第12讲 正多边形与圆 （1个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第12讲 正多边形与圆 （1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【例1】（2024•连云区一模）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•秦淮区二模）如图，是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形自身除外）的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】（2023秋•淮安期末）两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则点的坐标是 　　． 【变式3】（2024•苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）　　．（结果保留 【变式4】（2023秋•宿迁期末）如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形的面积． 【变式5】（2023秋•秦淮区期中）如图，在的内接正八边形中，，连接． （1）求证； （2）的长为 　　． 经典题型汇编 题型一、求正多边形的中心角 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）圆内接正三角形的中心角的度数为 ． 2．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 题型二、已知正多边形的中心角求边数 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 题型三、正多边形和圆的综合 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）若正四边形的边长为2，则其内切圆半径的为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积． 题型四、尺规作图—正多边形 9．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 10．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 11．（江苏无锡·中考真题）下面给出的正多边形的边长都是20 cm．请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明． （1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等； （2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等； （3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等． 试题练习 一、单选题 1．下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正八边形 4．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（    ） A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 7．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一个正n边形的中心角为，则n为 ． 12．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ． 13．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，α是正十边形两条对角线的夹角，则α的度数是 °． 14．（22-23九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接正三角形，是的内接正四边形的一边，连接，则是的内接正 边形的一边． 15．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 16．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ． 17．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为点G，则正六边形的中心角 ，边心距 ．    18．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则 ．    三、解答题 19．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（2020·江苏盐城·中考真题）如图，点是正方形，的中心．    （1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接求证：． 21．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 22．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）尺规作图：作圆的内接正方形．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 23．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图所示，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的倍．    24．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 　　　　． 25．（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径作圆，只用无刻度的直尺完成以下画图． (1)在图①中画的一个内接正四边形，___________； (2)在图②中画的一个内接正六边形，__________． 26．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 正多边形与圆 （1个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 【例1】（2024•连云区一模）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则　　 A． B． C． D． 【分析】连接，．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，， 是正五边形， ， ， 故选：． 【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数． 【变式1】（2024•秦淮区二模）如图，是正六边形的中心，图中可以通过一次旋转与重合的三角形自身除外）的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据旋转的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：将，即将△①绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将△②绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将△③绕着的中点，逆时针旋转与重合； 将，即将△④绕着点顺时针旋转到与重合时，就与重合； 将，即将△⑤绕着点逆时针旋转到与重合时，就与重合； 即图中△①，△②，△③，△④，△⑤可以通过1次旋转与重合， 故选：． 【点评】本题考查旋转的性质，正多边形和圆，理解旋转的性质是正确解答的关键． 【变式2】（2023秋•淮安期末）两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则点的坐标是 　，　． 