第10章 空间直线与平面（单元重点综合测试）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）

第十章 空间直线与平面（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 2．已知空间中两条直线，“”是“与相交”的 条件. 3．在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为 ． 4．若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 ． 5．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是 . （1） （2）  （3）      （4） 6．线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 . 7．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则 . 8．在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 9．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 10．如图所示，在空间四边形中，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为 . 11．如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是 ．    二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 14．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 15．正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 16．如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（    ） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 3、 解答题(本大题共有6题，满分78分） 17．已知：，，，，，．求证：直线共面于． 18．如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．    (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 19．如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 20．如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 21．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 22．如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.    (1)当为线段的中点时， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 空间直线与平面（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、填空题 1．“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 【答案】 【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果. 【解析】由题意可知：直线在平面内， 所以符号语言为：， 故答案为：. 2．已知空间中两条直线，“”是“与相交”的 条件. 【答案】既不充分也不必要 【分析】以正方体为例，举例说明，结合充分条件和必要条件的定义可得. 【解析】以正方体为例，举例说明即可. 如图，在正方体中，，但是异面，即不相交； ，但是、不垂直. 故答案为：既不充分也不必要. 3．在正方体中，E为AB的中点，则异面直线与所成角为 ． 【答案】 【分析】如图，由题意可得（或其补角）为异面直线与所成角，根据余弦定理计算即可求解. 【解析】如图，取的中点F，连接EF，，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 故（或其补角）为异面直线与所成角. 设正方体的棱长为，在中，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为： 4．若平面与平面平行，，则直线的位置关系为 ． 【答案】平行或异面 【分析】根据面面平行的性质进行判断即可. 【解析】∵平面∥平面， ∴平面与平面没有公共点 ∵， ∴直线没有公共点 ∴直线的位置关系是平行或异面 故答案为：平行或异面． 5．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是 . （1） （2）  （3）      （4） 【答案】（1）（3） 【分析】对（1）（3）利用线面平行的判定定理即可判断；对（2），将平面扩展，即可得出与平面相交；对（4），由，而与平面相交，可知与平面相交. 【解析】对于（1），平面，平面， 所以直线与平面平行，正确； 对于（2），如图，取正方体所在棱的中点G，连接并延长，交延长线于H， 则与平面相交于点H，错误； 对于（3），，平面，平面， 所以直线与平面平行，正确； 对于（4），如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交,所以直线与平面相交，错误. 故答案为：（1）（3） 6．线段AB的长等于它在平面内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为 . 【答案】 【分析】根据线面角的定义得到是AB所在直线与平面所成的角，然后在中可求出结果 【解析】如图，，则BC是AB在平面内的射影， 则，为AB所在直线与平面所成的角． 在中，， ∴，即AB所在直线与平面所成的角为. 故答案为： 7．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则 . 【答案】 【分析】 根据线面平行的性质定理，平行线分线段成比例等知识求得正确答案． 【解析】 设，连接， 由于平面，平面，平面平面， 则， 由于,,所以， 所以． 故答案为：． 8．在正四棱柱 中， 已知底面的边长为2， 点P是的中点，直线与平面成角. 则正四棱柱的高为 . 【答案】 【分析】根据线面角的定义得即为直线与平面所成的角，在中由可得结果. 【解析】连接，因为在正四棱柱 中，所以平面， 所以为直线在平面内的射影， 所以即为直线与平面所成的角，即 设正四棱柱的高为h，又，在中，， 解得， 故答案为：. 9．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为8的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面ABC＇面积达到最大 【答案】 【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系． 【解析】如图，过点C作交AB于D，连接，由题知， 因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角， 因为，则求遮阴影面面积最大，即是求最大， 又，， 设，，由正弦定理，得， 当且仅当时取等号，此时所遮阴影面面积最大， 故答案为： 10．如图所示，在空间四边形中，是中点，且，若二面角的大小为，则点到点的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，证得，得到为二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解. 【解析】如图所示，连接， 因为且为的中点，所以， 所以为二面角的平面角，可得， 在中，因为，且， 可得， 所以. 故答案为：. 11．如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A、B在平面的同一侧，点平面，BC与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是 ．    【答案】30 【分析】作出辅助线，判断出当四点共面时，点A到的距离最大，进而算出AC，最后得到答案． 【解析】如图，过作⊥，交于B1，过A作⊥，交于，    因为在中，,， 则，当四点共面时，点A到的距离最大． 因为⊥，所以是BC与平面所成的角，则，则， 于是，，即A到的最大距离为30． 故答案为：30． 