5.3-5.4平行线的性质、平移讲义2023-2024学年人教版数学七年级下册

课 题 第5章相交线与平行线 5.3-5.4平行线的性质、平移 教学目标 1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念； 3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论； 4．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计. 教学过程 【学生定位】 问题1 平行线的性质 1.如图，AE∥CF，∠A=∠C． （1）若∠1=35°，求∠2的度数； （2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由； （3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE． 问题2 两条平行线的距离 2．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD=5，BE=8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　 　． 问题3 命题、定理、证明 3、下列语句是命题的是（　　） A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？ 【精准突破】 【精准突破1】平行线的性质 知识点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【要点解读】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 【例题精讲】 【例题1-1】下列说法错误的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．直角都相等 D．等角的补角相等 【例题1-2】如图，在四边形ABCD中，∠BCD+∠B=180°，AC⊥CB于C，EF⊥CB于F，∠1和∠2相等吗？请完成下面的说理过程． 说明：因为∠BCD+∠B=180°（已知） 所以AB∥CD（　 　） 因为AC⊥CB，EF⊥CB（已知） 所以∠ACB=∠EFB=90°（　 　） 所以AC∥EF（　 　） 所以∠2=∠3（　 　） 所以∠1=∠2（　 　） 【精准突破2】两条平行线的距离 两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． 【要点解读】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 【例题精讲】 【例题2-1】若直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a，b间的距离是（　　）cm． A．2 B．8 C．2或8 D．4 【例题2-2】如图 AB∥CD，AD不平行于BC，AC与BD相交于点O，写出三对面积相等的三角形是　 　． 【精准突破3】命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 【要点解读】 （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 【例题精讲】 【例题3-1】下列命题中是真命题的是（　　） A．同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同一平面内，和两条平行线垂直的直线有且只有一条 D．直线外一点与直线上各点所连的线段中，垂线段最短 【例题3-2】把命题“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为　 　． 【例题3-3】“对顶角相等”的逆命题是　 　，它是　 　命题（选填“真”或“假”） 【精准突破4】平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【要点解读】 （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【要点解读】 （1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． （2）要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 【例题精讲】 【例题4-1】下列运动属于平移的是（　　） A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 B．急刹车时汽车在地面上的滑动 C．投篮时的篮球运动 D．随风飘动的树叶在空中的运动 【例题4-2】如图所示，将△ABC沿着X→Y方向平移一定距离后得到△MNL，则下列结论中正确的有（　　） ①AM∥BN；②AM=BN；③BC=NL；④∠ACB=∠NML． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习】 【巩固一】平行线的性质 1．如图，下列判断中错误的是（　　） A．∠A+∠ADC=180°→AB∥CD B．AD∥BC→∠3=∠4 C．AB∥CD→∠ABC+∠C=180° D．∠1=∠2→AD∥BC 2.如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F． 3.如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度数． 【巩固二】两平行线间的距离 1.如图，l1∥l2，A、B为直线l1上两点，C、D为直线l2上两点，则△ACD与△BCD的面积大小关系是（　　） A．S△ACD＜S△BCD B．S△ACD=S△BCD C．S△ACD＞S△BCD D．不能确定 2.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（　　） A．AB∥PC B．△ABC的面积等于△BCP的面积 C．AC=BP D．△ABC的周长等于△BCP的周长 【巩固三】命题、定理、证明 1、把命题“锐角的补角是钝角”改写成“如果…，那么…”的形式是　 　． 2.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是 　．（填写序号） 3.“等边对等角”的逆命题是　 ． 【巩固四】平移 1.小芳和小明在手工课上各自制作楼梯模型，他们用的材料如图，则（　　） A．一样多 B．