【分析】根据正六边形的性质和解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：如图，设正六边形的中心为，连接，过作于， 则，， ， ，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式3】（2024•苏州）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，所在圆的圆心恰好是的内心，若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）　　．（结果保留 【分析】根据正六边形的性质，三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可． 【解答】解：如图，过点作于点，则， 六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点， ， ， 是正三角形， 点是的内心， ，， 在中，，， ， 的长为， 花窗的周长为． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键． 【变式4】（2023秋•宿迁期末）如图，正六边形内接于，半径为4． （1）求正六边形的边心距； （2）求正六边形的面积． 【分析】（1）连接、，过点作于，证明等边三角形，利用三角函数即可求解； （2）根据正六边形的面积即可求解． 【解答】解：（1）连接、，过点作于，则， 六边形是正六边形， ， ，为等边三角形， ，， 圆心到的距离， 即正六边形的边心距为； （2）正六边形的面积． 【点评】本题考查了正六边形和圆，等边三角形的判定与性质，三角函数，掌握正六边形的性质是解题的关键． 【变式5】（2023秋•秦淮区期中）如图，在的内接正八边形中，，连接． （1）求证； （2）的长为 　　． 【分析】（1）根据正八边形的性质、圆内接正八边形的性质以及圆周角定理得出，由平行线的判断得出结论； （2）通过作垂线，构造直角三角形，利用圆周角定理以及直角三角形的边角关系求出，即可． 【解答】（1）证明：八边形是的内接正八边形， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，过点、分别作的垂线，垂足为、，则， 八边形是的内接正八边形， ， ， 在中，，， ， 同理， ． 故答案为：． 【点评】本题考查正多边形与圆，掌握圆内接正八边形的性质、直角三角形的边角关系以及圆周角定理是正确解答的前提． 经典题型汇编 题型一、求正多边形的中心角 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）圆内接正三角形的中心角的度数为 ． 【答案】120°/120度 【分析】本题考查正多边形与圆．根据圆内接正边形的中心角的度数等于，求解即可． 【详解】解：圆内接正三角形的中心角的度数为； 故答案为：120°． 2．（21-22九年级上·江苏南京·期中）如图，圆内接正九边形两条对角线相交，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，三角形外角的性质，添加辅助线是解题的关键．根据正多边形与圆求出相应的圆心角度数，再根据圆周角定理和三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，设这个正九边形的外接圆为， 则， ∴， ∴， 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 题型二、已知正多边形的中心角求边数 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查正多边形的中心角与边数之间的关系，根据正边形的中心角为，即可解题． 【详解】解：设这个正多边形的边数是，且一个正多边形的中心角等于， 有，解得， 故答案为：12． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 题型三、正多边形和圆的综合 6．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）若正四边形的边长为2，则其内切圆半径的为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形和圆、切线的性质等知识．根据题意画出图形，再由正方形的性质以及切线的性质判断出为等腰直角三角形，据此即可求得答案． 【详解】解：如图，由题意，切于点，连接、， ∴， ∵四边形是正四边形， ∴是等腰直角三角形，， ∴其内切圆半径的为1： 故选：A． 7．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为一边的的内接正多边形的边数是 ． 【答案】6或30 【分析】本题考查正多边形与圆，该题以正多边形和圆为载体，以正多边形和圆的性质的考查为核心构造而成；灵活运用有关定理来分析判断是解题的关键． 如图，首先求出、的度数，进而求出的度数即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵是内接正十边形的一边， 是的内接正十五边形的一边， ∴，， 当点C在外时，； 当点C在上时，； 即以为边的内接正多边形的中心角的度数为或． ∴多边形的边数为6或30． 故答案为：6或30． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）正六边形的半径为4．求这个正六边形的周长和面积． 【答案】这个正六边形的周长为24，面积为． 【分析】先由正多边形的性质求出，然后证明出是等边三角形，过点O作交于点M，利用垂径定理得到，根据勾股定理得到，从而求出的面积，然后根据正六边形的面积等于的面积的6倍可求出正六边形的面积，根据正六边形的周长即可求出正六边形的周长． 【详解】如图， 由题意得：， 又∵， ∴是等边三角形， 过点O作交于点M， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的面积， ∴正六边形的周长． 【点睛】本题考查正多边形和圆及垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是证明出是等边三角形． 题型四、尺规作图—正多边形 9．如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 10．如图，在⊙O中，MF为直径，OA⊥MF，圆内接正五边形ABCDE的部分尺规作图步骤如下： ①作出半径OF的中点H． ②以点H为圆心，HA为半径作圆弧，交直径MF于点G． ③AG长即为正五边形的边长、依次作出各等分点B，C，D，E． 已知⊙O的半径R＝2，则AB2＝ ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】连接AG，由作图可知，OA＝2，H为OF中点，可求OH=，由勾股定理得AH＝，可求OG＝﹣1，由勾股定理AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2即可． 【详解】解：连接AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H为OF中点， ∴OH=， 在Rt△OAH中，由勾股定理 ∴AH＝， ∵AH＝HG＝， ∴OG＝GH﹣OH＝﹣1， 在Rt△AOG中，由勾股定理得， ∴AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（﹣1）2＝10﹣2． 故答案为：10﹣2． 【点睛】本题考查尺规作圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧，掌握圆内接正五边形的方法与步骤，线段垂直平分线，勾股定理，作圆弧的方法是解题关键． 11．（江苏无锡·中考真题）下面给出的正多边形的边长都是20 cm．请分别按下列要求设计一种剪拼方法（用虚线表示你的设计方案，把剪拼线段用粗黑实线，在图中标注出必要的符号和数据，并作简要说明． （1）将图1中的正方形纸片剪拼成一个底面是正方形的直四棱柱模型，使它的表面积与原正方形面积相等； （2）将图2中的正三角形纸片剪拼成一个底面是正三角形的直三棱柱模型，使它的表面积与原正三角形的面积相等； （3）将图3中的正五边形纸片剪拼成一个底面是正五边形的直五棱柱模型，使它的表面积与原正五边形的面积相等． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）在正方形四个角上分别剪下一个边长为5的小正方形，拼成一个正方形作为直四棱柱的底面即可． （2）在正三角形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正三角形，作为直三棱柱的一个底面即可． （3）在正五边形的每一角上找出到顶点距离是5的点，然后作边的垂线，剪下后拼成一个正五边形，作为直五棱柱的一个底面即可． 