12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【解析】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，      由正方体，E，N分别为，的中点， 易知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF， 因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面， 因为P是底面上一点，且平面，所以点， 由分别为的中点，且，，则，，即， 由，则 在等腰中，底边上的高， 则AP的长度的取值范围为， 设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题. 二、单选题 13．下列条件不能确定一个平面的是（    ） A．不共线三点 B．直线和直线上一点 C．两条平行直线 D．两条相交直线 【答案】B 【分析】根据确定平面的公理及其推论，即可判断． 【解析】经过不共线三点，有且只有一个平面，故A不符合题意； 经过直线和直线上一点，有无数个平面，故B符合题意； 经过两条平行直线，有且只有一个平面，故C不符合题意； 经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D不符合题意． 故选：B． 14．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 15．正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线与平面所成角分别为，．若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据线面角的定义可得直线与直线所成角大小关系，再根据判断即可. 【解析】直线与平面所成角大小分别为， 等价于直线与直线成角大小分别为， 由，可知P在线段上，又，则与所成角更小， 则点P在线段上. 故选：B. 16．如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（    ） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】①利用正方体对角线截面可得；②先在下底面上过点作直线与平行，利用公理和推论找到过和的截面，将判断直线与是否恒为异面直线，转化为判断是否在截面上，当在截面上，则与重合，利用三角形相似和已知，设正方体棱长为，可解出，即说明直线与不恒为异面直线. 【解析】①如图，当点是线段交点时，满足题意. 此时无论点在线段何处，线段都在平面上， 由正方体结论知平面，由线面垂直定义得，所以①正确； ②如图，在下底面上过点作直线与平行，且交棱于点，交棱于点， 由于正方体中，由平行传递公理得， 在中，作，且交于点， 在左侧面上，延长，且； 在后侧面上，延长，且， 连接，由公理及推论可得在截面上， 由于， 所以判断直线与是否恒为异面直线，只需判断是否在截面上. 如图，当在截面上，则与重合， 则由∽得， 由∽得， 不妨设，正方体棱长为，又，设，， 则，解得， 此时直线与为共面直线，故②错误. 故选：C. 【点睛】结论点睛：判断是否是异面直线，可以作其中一条直线的平行线与另一条直线构成的平面，再判断第一条直线是否在该平面上. 三、解答题 17．已知：，，，，，．求证：直线共面于． 【答案】证明见解析 【分析】根据平面基本性质，如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内,可证明结论. 【解析】, 同理， 所以直线共面于. 18．如图，已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．    (1)证明：四边形为平行四边形； (2)证明：和是异面直线． 【答案】(1)证明过程见解析. (2)证明过程见解析. 【分析】第一问利用三角形中位线性质，结合平行公理推理作答.第二问利用反证法来证明. 【解析】（1）证明：因为已知、、、分别是空间四边形的边、、、的中点．所以线段是的中位线，所以且，同理可得且，所以且，所以四边形为平行四边形. （2）反证法：假设和不是异面直线，则和平行或相交，所以和可以确定一个平面，所以，这与是空间四边形矛盾，故和是异面直线. 19．如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到即为异面直线与所成角，求出各边长，得到答案； （2）作出辅助线，证明出面，求出点到平面的距离为. 【解析】（1）因为， 所以即为异面直线与所成角， 因为，由勾股定理得，， 故， 所以； （2）连接交于，则， 因为⊥平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，所以点到平面的距离为. 20．如图所示的几何体中，四边形为正方形，. (1)求证：平面； (2)若，平面平面.若为中点，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）由及面面垂直的性质可得平面，，结合即可证明. 【解析】（1）因为四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）若，则为等边三角形，如图， 因为为中点，所以， 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又，，平面， 所以平面. 又平面， 所以. 21．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，．    (1)证明：与平面不垂直； (2)证明：平面平面； (3)如果，二面角等于，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）若平面，则，由，得，所以与平面不垂直． （2）取、的中点、，由，，得为直角梯形的中位线，故，又，所以平面，由此能够证明平面平面． （3）由二面角的定义知为二面角的平面角，作于，连，由三垂线定理得，故为二面角的平面角，由此能求出二面角的大小． 【解析】（1）若平面， 则， 由已知， 得， 这与矛盾，所以与平面不垂直． （2）取、的中点、，连接、、， 由，，得， ， 为直角梯形的中位线， ，又， 平面， 由平面，得，又且梯形两腰、必交， 平面, 又平面， 平面平面, （3）由（2）及二面角的定义知为二面角的平面角, 作于，连， 由于平面,平面,故, ,平面,故平面 平面,所以 故为二面角的平面角, 即， 由已知，得， 又． ， ． ， 故二面角的大小为．    22．如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.    (1)当为线段的中点时， （i）求证：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值； (2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2)存在， 【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质可推导出平面，可得出，利用勾股定理可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （ii）取的中点为，的中点为，连接、、，计算出点到平面的距离以及线段的长，即可得出直线与平面所成角的正弦值； （2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接，根据已知条件得出是直线与平面所成的角，是二面角的平面角，计算出三边边长，利用勾股定理求出的值，即可得出结论. 【解析】（1）（i）由题意，四边形为直角梯形，且，， 所以，所以， 取的中点，连接，则且，且， 故四边形为矩形， 则，且，所以， 又由，所以，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，，则，所以， 又，、平面，所以平面.    （ii）取的中点为，的中点为，连接、、， 过在平面内作垂直于，垂足为， 又平面平面，平面平面，， 所以平面，为的中点， 所以，所以平面，平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面，平面， 所以，，平面， 得平面，因为，，， 所以， 由等面积法可得， 延长与交于点，则为的中点，为直线与平面的交点，    设点到平面的距离为，直线与平面所成的角为， 则，所以， 由，所以，； （2）假设存在点，使得，延长与交于点，连接， 则平面平面， 设平面，垂足为，连接，是直线与平面所成的角， 因为且，所以，点为的中点，则， 过点作垂直于，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面，因为平面，所以， 是二面角的平面角， 所以，， 由，得，所以、重合，由，得， 设，则，， 由勾股定理可得， 即，整理可得， 解得或（舍）， 所以存在点，当，有成立.    【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是假设存在点，使得，延长与交于点，根据已知条件得出是直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力、运算能力. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$