专题07 倾斜角与斜率5种常考题型归类（54题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题07 倾斜角与斜率5种常考题型归类（54题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求直线的倾斜角 题型二 求直线的斜率 （一）由定义求斜率 （二）由斜率公式求斜率 （三）由方向向量求斜率 （四）几何图形中的斜率问题 题型三 斜率与倾斜角的关系 （一）由倾斜角求斜率值（范围） （二）由斜率求倾斜角的值（范围） 题型四 斜率公式的应用 （一）利用斜率求参数 （二）利用直线斜率处理共线问题 （三）斜率公式的几何意义的应用 题型五 直线与线段的相交关系求斜率的范围 知识点1：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点2：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 知识点3：斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 知识点4：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 解题策略 1.在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 2．对直线倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件 ①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴绕直线与x轴交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角． (3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 3.求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 4．运用斜率公式时应该注意的问题 (1)斜率公式与P1，P2点的先后顺序无关．公式中x1与x2，y1与y2可以同时交换，即可以写成k＝. (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． 5.直线的倾斜角与斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析． 注：（1）由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． （2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 6.斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论． 7．斜率公式解决三点共线问题 利用斜率证明三点A，B，C共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，而直线AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． 斜率反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的直线斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 8．斜率公式解决范围问题 (1)由倾斜角的大小(或范围)求斜率的值(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用斜率公式求解． 题型一 求直线的倾斜角 1．（2024··江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2024··高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（2024··上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5.（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．    7．（2024·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 8.（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 9．【多选】（2024··高二课时练习）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·高二课时练习）直线与直线的夹角为______． 题型二 求直线的斜率 （1） 由定义求斜率 11.（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 12．（2024··湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 13.（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 14.（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． （2） 由斜率公式求斜率 15．（2024·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)； (2)； (3)． 16.（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角． (1)； (2)； (3)； (4)． 17.（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（    ）（结果保留两位有效数字） A． B． C． D． （3） 由方向向量求斜率 18．（2024··天津南开·高二崇化中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． （4） 几何图形中的斜率问题 19．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 20．（2024··江西·高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________. 21．【多选】（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 题型三 斜率与倾斜角的关系 （一）由倾斜角求斜率值（范围） 22．【多选】（2024··湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 23．（2024·江苏·高二假期作业）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________． 24．（2024·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________． 25.（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 26．（2024·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________． 27．（2024··安徽六安·高二校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （二）由斜率求倾斜角的值（范围） 28．（2024··上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________． 29.（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．（2024··高二课时练习）若直线的斜率的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是________. 31．（2024·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角满足，则的取值范围是__________ 32．（2024··高二课时练习）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________． 33.（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 34．（2024··安徽六安·高二校考阶段练习）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C．或 D．或 题型四 斜率公式的应用 （1） 利用斜率求参数 35.（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点，的直线的斜率为1，那么的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 （二）利用直线斜率处理共线问题 36．（2024··河南·高二校联考阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上： (1)； (2). 37．（2024··高二课时练习）已知三点共线，则的值为________. 38.（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点，，在同一条直线上，则值为（    ） A．2 B． C．或 D．2或 39．（2024··高二课时练习）已知直线l经过三点，则直线l的斜率k＝__________，y＝__________． 40．（2024··上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. （三）斜率公式的几何意义的应用 41．（2024··高二课时练习）已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是________. 42．（2024·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______ 43．【多选】（2024·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 44．（2024··广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 45.（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 直线与线段的相交关系求斜率的范围 46.（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 47.（2023·全国·高三专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________． 48．（2024··江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 49．（2024··安徽滁州·高二校考期中）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（2024··安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______． 51．（2024··江苏连云港·高二校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 52.（2023·江苏·高二假期作业）已知． (1)求直线和的斜率； (2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围． 53．（2024··广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 54．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题07 倾斜角与斜率5种常考题型归类（54题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求直线的倾斜角 题型二 求直线的斜率 （一）由定义求斜率 （二）由斜率公式求斜率 （三）由方向向量求斜率 （四）几何图形中的斜率问题 题型三 斜率与倾斜角的关系 （一）由倾斜角求斜率值（范围） （二）由斜率求倾斜角的值（范围） 题型四 斜率公式的应用 （一）利用斜率求参数 （二）利用直线斜率处理共线问题 （三）斜率公式的几何意义的应用 题型五 直线与线段的相交关系求斜率的范围 知识点1：直线倾斜角的定义 以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. （1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：； 特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为. （2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度. 