八年级数学开学摸底考（测试范围：七下全部+八上（数的开方、整式的乘除）） 【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

华东师大版数学八年级上开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．某公园内有一长方形花坛，想在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，现有如图所示甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），则关于两种设计方案中的小路，以下说法正确的是（    ） A．面积相等，周长不相等 B．面积不相等，周长相等 C．面积和周长都相等 D．面积和周长都不相等 2．将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 4．已知是关于、的二元一次方程组，求是（   ） A． B． C． D． 5．如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（    ） A．2.7 B． C． D． 6．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（    ） A． B．3 C．2 D． 7．若是的平方根，是的算术平方根，则（    ） A． B．17 C．或17 D．或7 8．将因式分解后得，那么n等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．若代数式的值与无关，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 10．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：；则8、16、24这三个数都是奇特数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为203，则阴影部分的面积（    ）    A．19208 B．20000 C．20706 D．20808 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若，则，依据是 ． 12．若，为实数，且，则的值为 ． 13．已知，，则M，N的大小关系是M N（填“>”、“<”或“=”）． 14．我们知道：若（且），则．设，，．现给出，，三者之间的三个关系式：①；②；③．其中正确的是 ．（只填写序号） 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是 ． 16．关于x的不等式组， ①若不等式组的解集为，则，； ②若，则不等式组的解集为； ③若不等式组无解，则； ④若不等式只有5个负整数解，则． 其中说法正确的是 ． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分，求的平方根． 18．若三角形的三条边分别是，且满足，判断三角形的形状并说明理由． 19．某服装店购进某品牌的，两款衣服，经市场调查，购进1件款和1件B款需花费180元，购进3件款和2件款需花费440元． (1)求款衣服和款衣服的单价； (2)该商店1件款衣服可盈利20元，一件款衣服可盈利30元，该商店计划用不超过4300元的资金购进这两款衣服共50件，应如何进货才能使这批衣服售完后获利最多？ 20．定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 21．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从 （1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 求的值； ②简便计算：． 22．问题背景：在小学我们了解到三角形内角和等于（内角和定理），学完平行线相关知识后我们可以对内角和定理进行证明． （1）如图1，过的顶点作直线，求证：（即三角形内角和为）． 尝试应用：请利用内角和定理的结论解答下列问题（仅限于本题） （2）已知内部两条射线、交于点， ①如图2：若，则______度（直接写出答案即可） ②如图3：若，、分别平分、，求的度数 拓展创新： （3）如图4：在四边形中，、的角平分线交于点E，求，和之间的数量关系． 23．阅读以下材料，并解答问题． 阅读一：画与三角形面积相等的长方形． (1)如图1，已知，①画边上的高；②取线段的中点E；③以为边画长方形，使得那么长方形的面积等于的面积． 根据“阅读一”，如果，那么长方形的面积=______． 阅读二：画与长方形面积相等的正方形． 如图2，已知长方形，①延长，截取； ②以的中点O为圆心，为半径作半圆； ③过点F画 的垂线，交半圆于点I；④以为边画正方形那么正方形的面积等于长方形的面积． (2)根据“阅读二”，设，如果等面积的正方形边长为5，请猜想a、b的数量关系并加以说明； (3)根据“阅读一”由画出它的等面积长方形，在长方形的基础上，再根据“阅读二”画出等面积正方形FIJK，设，当H为的中点时，m、n的数量关系为：______． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华东师大版数学八年级上开学摸底考 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．某公园内有一长方形花坛，想在花坛内修筑同样宽的两条小路（阴影部分）供游客赏花，现有如图所示甲、乙两种设计方案（两种方案中小路宽度一样），则关于两种设计方案中的小路，以下说法正确的是（    ） A．面积相等，周长不相等 B．面积不相等，周长相等 C．面积和周长都相等 D．面积和周长都不相等 【答案】C 【分析】 本题考查了生活中的平移，利用平移把不规则的图形变为规则图形是解题的关键，将甲不规则的图形变为规则图形即可求解． 【详解】解：将甲中部分小路平移，如图： 则甲乙种设计方案中的小路面积和周长都相等， 故选：C． 2．将周长是的三角形三条边展开，展开图正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，由三角形的任意两边之和大于第三边可得答案． 【详解】解：由，故A不符合题意； 由，故B不符合题意； 由，故C不符合题意； 由，故D符合题意； 故选D 3．如图所示，直线，，，，那么下列代数式值为的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，根据平角的定义和三角形的外角性质可得，推得，即可求解． 【详解】解：如图：    ∵， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 4．已知是关于、的二元一次方程组，求是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握应用加减消元法解二元一次方程组．把已知条件中两个方程相加，求出，再把的值代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 得，， ， ． 故选：． 5．如图，若数轴上点表示的数为无理数，则该无理数可能是（    ） A．