小明多 C．小芳多 D．不能确定 2．如图将△ABC水平向右平移到△DEF，若A、D间的距离为1，CE=2，则BF=（　　） A．3 B．4 C．5 D．不能确定 3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为　 　三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG=　　cm． 【查缺补漏】 1.如图，已知EF，GH与AB，CD都相交，∠1=62°，∠2=118°，∠3=74°，则∠4=　74　度． 2．如图，AB∥DF，BE，DC分别是∠ABD，∠FDB的平分线，BE∥DC吗？为什么？ 解：由BE平分∠ABD，得　 　，同理可得　 　． 由于AB∥CD，根据　 　可得∠ABD=　 　． 因此　 　，根据　 　可得BE∥DC． （提示：为了说理需要，可按自己喜欢的方式在图中标注） 3.平行线之间的距离是指（　　） A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段 B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度 C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度 D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度 4.如图，四边形ABCD放在了一组距离相等的平行线中，已知BD=6cm，四边形ABCD的面积为24cm，则两条平行线间的距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 5．把命题“锐角的补角是钝角”改写成“如果…，那么…”的形式是　 　． 6.将△ABC水平向右平移到△DEF的位置，若A、D间的距离为1，CE=2，则BF的长为多少？说说理由． 【举一反三】 1．有一款灯，内有两面镜子AB、BC，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图1、图2中的∠1=∠2，∠3=∠4． （1）如图1，当AB⊥BC时，说明为什么进入灯内的光线EF与离开灯的光线GH互相平行． （2）如图2，若两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入灯内的光线与离开灯的光线的夹角为β°（0＜β＜90），试探索α与β的数量关系． （3）若两面镜子的夹角为α°（90＜α＜180），进入灯内的光线与离开灯的光线所在直线的夹角为β°（0＜β＜90）．直接写出α与β的数量关系． 2．在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为（　　） A．3 B．7 C．3或7 D．无法确定 3．如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、0的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，你能判断出甲、乙两只蚂蚁谁先回到洞中吗？ 【效果检验】 1.如图，∠1=83°，∠2=97°，∠3=78°，则∠4的度数为　 　． 2.已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB=4cm，AC=5cm，AD=6cm，则m与n之间的距离（　　） A．等于5cm B．等于6cm C．等于4cm D．小于或等于4cm 3.把命题“锐角的补角是钝角”改写成“如果…，那么…”的形式是　 　． 【课后作业】 1.如图所示，下列推理正确的个数有（　　） ①若∠1=∠2，则AB∥CD ②若AD∥BC，则∠3+∠A=180° ③若∠C+∠CDA=180°，则AD∥BC ④若AB∥CD，则∠3=∠4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，AC=4cm，那么平行线a、b之间的距离为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定 3.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（　　） A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长 C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积 4.如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则AB、CD之间的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5.下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．内错角相等 C．过一点只能画一条直线 D．两点之间，线段最短 6.下列命题中正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 C．若两条弧的度数相等，则它们是等弧 D．弦的垂线平分弦所对的弧 7.如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 8.如图，将周长为8cm的△ABC沿BC方向平移1cm得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　 　cm． 9.如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，DM∥BC，∠1=∠2．求证：∠AMD=∠AGF． 10.已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知） ∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义） ∴DG∥AC（　 　） ∴∠2=　 　（　 　 　） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠　 　（等量代换） ∴EF∥CD（　 　 　） ∴∠AEF=∠　 　（　 　 　） ∵EF⊥AB（已知） ∴∠AEF=90°（　　 　） ∴∠ADC=90°（　 　 　） ∴CD⊥AB（　 　 　） 11.如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A．