知识点2：直线的斜率 我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 （1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同； （2）倾斜角时，直线的斜率不存在。 知识点3：斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 知识点4：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 解题策略 1.在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记. 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 － －1 － 2．对直线倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件 ①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角． (2)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直线的倾斜角是由x轴绕直线与x轴交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角． (3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度． (4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 3.求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 4．运用斜率公式时应该注意的问题 (1)斜率公式与P1，P2点的先后顺序无关．公式中x1与x2，y1与y2可以同时交换，即可以写成k＝. (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． 5.直线的倾斜角与斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)解答这类问题要抓住：①倾斜角的定义，注意旋转方向；②倾斜角的取值范围0°≤α<180°；③充分结合图形进行分析． 注：（1）由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． （2）由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． 6.斜率公式 (1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说，如果分子是y2－y1，分母必须是x2－x1；反过来，如果分子是y1－y2，分母必须是x1－x2，即k＝＝. (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论． 7．斜率公式解决三点共线问题 利用斜率证明三点A，B，C共线时，①若过任意两点的直线的斜率都不存在，则三点共线；②若过任意两点的直线的斜率都存在，且kAB＝kAC，则直线AB与直线AC的倾斜角相等，而直线AB，AC又都过点A，所以直线AB，AC重合，从而说明A，B，C三点共线． 斜率反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任何不同的两点所确定的直线斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因． 8．斜率公式解决范围问题 (1)由倾斜角的大小(或范围)求斜率的值(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用斜率公式求解． 题型一 求直线的倾斜角 1．（2024··江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线倾斜角的定义得解. 【详解】直线的倾斜角α的取值范围是． 故选：B． 2．（2024··高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误. 【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确； 对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误； 对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误； 其中正确说法的个数为2. 故选：B. 3.（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为，， 则，. 故选：D. 4．（2024··上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 5.（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则 ， 所以 ， 故选：D 6．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．    【答案】 【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为， 所以，，故． 故答案为：. 7．（2024·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果. 【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°． 故选：D 8.（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线倾斜角的取值范围是， 又直线经过第二、四象限， ∴直线的倾斜角的取值范围是， 故选：D. 9．【多选】（2024··高二课时练习）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可. 【详解】解析：当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）； 当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）. 故选：BC. 10．（2024·高二课时练习）直线与直线的夹角为______． 【答案】 【分析】分析两条直线的倾斜角，即可得夹角大小. 【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 所以两条直线的夹角为. 故答案为：. 题型二 求直线的斜率 （1） 由定义求斜率 11.（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等； C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角． 【答案】D 【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误； 对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误； 对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误； 对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确. 故选：. 12．（2024··湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角是， 所以此直线的斜率是. 故选:C. 13.（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：直线的斜率. 故选：A. 14.（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】k=tan120°=. 故选：B． （2） 由斜率公式求斜率 15．（2024·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)存在，1 (2)存在， (3)不存在 【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值. 【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率． （2）由题意得，存在，直线CD的斜率． （3）∵， ∴直线的斜率不存在． 16.（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为； (2)存在，斜率为，倾斜角为； (3)存在，斜率为，倾斜角为； (4)不存在. 【详解】（1）解：因为， 所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为 （2）解：因为， 所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. （3）解：因为， 所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为， 设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. （4）解：因为， 所以经过的直线斜率不存在， 17.（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（    ）（结果保留两位有效数字） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 显然，，因此点， 直线的斜率为，由对称性得直线的斜率为， 所以最长拉索所在直线的斜率约为. 故选：C （3） 由方向向量求斜率 18．（2024··天津南开·高二崇化中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的方向向量与斜率的关系，即可求出答案. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率． 故选：D． （4） 几何图形中的斜率问题 19．（2024·全国·高二专题练习）如图，已知直线的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解. 【详解】解：设直线的倾斜角分别为， 由题图知，直线的倾斜角为钝角，. 又直线的倾斜角均为锐角，且， ， . 故选：D. 20．（2024··江西·高二校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________. 【答案】 / 【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求． 【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为，则， 由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为，， 因为，， 所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为，． 故答案为：，． 21．【多选】（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算. 【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点， 设直线的倾斜角为，斜率为， ①若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ②若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； ③若所在的直线过点，如图，可得， 因为，即，则； 综上所述：的可能值为. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题. 题型三 斜率与倾斜角的关系 （一）由倾斜角求斜率值（范围） 22．【多选】（2024··湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】ABC 【分析】根据斜率公式求解. 【详解】由题可得， 所以， 结合选项可得实数的可能取值有11,12,13， 故选:ABC. 23．