新高一入学分班考（范围：初高衔接、集合与常用逻辑、不等式）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

2024年秋季新高一入学分班考试模拟卷 （试卷满分：150分 测试范围：初高衔接、集合与常用逻辑、不等式） 一．选择题（共8小题） 1．二次三项式化为完全平方式为　　 A． B． C． D． 2．已知，，则是的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设，为正数，则的最小值为　　 A．6 B．9 C．12 D．15 4．如果外切的两圆和的半径分别为2和4，则半径为6，且与和都相切的圆有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7 5．已知．规定“把点先作关于轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点的坐标变为　　 A． B． C． D． 6．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 7．在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为，，试写出这样的一个方程组”的题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是　　 A． B． C． D． 8．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“”是四则运算中的加法）．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） 9．已知，，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 10．若集合，，，则　　 A． B． C． D． 11．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有　　 A． B． C．的解集为 D．的解集为或 三．填空题（共3小题） 12．已知不等式的解是，或，求不等式的解集　　 13．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且，则的值是 　　． 14．如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图像上，轴于点．若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为 　　；点的坐标为 　　． 四．解答题（共5小题） 15．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值． 16．如图，在同一坐标系中，直线交轴于点，直线过点． （1）求的值； （2）点、分别在直线，上，且关于原点对称，说明：点关于原点对称的点的坐标为，求点、的坐标和的面积． 17．问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试写出，，之间满足的等量关系式； 探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 18．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴的正半轴交于点，点的坐标为，，抛物线的顶点为． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴上的点满足，求点的坐标； （3）为线段上一点，点关于的平分线的对称点为，若，求点的坐标和此时的面积． 19．如图，内接于，为的直径，与相交于点，的延长线与过点的直线相交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）已知，且与，分别相交于点，，若，，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋季新高一入学分班考试模拟卷 （试卷满分：150分 测试范围：初高衔接、集合与常用逻辑、不等式） 一．选择题（共8小题） 1．二次三项式化为完全平方式为　　 A． B． C． D． 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：利用完全平方公式可得． 故选：． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，属于基础题． 2．已知，，则是的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义，由命题，的范围即可判断． 【解答】解：因为命题是命题的子集， 所以命题能推出命题，命题不能推出命题， 所以命题是命题的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查充分必要条件的定义，属于容易题． 3．设，为正数，则的最小值为　　 A．6 B．9 C．12 D．15 【分析】函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值 【解答】解：，为正数， 当且仅当时取得“” 最小值为9 故选：． 【点评】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等” 4．如果外切的两圆和的半径分别为2和4，则半径为6，且与和都相切的圆有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7 【分析】根据题意，由圆与圆相切的性质，分情况讨论，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，如图： 和两个圆和都外切的圆有2个， 和两个圆和都内切的圆有1个， 和圆内切，和圆外切的圆有1个， 和圆内切，和圆外切的圆有1个， 故符合题意的圆有5个； 故选：． 