（1）求证：FE∥OC；（2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数． 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课 题 第5章相交线与平行线 5.3-5.4平行线的性质、平移 教学目标 1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理； 2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念； 3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论； 4．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计. 学过程 【学生定位】 问题1 平行线的性质 1.如图，AE∥CF，∠A=∠C． （1）若∠1=35°，求∠2的度数； （2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由； （3）若AD平分∠BDF，试说明BC平分∠DBE． 【考点】考查的是平行线的性质的应用，掌握平行线的性质是解题的关键 【解答】解：（1）∵AE∥CF，∴∠BDC=∠1=35°， 又∵∠2+∠BDC=180°，∴∠2=180°﹣∠BDC=180°﹣35°=145°； （2）BC∥AD． 理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC=180°， 又∵∠A=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，∴BC∥AD． （3）∵AE∥CF，∴∠BDF=∠DBE．∵BC∥AD，∴∠ADB=∠DBC． ∵AD平分∠BDF，∴∠ADB=∠BDF，∴∠DBC=∠EBD．∴BC平分∠DBE． 问题2 两条平行线的距离 2．如图：AB∥CD，AD∥BC，AD=5，BE=8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为　20　． 【考点】本题考查的是平行线间的距离，掌握两平行线间的距离相等和平行四边形的性质以及面积公式是解题的关键． 【解答】解：作DG⊥BC于G，AH⊥BC于H，∵AD∥BC，∴AH=DG，又AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=5，又BE=8，∴CE=3，又△DCE的面积为6， ∴DG=4，∴四边形ABCD的面积=BC×AH=20，故答案为：20． 问题3 命题、定理、证明 3、下列语句是命题的是（　　） A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？ 【考点】O1：命题与定理．一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．一般说来，对于任何一个命题，都可以加上“是”或“不是”，如C，可以说同旁内角是互补的．注意，作图语言与问句都不是命题． 【解答】解：A、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题； B、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题；C、符合命题的定义，是命题； D、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题．故选C． 【问题考点】 问题1 平行线的性质 对应知识点：1.平行线的三种性质 问题2 两条平行线的距离 对应知识点：1.垂线段；2.平行线间的距离处处相等 问题3 命题、定理、证明 对应知识点：1.命题；2.定理；3.证明 问题4 平移 对应知识点：1.定义；2.性质；3.作图 【精准突破】 【精准突破1】平行线的性质 知识点一、平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【要点解读】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 【例题精讲】 【例题1-1】下列说法错误的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．直角都相等 D．等角的补角相等 【考点】考查了平行线的定义及性质，熟练掌握平行线的性质是解决此类问题的关键，注意综合运用平行线的判定和性质解题． 【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，所以A错误；B、同位角相等，两直线平行，所以B正确；C、所有的直角都是90°，故C正确；D、相等的角的补角都相等，故D真确，故选A． 【例题1-2】如图，在四边形ABCD中，∠BCD+∠B=180°，AC⊥CB于C，EF⊥CB于F，∠1和∠2相等吗？请完成下面的说理过程． 说明：因为∠BCD+∠B=180°（已知） 所以AB∥CD（　 　） 因为AC⊥CB，EF⊥CB（已知） 所以∠ACB=∠EFB=90°（　 　） 所以AC∥EF（　 　） 所以∠2=∠3（　 　） 所以∠1=∠2（　 　） 【考点】平行线的性质 【解答】解：同旁内角互补，两直线平行；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换． 【精准突破2】两条平行线的距离 两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离． 【要点解读】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． (2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 【例题精讲】 【例题2-1】若直线a∥b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a，b间的距离是（　　）cm． A．2 B．8 C．2或8 D．4 【考点】平行线间的距离 【解答】解：分为两种情况： 如图1，直线a，b间的距离是5cm﹣3cm=2cm， 如图2，直线a，b间的距离是5cm+3cm=8cm，故选C． 【例题2-2】如图 AB∥CD，AD不平行于BC，AC与BD相交于点O，写出三对面积相等的三角形是　△ADC和△BDC；△ADO和△BCO；△DAB和△CAB　． 