（2024·江苏·高二假期作业）过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________． 【答案】 【分析】由题意得，可求出的取值. 【详解】由题意知， 所以，即， 化简得，解得或 当时，重合，不符合题意舍去， 当时，，符合题意， 所以， 故答案为： 24．（2024·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于________． 【答案】－3 【分析】利用直线斜率与倾斜角关系和斜率公式可得答案. 【详解】因为斜率k＝tan 135°＝－1，所以，得y＝－3． 故答案为：. 25.（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】经过两点，的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为135°，∴，解得． 故选：D 26．（2024·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________． 【答案】， 【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围． 【详解】因为直线的倾斜角是钝角， 所以斜率，解得． 所以的取值范围是，． 故答案为：，． 27．（2024··安徽六安·高二校考阶段练习）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故选：C （二）由斜率求倾斜角的值（范围） 28．（2024··上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________． 【答案】/ 【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可. 【详解】因为过两点的直线的斜率为：， 因为，是直线的倾斜角，且 所以直线的倾斜角为：． 故答案为：. 29.（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由直线的斜率可得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 30．（2024··高二课时练习）若直线的斜率的取值范围是，则该直线的倾斜角的取值范围是________. 【答案】 【分析】由，结合．即可得出的取值范围． 【详解】因为， 所以， 因为 所以 故答案为： 31．（2024·全国·高三专题练习）若直线的倾斜角满足，则的取值范围是__________ 【答案】 【分析】根据直线倾斜角的范围解不等式即可. 【详解】直线的倾斜角， ， . 故答案为： 32．（2024··高二课时练习）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________． 【答案】 【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可. 【详解】如图：    当直线l的斜率， 直线l的倾斜角的取值范围为：. 故答案为：. 33.（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线的倾斜角为， 则有，， 作出()的图象，如图所示： 由此可得. 故选：A. 34．（2024··安徽六安·高二校考阶段练习）将直线绕原点旋转得到直线，若直线的斜率为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】将绕原点逆时针或顺时针旋转得到直线，求得其倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角是， 若将绕原点逆时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 若将绕原点顺时针旋转得到直线，则直线的倾斜角是， 故选：D 题型四 斜率公式的应用 （1） 利用斜率求参数 35.（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点，的直线的斜率为1，那么的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】解：因为直线过点P(2，m)，Q(m，4)，且斜率为1， 所以 ，解得， 故选：D （二）利用直线斜率处理共线问题 36．（2024··河南·高二校联考阶段练习）判断下列三点是否在同一条直线上： (1)； (2). 【答案】(1)A，B，C三点不在同一条直线上 (2)D，E，F三点在同一条直线上 【分析】（1）计算和，根据其是否相等即可判断； （2）计算和，根据其是否相等即可判断. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以A，B，C三点不在同一条直线上. （2）因为，， 所以. 又直线DE与直线DF有公共点D， 所以D，E，F三点在同一条直线上. 37．（2024··高二课时练习）已知三点共线，则的值为________. 【答案】 【分析】由条件可得，结合两点斜率公式列方程求的值. 【详解】因为三点共线， 所以， 所以， 解得. 故答案为：. 38.（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点，，在同一条直线上，则值为（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】D 【详解】由题意可得， 因为A，B，C三点共线， 所以，即， 解得或． 所以的值为2或． 故选：D． 39．（2024··高二课时练习）已知直线l经过三点，则直线l的斜率k＝__________，y＝__________． 【答案】 -2 -1 【分析】根据两点斜率公式求出直线l的斜率，并根据列出方程，求出答案. 【详解】由题意得， 由可得，解得. 故答案为：-2，-1 40．（2024··上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 （三）斜率公式的几何意义的应用 41．（2024··高二课时练习）已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是________. 【答案】3 【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，数形结合可得答案． 【详解】   如图，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意， ，， 故，即线的斜率的最大值是3. 故答案为：3. 42．（2024·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______ 【答案】 【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案. 【详解】 如图，，，， 则，. 因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率， 由图象可知，， 所以有. 故答案为：. 43．【多选】（2024·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC 44．（2024··广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果. 【详解】设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A. 45.（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点在函数的图象上， 所以时， ；当时，； 故设 而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率， 故时，, 而 ,所以 故选：B. 题型五 直线与线段的相交关系求斜率的范围 46.（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示：    若直线与线段相交， 则或 ， 因为，， 所以直线的斜率取值范围是. 故选：A. 47.（2023·全国·高三专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________． 【答案】 【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为， 且，， 当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角， 此时，； 当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角， 此时，. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 48．（2024··江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解. 【详解】如图所示， ， 因为为的边上一动点， 所以直线斜率的变化范围是. 故选：D. 49．（2024··安徽滁州·高二校考期中）已知点，，，若点是线段上的一点，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图像结合直线的斜率范围求解即可. 【详解】由斜率公式可得，得， 由图像可知， 当介于之间时，直线斜率的取值范围为， 当介于之间时，直线斜率的取值范围为 ， 所以直线的斜率的取值范围为， 故选：D． 50．（2024··安徽芜湖·高二安徽省无为襄安中学校考阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答. 【详解】如图，直线与线段总有公共点，即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可， 直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或， 而，因此或， 所以直线的斜率的取值范围是或. 故答案为：或 51．（2024··江苏连云港·高二校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围． 【详解】直线过定点，且， 由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足， 解得， 故选：B． 52.（2023·江苏·高二假期作业）已知． (1)求直线和的斜率； (2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为 (2) 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. （2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是．    53．（2024··广东佛山·高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）已知坐标平面内三点A(-1，1)，B(1，1)，． (1)求直线BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为的边AB上一动点，求直线CD的斜率和倾斜角α的取值范围． 【答案】(1)直线BC的斜率，倾斜角为；直线AC的斜率，倾斜角为 (2) 【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可； （2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可． 【详解】（1）由斜率公式得：， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， ∴直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为； （2）如图，当直线CD由CA逆时针旋转到CB时， 直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由增大到， ∴k的取值范围为，倾斜角α的取值范围为． 54．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案； （2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】（1）因为，， 所以 因为直线与线段有公共点， 所以由图可知直线的斜率满足或， 所以直线的斜率的取值范围是．    （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间， 因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是， 所以的取值范围是． $$