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆相切的性质，属于基础题． 5．已知．规定“把点先作关于轴对称，再向左平移1个单位”为一次变换．那么连续经过2018次变换后，点的坐标变为　　 A． B． C． D． 【分析】首先根据题目要求进行变换，点先作关于轴对称变换，再向左平移1个单位，坐标变为，第二次变换得到，第三次变换得到坐标，，综上可知，作一次变换，即横坐标减1，纵坐标变为相反数，最后得出结果． 【解答】解：点先作关于轴对称变换，得到的坐标为， 再向左平移1个单位，横坐标减1，纵坐标不变，得到的坐标为， 第二次变换得到，第三次变换得到坐标， 综上可知，作一次变换，即横坐标减1，纵坐标变为相反数， 因此连续经过2018次变换后横坐标减2018，纵坐标经过偶数次变换，仍为原数， 第2018次变换后的点在轴上方， 点的纵坐标为2，横坐标为， 点的坐标变为， 故选：． 【点评】本题主要考查了点关于坐标轴的变换问题，属于基础题． 6．给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据数集的定义可依次判断． 【解答】解：根据题意，，故①错，是无理数，故，故②正确， 又，故③错，④，④正确， 故选：． 【点评】本题考查数集的定义，属于基础题． 7．在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为，，试写出这样的一个方程组”的题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是　　 A． B． C． D． 【分析】分别把，代入所给的方程组，逐一判断求解． 【解答】解：对于，当时，不成立，故错误； 对于，当时，，不成立，故错误； 对于，，都满足，故正确； 对于，不是二元一次方程，故错误． 故选：． 【点评】本题考查二元一次方程、一个二元二次方程组成的定义及其方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“”是四则运算中的加法）．若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】由抛物线与直线只有一个交点可得从而可求点的坐标，由在第一象限且可得的范围，根据一元二次函数的性质即可求的范围． 【解答】解：把代入，得， 因为抛物线与直线只有一个交点，所以得． 因为，所以，可化为，可得，． 因为点在第一象限，所以，解得． 因为，所以，解得． 所以令， 因为，抛物线开口向下，对称轴为，所以随的增大而增大， 故 故选：． 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查一元二次函数的性质，属于中档题． 二．多选题（共3小题） 9．已知，，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由可判断；由可判断；由可判断；由可判断． 【解答】解：因为，，， 所以，故正确； ，故正确； ，故错误； ． 故选：． 【点评】本题主要考查整式的加减，考查运算求解能力，属于基础题． 10．若集合，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】对各个选项进行举例说明即可得到答案． 【解答】解：对于，即，所以正确； 对于，即，所以正确； 对于：不存在，使得，所以错误； 对于，即，所以正确； 故选：． 【点评】本小题主要考查元素与集合关系的判断，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题． 11．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有　　 A． B． C．的解集为 D．的解集为或 【分析】由已知结合二次不等式与二次方程及二次函数的关系检验各选项即可判断． 【解答】解：因为不等式的解集为， 所以，，是方程的根， 因为， 所以，， 所以，，正确，正确， 由得， 又，， 所以，是方程的根，且， 故的解集为． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程关系的相互转化，属于中档题． 三．填空题（共3小题） 12．已知不等式的解是，或，求不等式的解集　或　 【分析】根据不等式的解集求出、和的关系，再把不等式化为关于的一元二次不等式，求出解集即可． 【解答】解：不等式的解是，或， 即方程的解是2和3，且； 由根与系数的关系知，， 解得，； 所以不等式可化为， 即， 解得或； 所以所求不等式的解集为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题，也考查了根与系数的关系应用问题，是基础题． 13．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且，则的值是 　4　． 【分析】根据根与系数的关系结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元二次不等式，解之即可得出的取值范围，从而可确定的值． 【解答】解：的两个实数根分别是、，，， ， ， 2， ， 或1， △， ， ， ， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△”是解题的关键． 14．如图，四边形为矩形，点在第二象限，点关于的对称点为点，点，都在函数的图像上，轴于点．若的延长线交轴于点，当矩形的面积为时，的值为 　　；点的坐标为 　　． 【分析】连接，作轴，设点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出，的等式，将其分解因式，从而得出，的关系，进而在直角三角形中，由勾股定理列出方程，进而求得，的坐标，进一步求得结果． 