【考点】JC：平行线之间的距离 【解答】解：△ADC和△BDC，△ADO和△BCO，△DAB和△CAB，理由是： 过D作DM⊥AB于M，过C作CN⊥AB于N，则DM∥CN，∵AB∥CD，∴四边形DMNC是平行四边形，∴DM=CN，设DM=CN=h，∴S△ADC=×DC×h，S△BDC=×DC×h，∴S△ADC=S△BDC，同理S△DAB=S△CAB，∴S△DAB﹣S△DOC=S△CAB﹣S△DOC，∴S△ADO=S△BCO． 故答案为：△ADC和△BDC，△ADO和△BCO，△DAB和△CAB． 【精准突破3】命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 【要点解读】 （1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 【例题精讲】 【例题3-1】下列命题中是真命题的是（　　） A．同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．同一平面内，和两条平行线垂直的直线有且只有一条 D．直线外一点与直线上各点所连的线段中，垂线段最短 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：A、错误，为假命题；B、错误，为假命题；C、错误，为假命题；D、正确，为真命题．故选D． 【例题3-2】把命题“垂直于同一直线的两条直线互相平行”改写成“如果…，那么…”的形式为　如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行　． 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：答案为：如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【例题3-3】“对顶角相等”的逆命题是　相等的角是对顶角　，它是　假　命题（选填“真”或“假”） 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等， ∴逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题，故答案为相等的角是对顶角，假． 【精准突破4】平移 1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 【要点解读】 （1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质： 图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说： （1）平移后，对应线段平行且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【要点解读】 （1） “连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离． （2） 要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图： 平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点； (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点； (4)连：按原图形顺次连接对应点． 【例题精讲】 【例题4-1】下列运动属于平移的是（　　） A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡 B．急刹车时汽车在地面上的滑动 C．投篮时的篮球运动 D．随风飘动的树叶在空中的运动 【考点】Q1：生活中的平移现象． 【解答】解：A、冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡，有大小变化，不符合平移定义，故错误；B、急刹车时汽车在地面上的滑动是平移，故正确；C、投篮时的篮球不沿直线运动，故错误；D、随风飘动的树叶在空中不沿直线运动，故错误．故选B． 【例题4-2】如图所示，将△ABC沿着X→Y方向平移一定距离后得到△MNL，则下列结论中正确的有（　　） ①AM∥BN；②AM=BN；③BC=NL；④∠ACB=∠NML． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】Q2：平移的性质． 【解答】解：∵△ABC沿着XY方向平移一定的距离就得到△MNL，∴①AM∥BN，正确；②AM=BN，正确；③BC=NL，故本小题正确；④∠ACB=∠MLN，错误，所以，正确的有①②③．故选C． 【巩固练习】 【巩固一】平行线的性质 1．如图，下列判断中错误的是（　　） A．∠A+∠ADC=180°→AB∥CD B．AD∥BC→∠3=∠4 C．AB∥CD→∠ABC+∠C=180° D．∠1=∠2→AD∥BC 【考点】平行线的性质 【解答】解：A、∠A+∠ADC=180°﹣→AB∥CD，根据同旁内角互补，两直线平行，故A正确；B、∠3与∠4不是平行线AD、BC被BD所截得到的内错角，所以结论不成立，故B错误；C、AB∥CD﹣→∠ABC+∠C=180°，根据两直线平行，同旁内角互补，故C正确； D、 ∠1=∠2﹣→AD∥BC，根据内错角相等，两直线平行，故D正确．故选：B． 2.如图所示，点B、E分别在AC、DF上，BD、CE均与AF相交，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：∠A=∠F． 【考点】考查对顶角的性质，平行线的性质以及平行线的判定条件，注意等量代换的运用．【解答】证明：∵∠2=∠3，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴BD∥CE，∴∠C=∠ABD； 又∵∠C=∠D，∴∠D=∠ABD，∴AB∥EF，∴∠A=∠F． 3.如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度数． 【考点】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补． 【解答】解：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB+∠DAC=180°， ∵∠DAC=120°，∴∠ACB=60°，又∵∠ACF=20°，∴∠FCB=∠ACB﹣∠ACF=40°， ∵CE平分∠BCF，∴∠BCE=20°，∵EF∥BC，∴∠FEC=∠ECB，∴∠FEC=20°． 