2.7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数与数轴，估算出，，结合数轴即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：解：∵2.7是有理数，，，， 由图可知，点表示的数为无理数，且点表示的数在和之间， ∴点表示的无理数为， 故选：D． 6．对任意两个实数a，b定义两种运算：，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如，，，那么等于（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题关键，根据新定义计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ 故 故选：C 7．若是的平方根，是的算术平方根，则（    ） A． B．17 C．或17 D．或7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数；注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．根据平方根、算术平方根的定义求出m、n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：∵是的平方根，是的算术平方根， ∴，， 当，时，； 当，时，； 综上，的值为或17， 故选：C． 8．将因式分解后得，那么n等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，多项式乘法，先通过平分差公式将因式分解后的结果进行变形，再根据等式的性质即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵将因式分解后得， ∴， ∴， 故选：B． 9．若代数式的值与无关，则常数的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y的取值无关，可知关于y的项的系数为0，从而可以求得k的值． 【详解】解： ∵关于y的代数式：的值与y无关， ∴， 解得， 即当时，代数式的值与y的取值无关． 故选：A. 10．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：；则8、16、24这三个数都是奇特数．如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数…，按此规律拼叠到正方形，其边长为203，则阴影部分的面积（    ）    A．19208 B．20000 C．20706 D．20808 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探索、平方差公式的应用，利用图形正确表示出阴影部分是解题关键．表示出阴影部分面积，再运用平方差进行运算，求得答案即可． 【详解】解：阴影部分的面积 ， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．若，则，依据是 ． 【答案】等式的性质（或等式的性质2） 【分析】本题考查的是等式的性质，利用等式的两边都除以同一个不为0的数，所得的结果仍为等式解答即可． 【详解】解：∵， 两边都除以：，， ∴， 故答案为：等式的性质2 12．若，为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，熟知以上知识点是解题的关键．根据绝对值与算术平方根的非负性解出、即可求解． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 13．已知，，则M，N的大小关系是M N（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】利用求差法比较大小即可．本题考查整式的加减，配方法的应用，非负数的性质：偶次方等知识，解题的关键是学会利用求差法比较大小． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ∴． 故答案为：> 14．我们知道：若（且），则．设，，．现给出，，三者之间的三个关系式：①；②；③．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查同底数幂的乘除法及二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘除法公式，本题属于中等题型．根据同底数幂的乘除法公式即可求出、、的关系． 【详解】解：，， ， ， ． ． ． ， ， 故①正确； ，，． ，， ， ， 故②正确； 由①②联立方程组得： ，解得， ． 故③正确； 故正确的是：①②③． 故答案为：①②③． 15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是 ． 【答案】7 【分析】此题考查了完全平方公式与几何图形，根据几何图形得到，，利用完全平方公式变形求出，再求出即可得到答案，熟练掌握完全平方公式与几何图形的关系是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值舍去） 故答案为：7． 16．关于x的不等式组， ①若不等式组的解集为，则，； ②若，则不等式组的解集为； ③若不等式组无解，则； ④若不等式只有5个负整数解，则． 其中说法正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】先求解各不等式组，再根据所给条件求解即可． 【详解】解：， 解（1）得， 解（2）得， 若不等式组的解集为，则，，解得，，故①正确； 若，则，不等式组的解集为，故②正确； ③若不等式组无解，则即，故③正确； ④若不等式只有5个负整数解，则，即，故③正确； 故答案为①②③④ 【点睛】此题主要考查了不等式组的解法与不等式的整数解，注意不等式解集的取法：①大大取大，②小小取小③大小小大取中④大大小小取不着. 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．已知的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的性质、无理数的估算等知识点，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题的关键． 根据的立方根是，可得a的值，由的算术平方根是3，可得b的值，再由是的整数部分可估算出c的值，最后再代入计算即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴，解得：， ∵的算术平方根是3， ∴，即，解得：， ∵是的整数部分， ∴ ， ∴． ∴的平方根是． 18．若三角形的三条边分别是，且满足，判断三角形的形状并说明理由． 【答案】为等边三角形，理由见详解 【分析】将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式及其非负数的性质，可以求得、、的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：为等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， 故为等边三角形． 