【详解】（1）如图1，沿黑线剪开，把剪下的四个小正方形拼成一个正方形，再沿虚线折叠即可． （2）如图2，沿黑线剪开，把剪下的三部分拼成一个正三角形，再沿虚线折叠即可． （3）如图，沿黑线剪开，把剪下的五部分拼成一个正五边形，再沿虚线折叠即可． 试题练习 一、单选题 1．下列作图属于尺规作图的是（    ） A．利用三角板画的角 B．用直尺画一条线段 C．用直尺和三角板画平行线 D．用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段 【答案】D 【分析】尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． 【详解】A、利用三角板画45∘的角不符合尺规作图的定义，错误； B、用直尺画线段不符合尺规作图的定义，错误； C、用直尺和三角板画平行线不符合尺规作图的定义，错误； D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段符合尺规作图的定义，正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图的定义，理解定义是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）正六边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的中心角．根据正多边形的中心角的定义，可得正六边形的中心角是：． 【详解】解：正六边形的中心角是：． 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 4．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（    ） A．正五边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十八边形 【答案】C 【分析】一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是，用除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数． 【详解】由题意可得： 边数为． 则这个多边形是正十边形． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和定理，准确理解圆内接正多边形的中心角的特点是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）将一个正八边形绕着其中心旋转后与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形中心角的度数为，先求出正八边形中心角的度数，即可解答． 【详解】解：正八边形的中心角为， ∵， ∴旋转角的大小可能是，，， ∵不是的整数倍， ∴旋转角的大小不能是， 故选：B． 6．（23-24九年级上·江苏常州·期末）一个正多边形的中心角为，这个正多边形的边数是（   ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是正多边形和圆，根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可． 【详解】解：正多边形的中心角和为，正多边形的中心角是， 这个正多边形的边数． 故选：D． 7．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形和圆，根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理即可得出答案，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ∴所对的弧是， ∵所对的弧是， ∴，即， 故选：． 8．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．5 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO， ∴， ∴这个正多边形的边数为=10． 故选：B． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．（23-24九年级上·江苏连云港·期中）如图，正五边形内接于，与相切于点，连接并延长，交于点，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，三角形内角和定理，连接，根据切线的性质得，再利用圆内接正五边形的性质可得，再利用三角形的内角和等于即可求解．熟练掌握正多边形的性质与切线的性质是解题关键． 【详解】解：如图，连接，    与相切， ， 正五边形内接于， ， ， ， 故选B． 二、填空题 11．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一个正n边形的中心角为，则n为 ． 【答案】10 【分析】根据正多边形的中心角和为计算即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为是解答此题的关键． 12．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ． 【答案】10 【分析】直接利用旋转图形的性质结合正多边形中心角相等进而得到答案 【详解】∵一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合 ∴ n的值为： 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题关键． 13．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，α是正十边形两条对角线的夹角，则α的度数是 °． 【答案】/54度 【分析】本题考查了正多边形与圆，涉及了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，根据，分别求出即可求解． 【详解】解：如图所示： 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接正三角形，是的内接正四边形的一边，连接，则是的内接正 边形的一边． 【答案】十二/12 【分析】连接、、，求出，，从而求出，根据，得出答案即可． 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵是的内接正三角形， ∴， ∵是的内接正四边形的一边， ∴， ∴， ∵， ∴是的内接正十二边形的一边． 故答案为：十二． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键是熟练掌握正多边形和圆的特点，求出． 15．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 【答案】12 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 16．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．若存在一个边长为4的正方形被两个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ；若存在一个边长为4的正方形被三个半径为r的等圆所覆盖，此时r的最小值为 ． 【答案】 / 【分析】把正方形分成两个相等的矩形，分别以两个矩形的对角线的中点为圆心、对角线的一半为半径作圆，此时这两个矩形分别内接于两圆半径最小，再根据正方形和矩形的性质可得，，再由等腰三角形的性质得，再利用勾股定理求解即可；把正方形分成三个相等的矩形，分别以三个矩形的对角线的中点为圆心、对角线的一半为半径作圆，此时这三个矩形分别内接于两圆半径最小，再根据正方形的性质可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，正方形被、所覆盖，点E是的中点，过点M作于点F， ∵正方形的边长为4， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，， 在中，， ∴r的最小值为， 如图，正方形被、、所覆盖，点G、M、H是、的三等分点， ∵正方形的边长为4， ∴， 在中，， ∴， ∴r的最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查正方形与圆、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，利用圆的内接正方形进行计算求出半径的最小值是解题的关键． 