【巩固二】两平行线间的距离 1.如图，l1∥l2，A、B为直线l1上两点，C、D为直线l2上两点，则△ACD与△BCD的面积大小关系是（　　） A．S△ACD＜S△BCD B．S△ACD=S△BCD C．S△ACD＞S△BCD D．不能确定 【考点】JC：平行线之间的距离 【解答】解：过A作AM⊥l2，过B作BN⊥l2，∵l1∥l2，∴AM=BN， ∴S△ACD=S△BCD．故选：B． 2.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n；则下列说法正确的是（　　） A．AB∥PC B．△ABC的面积等于△BCP的面积 C．AC=BP D．△ABC的周长等于△BCP的周长 【考点】本题考查的是平行线之间的距离和三角形的面积的计算，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 【解答】解：AB不一定平行于PC，A不正确；∵平行线间的距离处处相等，∴△ABC的面积等于△BCP的面积，B正确；AC不一定等于BP，C不正确；△ABC的周长不一定等于△BCP的周长，D不正确，故选：B． 【巩固三】命题、定理、证明 1、把命题“锐角的补角是钝角”改写成“如果…，那么…”的形式是　如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角　． 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：题设为：一个角是锐角的补角，结论为：这个角是钝角， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角， 故答案为：如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角． 2.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c． 其中正确的是　①②④　．（填写序号） 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：①在同一个平面内如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c；　④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，故答案为：①②④． 3.“等边对等角”的逆命题是　等角对等边　． 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；故答案为：等角对等边． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是分清原命题的题设和结论． 【巩固四】平移 1.小芳和小明在手工课上各自制作楼梯模型，他们用的材料如图，则（　　） A．一样多 B．小明多 C．小芳多 D．不能确定 【考点】Q1：生活中的平移现象． 【解答】解：他们用的铁丝一样长．两个图形右侧边与左侧相等，上侧与下侧相等， 即两个图形都可以利用平移的方法变为长为8cm，宽为5cm的矩形，所以两个图形的周长都为（8+5）×2=26cm，所以他们用的铁丝一样长．故选：A． 2．如图将△ABC水平向右平移到△DEF，若A、D间的距离为1，CE=2，则BF=（　　） A．3 B．4 C．5 D．不能确定 【考点】Q2：平移的性质． 【解答】解：∵△ABC水平向右平移到△DEF，∴BE=CF=1，∵CE=2，∴BF=4，故选B． 3.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＞AD，∠B与∠C互余，将AB，CD分别平移到EF和EG的位置，则△EFG为　直角　三角形，若AD=2cm，BC=8cm，则FG=　6　cm． 【考点】Q2：平移的性质． 【解答】解：∵∠B的对应角是∠EFG，∠C的对应角是∠EGF，又∵∠B与∠C互余， ∴∠EFG与∠EGF互余，∴△EFG为Rt△，∵AB平移的长度AE=BF，CD平移的长度DE=CG， ∴FG的长度为BC﹣CG﹣BF=BC﹣（AE+ED）=8﹣2=6cm． 【查缺补漏】 1.如图，已知EF，GH与AB，CD都相交，∠1=62°，∠2=118°，∠3=74°，则∠4=　74　度． 【考点】考查了平行线的判定与性质；解答本题时，用到了“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理及“两直线平行，同位角相等”的平行线的性质． 【解答】解：∵∠1=62°，∠2=118°，∴∠1+∠2=180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，则两直线平行），∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等）；又∵∠3=74°，∴∠4=74°．故答案为：74． 2．如图，AB∥DF，BE，DC分别是∠ABD，∠FDB的平分线，BE∥DC吗？为什么？ 解：由BE平分∠ABD，得　 　，同理可得　 　． 由于AB∥CD，根据　 　可得∠ABD=　 　． 因此　 　，根据　 　可得BE∥DC． （提示：为了说理需要，可按自己喜欢的方式在图中标注） 【考点】平行线的性质 【解答】解：由BE平分∠ABD，得：∠DBE=∠ABE，同理可得：∠BDC=∠FDC． 由于AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABD=∠FDB． 由于AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABD=∠FDB． 因此∠DBE=∠BDC，根据内错角相等，两直线平行，可得BE∥DC． 故答案为：∠DBE=∠ABE，∠BDC=∠FDC．两直线平行，内错角相等，∠FDB． ∠DBE=∠BDC，内错角相等，两直线平行． 3.平行线之间的距离是指（　　） A．从一条直线上一点到另一直线的垂线段 B．从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度 C．从一条直线上一点到另一条直线的垂线的长度 D．从一条直线上一点到另一条直线上的一点间线段的长度 【考点】平行线间的距离 【解答】解：平行线之间的距离是指：从一条直线上一点到另一条直线的垂线段长度． 故选B． 4.