【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答． 19．某服装店购进某品牌的，两款衣服，经市场调查，购进1件款和1件B款需花费180元，购进3件款和2件款需花费440元． (1)求款衣服和款衣服的单价； (2)该商店1件款衣服可盈利20元，一件款衣服可盈利30元，该商店计划用不超过4300元的资金购进这两款衣服共50件，应如何进货才能使这批衣服售完后获利最多？ 【答案】(1)款衣服单价为80元，款衣服的单价为100元 (2)购A款衣服35件，则购B款衣服15件获利最多 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出不等式和方程组是解答本题的关键． （1）设款衣服单价为x元，款衣服的单价为y元，根据等量关系列方程跟组求解即可； （2）设购A款衣服m件，则购B款衣服件，根据计划用不超过4300元的资金购进这两款衣服共50件列不等式求出m的取值范围，然后利用不等式的性质变形即可求解． 【详解】（1）设款衣服单价为x元，款衣服的单价为y元，由题意，得 ， 解得， 所以款衣服单价为80元，款衣服的单价为100元； （2）设购A款衣服m件，则购B款衣服件，由题意得 ， 解得， 共获利：元， ∵， ∴， ∴， ∴购A款衣服35件，则购B款衣服15件获利最多． 20．定义一种新运算“”：当时，；当时，． (1)计算：__________；___________． (2)解方程组：． (3)当整数，满足和时，有序数对恰好有对，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)满足题意的不存在 【分析】本题考查了新定义运算，二元一次方程组，一元一次不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据新定义运算将式子化为加减运算，从而计算即可． （2）分和两种情况，再根据新定义运算将式子化为普通的二元一次方程，从而解方程组，判断所得结果是否分别满足和两种情况即可，即可求解． （3）分和两种情况，再根据新定义运算和可分别得到二元一次方程不等式组，解得的结果分情况判断其整数对的个数即可． 【详解】（1）解：∵，当时，， ∴， ∵，当时，， ∴， 故答案为，． （2）①当时，原方程组化为：， 解得：满足，符合题意．             ②当时，原方程组化为：， 解得：，不满足时，舍去． 综上所述：原方程组的解为． （3）①当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：有无数整数解，不符合题意．     ②当时，由可得：， 又由知：， ， 解得：，                                整数对有对， 有个整数值，为，，， ，解得，                 ，都是整数，且， 也是整数， ．                                      故当时，符合题意； 但当时，若，则由①可知：， 得，且，整数对 有无数对，故不符合题意． 综上所述：满足题意的不存在． 21．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个） A．    B．    C． (2)应用你从 （1）选出的等式，完成下列各题： ①已知 求的值； ②简便计算：． 【答案】(1)B (2)①3 ② 【分析】（1）根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为；重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形，根据面积不变性质，建立等式解答即可． （2）①根据，结合已知 求的值即可． ②根据题意，得，解答即可． 本题考查了平方差公式的几何意义，及其应用，正确理解意义，灵活应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得剪去小正方形后余下图形的面积为； 重新拼图后得到一个长为，宽为得长方形， 根据面积不变性质，建立等式得． 故选B． （2）①根据，且 故． ②根据题意，得． 22．问题背景：在小学我们了解到三角形内角和等于（内角和定理），学完平行线相关知识后我们可以对内角和定理进行证明． （1）如图1，过的顶点作直线，求证：（即三角形内角和为）． 尝试应用：请利用内角和定理的结论解答下列问题（仅限于本题） （2）已知内部两条射线、交于点， ①如图2：若，则______度（直接写出答案即可） ②如图3：若，、分别平分、，求的度数 拓展创新： （3）如图4：在四边形中，、的角平分线交于点E，求，和之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，，结合平角是即可证明； （2）①根据三角形内角和是计算即可；②根据三角形内角和是可得，根据角平分线的定义可得，，求得，根据三角形内角和是计算即可； （3）连接，根据角平分线的定义可得，，根据三角形内角和是即可推得． 【详解】（1）证明：∵，∴，， ∵， ∴． （2）解：①∵，， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 则． （3）连接，如图： ∵、的角平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， 即， 整理得：， 则， 即， 整理得：． 23．阅读以下材料，并解答问题． 阅读一：画与三角形面积相等的长方形． (1)如图1，已知，①画边上的高；②取线段的中点E；③以为边画长方形，使得那么长方形的面积等于的面积． 根据“阅读一”，如果，那么长方形的面积=______． 阅读二：画与长方形面积相等的正方形． 如图2，已知长方形，①延长，截取； ②以的中点O为圆心，为半径作半圆； ③过点F画 的垂线，交半圆于点I；④以为边画正方形那么正方形的面积等于长方形的面积． (2)根据“阅读二”，设，如果等面积的正方形边长为5，请猜想a、b的数量关系并加以说明； (3)根据“阅读一”由画出它的等面积长方形，在长方形的基础上，再根据“阅读二”画出等面积正方形FIJK，设，当H为的中点时，m、n的数量关系为：______． 【答案】(1)16 (2)；证明见解析 (3) 【分析】（1）由长方形的面积等于的面积可得答案； （2）根据，得，，而等面积的正方形边长为5，有，故； （3）求出，由H为的中点，得，而，即得，从而． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵长方形的面积等于的面积， ∴， 故答案为：16； （2）解：； 证明：∵， ∴，， ∵等面积的正方形边长为5， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵长方形的面积等于的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，涉及三角形，长方形，正方形的面积，解题的关键是读懂题意，利用等面积列出所需等式． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$