入，那么输出的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算．理解程序流程图，正确的运算是解题的关键． 由题意知，输入，则，由，输入0，则，由，将值输出即可． 【详解】解：由题意知，输入，则， ∵， 输入0，则， ∵， ∴输出为2， 故答案为：2． 18．（23-24七年级下·山东潍坊·阶段练习）有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是5、8、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算， 根据计算和为24选择合适的运算符号和括号计算得出算式即可． 【详解】解：根据计算和为24可列算式：． 故答案为：． 19．（23-24七年级下·海南儋州·阶段练习）计算的结果为 ． 【答案】26 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则．先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·上海松江·期末）根据《2023年上海市国民经济和社会发展统计公报》公布的数据，至2023年末，上海全市常住人口为万人，较2022年底增长了万人．将数据万用科学计数法表示为 （保留三个有效数字）． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，将一个绝对值大于的数写成科学记数法的形式时，其中，为比整数位数少的数． 把一个绝对值大于的数写成科学记数法的形式时，将小数点放到左边第一个不为的数位后作为，把整数位数减作为，从而确定它的科学记数法形式，再根据其近似值要求即可作答． 【详解】解：万， 故答案为：． 21．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． （1）； （2） 【答案】（1），底数为，指数为5 （2），底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 22．（23-24七年级下·四川泸州·期末）计算： 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方和乘除，然后计算加减． 【详解】 ． 23．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方等知识．熟练掌握有理数的四则混合运算，有理数的乘除混合运算，有理数的乘方是解题的关键． （1）先计算乘除，然后进行减法运算即可； （2）先计算乘方，然后进行乘除运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)9 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式先计算乘除运算，再计算加法运算即可求出值； （2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 25．（23-24七年级上·天津宁河·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)21 (2)-19 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算乘除，然后计算加减； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 26．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目： (1) ； (2)归纳、概括： ； (3)如果 ，，运用以上的结论，计算： ． 【答案】(1) (2) (3)100 【分析】此题主要考查了有理数的乘方以及有理数的乘法，正确得出运算规律是解题关键． （1）直接利用已知计算得出答案； （2）利用（1）中所求进而得出答案； （3）利用（2）中所求，将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）归纳、概括：； （3）如果 ，， 运用以上的结论，计算： 27．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）比优特超市最近进了一批新品牌的牛奶，每箱进价元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每箱以元为标准，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，超市记录第一周牛奶的售价情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每箱价格相对于标准价格（元） 售出箱数 (1)这一周超市售出的牛奶单价最高的是星期__________，最高单价是__________元 (2)这一周超市出售此种牛奶盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 【答案】(1)一，； (2)这一周超市出售此种牛奶盈利，盈利元． 【分析】（）根据题意及正数和负数的实际意义即可求解； （）根据正数和负数的实际意义列式计算即可求解； 本题考查了正数和负数及有理数混合运算的实际应用，结合已知条件正确列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解：由表格可知，这一周超市售出的牛奶单价最高的是星期一，最高单价是元， 故答案为：一，； （2）解：这一周售出牛奶的总箱数为：箱， ∴销售额为：元， 购进这一批牛奶的成本为：元， ∵元， ∴这一周超市出售此种牛奶盈利，盈利元． 1．（2024·河南·中考真题）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为，其中，确定a和n的值是解题的关键． 用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：5784亿． 故选：C． 2．（2024·江西·中考真题）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数． 【详解】解：将25000用科学记数法可表示为， 故选：C． 3．（2024·天津·中考真题）据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据800000用科学记数法表示应为． 故选：C． 4．（2023·西藏·中考真题）已知a，b都是实数，若，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2023 【答案】B 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值． 5．（2020·四川凉山·中考真题）等于（　　） A． B．2020 C． D．1 【答案】D 【分析】根据负数的偶次方是正数可以解答． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，知道的奇次方是，的偶次方是1，是常考题型． 6．（2023·浙江杭州·中考真题）（    ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先计算乘方，再计算加法即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数度混合运算，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键． 7．（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（  ） A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02 【答案】B 【分析】利用四舍五入的方法，从万分位开始四舍五入取近似值即可． 【详解】解：0.0158≈0.016． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了近似数和有效数字，正确利用四舍五入法取近似值是解题的关键． 8．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】8 【分析】根据定义，得，解得即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键． 【详解】根据定义，得， 故答案为：8． 9．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是亿斤，将亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】亿，亿 故答案为： 10．（2023·湖北随州·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减． 【详解】解：． 故答案为：0． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则． 11．（2024·广西·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可． 【详解】解：原式 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$