如图，四边形ABCD放在了一组距离相等的平行线中，已知BD=6cm，四边形ABCD的面积为24cm，则两条平行线间的距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．1 【考点】JC：平行线之间的距离 【解答】解：如图：作AE⊥BD，CF⊥BD，由面积的和差，BD=6cm， 得S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=BD•AE+BD•CF=BD•3CF+BD•CF=24． 解得CF=2，故选：A． 5．把命题“锐角的补角是钝角”改写成“如果…，那么…”的形式是　如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角　． 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：题设为：一个角是锐角的补角，结论为：这个角是钝角， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角， 故答案为：如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角． 6.将△ABC水平向右平移到△DEF的位置，若A、D间的距离为1，CE=2，则BF的长为多少？说说理由． 【考点】Q2：平移的性质． 【解答】解：根据平移的性质可得：AD=BE=CF，∴BF=BE+EC+CF=4． 【举一反三】 1．有一款灯，内有两面镜子AB、BC，当光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，即图1、图2中的∠1=∠2，∠3=∠4． （1）如图1，当AB⊥BC时，说明为什么进入灯内的光线EF与离开灯的光线GH互相平行． （2）如图2，若两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入灯内的光线与离开灯的光线的夹角为β°（0＜β＜90），试探索α与β的数量关系． （3）若两面镜子的夹角为α°（90＜α＜180），进入灯内的光线与离开灯的光线所在直线的夹角为β°（0＜β＜90）．直接写出α与β的数量关系． 【考点】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c． 【解答】（1）证明：如图1所示：∵∠1=∠2，又∵∠5=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣2∠2， ∴∠5=180°﹣2∠2，同理∠6=180°﹣2∠3，∵∠2+∠3=90°，∴∠5+∠6=180°，∴EF∥GH， 即进入灯内的光线EF与离开灯的光线GH互相平行． （2）解：2α+β=180°，理由如下： 如图2所示：由（1）所证，有∠5=180°﹣2∠2，∠6=180°﹣2∠3，∵∠2+∠3=180°﹣∠α，∴∠β=180°﹣∠5﹣∠6=2（∠2+∠3）﹣180°=2（180°﹣∠α）﹣180°=180°﹣2∠α， ∴α与β的数量关系为：2α+β=180°， （3）解：2α﹣β=180°． 2．在同一平面内，直线a∥c，且直线a到直线c的距离是2；直线b∥c，直线b到直线c的距离为5，则直线a到直线b的距离为（　　） A．3 B．7 C．3或7 D．无法确定 【考点】平行线间的距离 【解答】解：① ， 则直线a到直线b的距离为5﹣2=3； ②， 则直线a到直线b的距离为5+2=7．综上所述，直线a到直线b的距离为3或7．故选C． 3．如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王回报成绩，它们同时经过A处向洞口O处走，甲走的路线为过点A、B、C、D、E、F、G、H、0的折线，乙走的路线为折线AMO，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，你能判断出甲、乙两只蚂蚁谁先回到洞中吗？ 【考点】Q2：平移的性质． 【解答】解：经过平移后，甲所走的路程就是折线AMO的长度，所以甲、乙两只蚂蚁所走的路程相同，而且它们爬行的速度相同，所以两只蚂蚁同时回到洞中． 【效果检验】 1.如图，∠1=83°，∠2=97°，∠3=78°，则∠4的度数为　78°　． 【考点】本题主要考查了邻补角的意义，平行线的性质和判定等知识点，得出a∥b是解此题的关键 【解答】解：∵∠EFA+∠2=180°， ∵∠2=97°，∴∠EFA=83°，∵∠1=83°，∴∠1=∠EFA， ∴a∥b，∴∠4=∠3，∵∠3=78°，∴∠4=78°．故答案为：78°． 2.已知直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB=4cm，AC=5cm，AD=6cm，则m与n之间的距离（　　） A．等于5cm B．等于6cm C．等于4cm D．小于或等于4cm 【考点】考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义． 【解答】解：∵直线m∥n，点A在m上，点B、C、D在n上，且AB=4cm，AC=5cm，AD=6cm，∴AB＜AC＜AD，∴m与n之间的距离小于或等于4cm，故选：D． 3.把命题“锐角的补角是钝角”改写成“如果…，那么…”的形式是　如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角　． 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：题设为：一个角是锐角的补角，结论为：这个角是钝角， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角， 故答案为：如果一个角是锐角的补角，那么这个角是钝角． 【课后作业】 1.如图所示，下列推理正确的个数有（　　） ①若∠1=∠2，则AB∥CD ②若AD∥BC，则∠3+∠A=180° ③若∠C+∠CDA=180°，则AD∥BC ④若AB∥CD，则∠3=∠4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【考点】平行线的性质 【解答】解：∵∠1=∠2，∴AB∥DC，∴①正确；∵AD∥BC， ∴∠CBA+∠A=180°，∠3+∠A＜180°，∴②错误；∵∠C+∠CDA=180°，∴AD∥BC，∴③正确；由AD∥BC才能推出∠3=∠4，而由AB∥CD不能推出∠3=∠4，∴④错误； 正确的个数有2个，故选C， 2.