17．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在圆内接正六边形中，半径，，垂足为点G，则正六边形的中心角 ，边心距 ．    【答案】 /60度 【分析】正多边形的中心角等于除以边数；先证是等边三角形，推出，再利用得出，再利用勾股定理即可求出边心距． 【详解】解：在圆内接正六边形中，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了圆内接多边形的知识，熟练掌握中心角和边心距的求法是解题的关键．边心距：正多边形的外接圆的圆心到正多边形边的距离． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，四边形是的内接四边形，是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边，，则 ．    【答案】48或36 【分析】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念．连接，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正m边形与内接正n边形的中心角得到，根据，得到m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：连接，如图，    ， ， ， ， ， m，n的中有一个值必是3的倍数，且均为正整数， 设（均为正整数），则， （n为正整数）， 当时，（不符合题意）； 当时，，则； 当时，（不符合题意）； 当时，，则； 当时，（不符合题意）； 当时，，（不符合题意）； ； 当时，n均不为正整数，（不符合题意）； 综上，的值为48或36． 三、解答题 19．如图，已知，请用尺规作图法求作的内接正方形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作正方形，考查了圆的基本性质，正方形的判定；先在圆上确定一点，连接并延长交于点，再作的垂直平分线交于B、D，连接，则四边形就是所求作的内接正方形． 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 20．（2020·江苏盐城·中考真题）如图，点是正方形，的中心．    （1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解； （2）根据题意证明即可求解． 【详解】如图所示，点即为所求．    连接 由得： 是正方形中心， 在和中， ． 【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质． 21．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 22．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）尺规作图：作圆的内接正方形．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑） 【答案】见解析． 【分析】根据正方形的判定和圆的性质可知，作两条互相垂直的直径即可得到圆内接正方形． 【详解】解：如图，正方形即为所求： 【点睛】本题考查了尺规作图、正方形的判定、圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意尺规作图的规范性． 23．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图所示，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的倍．    【答案】见解析 【分析】首先连接，根据垂径定理的知识，易证得，设，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形的面积与的面积，继而求得答案． 【详解】连、、，如图(2)所示，      图(2) 则，又．   ， 又于，于，由垂径定理得，，   ．    ∴ ． 即阴影部分四边形的面积是的面积的倍． 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 24．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，，是的弦，，延长到，连接，． (1)求证：是的切线； (2)以为边的圆内接正多边形的周长等于 　　　　． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，，根据三角形的内角和定理求得，即可证明； （2）根据，推得以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形，根据直角三角形中，所对的边是斜边的一半求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴以为边的圆内接正多边形是圆内接正六边形， ∵，，， ∴， ∴以为边的圆内接正六边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，圆内接正六边形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 25．（22-23九年级上·江苏徐州·期中）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都为1，点、都在格点上，以为圆心，为半径作圆，只用无刻度的直尺完成以下画图． (1)在图①中画的一个内接正四边形，___________； (2)在图②中画的一个内接正六边形，__________． 【答案】(1)图见解析，32 (2)图见解析， 【分析】 （1）只需要作直径、，并使得即可； （2）如图所示，取格点B，C，D，E，F，然后顺次连接A、B、C、D、E、F得到正六边形，再求出求面积． 【详解】（1）解：如图所示，正四边形即为所求； ， 故答案为32； （2）解：如图所示，正六边形即为所求； 过点O作于H， ∵正六边形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知正多边形和圆的相关知识是解题的关键． 26．（2024·江苏苏州·一模）古建中的数学：古亭探“优”． 【了解】 “江山无限景，都聚一亭中．”八角亭是典型的中国八棱形楼阁式建筑，其结构稳固、匀称，有利于减弱风力、抵御地震，如图①，将八角亭顶部的轮廓抽象后得到的几何图形为正八边形． 【探索】 先将正方形、完全重合，再将正方形绕其中心旋转一定的角度，就得到了正八边形，如图②，这种构造正八边形的方法称为“四转八”法． （1）旋转的角度最小为_______º； （2）若正八边形的边长为2，则正方形的边长为______； （3）连接，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； 【作图】 （4）如图③，已知正方形请你利用无刻度直尺和圆规作一个正八边形，并使其所有顶点均落在正方形的边上．（保留作图痕迹，并写出必要的说明） 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）设正方形、的中心为Q，连结、、、、、、、，可证得，得出，同理，可得； （2）由题意得，再由、、均为等腰直角三角形，即可求得答案； （3）由，，，可得，，即可求得答案； （4）连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【详解】（1）解：如图设正方形、的中心为，连结、、、、、、、， 则、、、经过点，， ，， 四边形、是正方形， ， 是正八边形， ，， ， ， 同理， ， ； （2）正八边形的边长为2， ， 由（1）知：、、均为等腰直角三角形， ，， ； （3），理由如下： 由（2）知：，，， 可得，， ， ； （4）如图： 连结、交于点，跟别以四个顶点为圆心，以、、、为半径画圆，圆与四条边的八个交点即为正八边形的顶点． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$