【解答】解：如图， 作作轴于，连接，设和交于， 设点，， 由对称性，可得，，， ，，， ，， ，，， ，， ，， ， ，（舍去），， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ，，，， 直线的方程为， 直线的方程为， 当时，， ，， ，， ， ． 故答案为：，，． 【点评】本题考查了矩形性质，轴对称的性质，反比例函数的性质，勾股定理，属中档题． 四．解答题（共5小题） 15．已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值． 【分析】（1）利用判别式大于等于零得到关于的不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围； （2）由题意结合韦达定理得到关于的方程，解方程即可求得实数的值． 【解答】解：（1）由题意可得△， 解得， 即的取值范围为，． （2），为该方程的两个实数根， ，， ， ， ，解得． ， 符合题意． 【点评】本题主要考查一元二次方程的根与判别式的关系，韦达定理及其应用等知识，属于基础题． 16．如图，在同一坐标系中，直线交轴于点，直线过点． （1）求的值； （2）点、分别在直线，上，且关于原点对称，说明：点关于原点对称的点的坐标为，求点、的坐标和的面积． 【分析】（1）根据已知条件，求出，将代入直线，即可求解． （2）由得，，再结合点对称的性质，即可求解． 【解答】解：（1）直线交轴于点， ， 又直线过点， ，． （2）由得，， 设，，又在上， ，解得，则， ． 【点评】本题主要考查两条直线的交点坐标，属于基础题． 17．问题：如图①，在中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，试写出，，之间满足的等量关系式； 探索：如图②，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论； 应用：如图③，在四边形中，．若，，求的长． 【分析】①直接利用三角形的旋转和三角形的全等关系整理出线段的等量关系， ②直接利用三角形的旋转和三角形的全等关系整理出线段的等量关系， ③直接利用三角形的旋转和三角形的全等关系整理出线段的等量关系和勾股定理的应用求出结果． 【解答】解：（1）．理由如下：， ． 即 在和中，， ， ， ． （2）理由如下： 连接，由（1）得：， ， ， ， 在中，，又， ， （3）作，使，连接，， 即， 在和中，， ， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题考查的知识要点：三角形的全等，线段的等量关系，三角形的旋转，勾股定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 18．平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴的正半轴交于点，点的坐标为，，抛物线的顶点为． （1）求此抛物线的解析式； （2）若此抛物线的对称轴上的点满足，求点的坐标； （3）为线段上一点，点关于的平分线的对称点为，若，求点的坐标和此时的面积． 【分析】（1）由抛物线所过的点、对称轴得到与轴的交点坐标，写出二次函数的两根式，结合点坐标求出参数，由此能求出此抛物线的解析式； （2）作的外接圆，利用对称性、圆周角相等确定要求的点位置，结合已知条件能求出点的坐标； （3）由题设的解析式为，找到关于的平分线的对称点，使，，在一条直线上，则，结合已知条件能求出点坐标，再由能求出的面积． 【解答】解：（1）， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴交于，，且为， 点坐标为，，得该抛物线的解析式为， ，抛物线与轴的正半轴交于点， ，点的坐标为， 将代入，解得， 此抛物线的解析式为． （2）作的外接圆，设抛物线的对称轴与轴的交点为点， 设圆与抛物线的对称轴位于轴上方的部分的交点为点， 点关于轴的对称点为，则，均为所求点， 圆心必在边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上， ，都是弧所对的圆周角， ，且射线上的其它点都不满足， 由（1）知，，， 则圆心也在边的垂直平分线即直线上， ，由勾股定理得， ， ，由对称性得， 符合题意的坐标分别为，， （3）点，的坐标分别为，， 直线的解析式为，直线与轴所夹的锐角为， 点关于的平分线的对称点为， 若与的平分线的交点为， 则，，，，，三点都在一条直线上， ， ， 作轴于点， 点在线段上，，，三点在一条直线上， ，， 点的坐标为， 点在线段上，设，其中， ，由两点间距离公式得： ，解得， 经检验，在的范围内，则， 此时，的面积为： ’ ． 【点评】本题考查二次函数的性质、抛物线的对称轴、勾股定理、两点间距离公式、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．如图，内接于，为的直径，与相交于点，的延长线与过点的直线相交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）已知，且与，分别相交于点，，若，，，求的值． 【分析】（1）欲证明是的切线，只需证明． （2）由，得，根据条件即可求出，再由，得，根据条件即可求出，，，，再通过计算发现，进而可以证明，求出即可得出答案． 【解答】解：（1）证明：连接，如图所示： 是直径， ，即， ，， ， ， 是的切线． （2）， ， ， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ，即， ， ，， ， ， ， ，即， ． 【点评】本题考查切线的判定、圆的有关知识、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是巧妙利用相似三角形的性质解决问题，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$