如图，a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5cm，AC=4cm，那么平行线a、b之间的距离为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．不能确定 【考点】平行线间的距离 【解答】解：平行线a、b之间的距离=AC=4cm．故选B． 3.如图，A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n．则下列说法正确的是（　　） A．AC=BP B．△ABC的周长等于△BCP的周长 C．△ABC的面积等于△ABP的面积 D．△ABC的面积等于△PBC的面积 【考点】JC：平行线之间的距离 【解答】解：∵A、P是直线m上的任意两个点，B、C是直线n上的两个定点，且直线m∥n，根据平行线之间的距离相等可得：△ABC与△PBC是同底等高的三角形， 故△ABC的面积等于△PBC的面积．故选D． 4.如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则AB、CD之间的距离为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【考点】平行线间的距离 【解答】解：作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，∵AB∥CD，∴FG垂直CD， ∴FG就是AB与CD之间的距离．∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E， ∴OE=OF=OG，∴AB与CD之间的距离等于2OE=4．故选B． 5.下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．内错角相等 C．过一点只能画一条直线 D．两点之间，线段最短 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故选项错误；B、两直线平行，内错角相等，故选项错误；C、过一点可以画无数条直线，故选项错误；D、正确，是真命题．故选D． 6.下列命题中正确的是（　　） A．平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 B．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 C．若两条弧的度数相等，则它们是等弧 D．弦的垂线平分弦所对的弧 【考点】O1：命题与定理． 【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误；B、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，正确；C、若两条弧的度数相等，则它们是等弧，错误；D、弦的垂线平分弦所对的弧，错误，故选B． 7.如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【考点】Q1：生活中的平移现象． 【解答】解：根据平移的定义可知，只有A选项是由一个圆作为基本图形，经过平移得到．故选A． 8.如图，将周长为8cm的△ABC沿BC方向平移1cm得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　10　cm． 【考点】Q2：平移的性质． 【解答】解：根据题意，将周长为8cm的△ABC沿BC向右平移1cm得到△DEF， ∴AD=1cm，BF=BC+CF=BC+1cm，DF=AC；又∵AB+BC+AC=8cm， ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10cm．故答案为：10． 9.如图，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，DM∥BC，∠1=∠2．求证：∠AMD=∠AGF． 【考点】平行线的判定和性质 【解答】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴BD∥EF，∴∠2=∠CBD， ∵∠2=∠1，∴∠1=∠CBD，∴GF∥BC，∵BC∥DM，∴MD∥GF，∴∠AMD=∠AGF． 10.已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知） ∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义） ∴DG∥AC（　 　） ∴∠2=　 　（　 　 　） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠1=∠　 　（等量代换） ∴EF∥CD（　 　 　） ∴∠AEF=∠　 　（　 　 　） ∵EF⊥AB（已知） ∴∠AEF=90°（　　 　） ∴∠ADC=90°（　 　 　） ∴CD⊥AB（　 　 　） 【考点】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法． 【解答】解：证明过程如下： 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直定义） ∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠ACD（等量代换）∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行） ∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）∵EF⊥AB（已知）∵∠AEF=90°（垂直定义） ∴∠ADC=90°（等量代换）∴CD⊥AB（垂直定义）． 11..如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A． （1）求证：FE∥OC； （2）若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数． 【考点】考查了平行线的判定与性质 【解答】（1）证明：∵AB∥DC，∴∠C=∠A，∵∠1=∠A，∴∠1=∠C，∴FE∥OC； （2）解：∵FE∥OC，∴∠FOC+∠OFE=180°， ∵∠FOC+∠BOC=180°，∠DFE+∠OFE=180°，∴∠BOC+∠DFE=180°， ∵∠BOC﹣∠DFE=20°，∴∠BOC+∠DFE=180°，解得：∠DFE=80°，∴∠OFE=100°． 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$