（易错讲义）第一单元 圆-2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本（北师大版）

小马虎错题本 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、单元讲义。常考易错点归纳，边学边练。 2、单元综合。单元整体综合，融会贯通。 3、专项训练。题型专项和知识点专项，吃透考点。 4、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本 第一单元圆 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 十一大易错小知识点 3 九大常考易错点 3 易错点1 3 易错点2 4 易错点3 4 易错点4 4 易错点5 4 易错点6 5 易错点7 5 易错点8 5 易错点9 5 十三大易错突破点 6 突破点一圆的概念和特点 6 突破点二圆的对称性 7 突破点三圆的周长 7 突破点四半圆的周长 8 突破点五圆的周长在生活中的应用 9 突破点六圆周率问题 10 突破点七圆的面积 10 突破点八圆的面积在生活中的应用 11 突破点九喷泉洒水问题 12 突破点十圆环的面积 12 突破点十一含圆的阴影部分的周长 14 突破点十二含圆的阴影部分的面积 15 突破点十三尺规作图画圆 16 易错知识点 十一大易错小知识点 1、直径必须过圆心。 2、圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。半圆只有1条对称轴。 3、在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。 4、圆周率是任意一个圆的周长除以它的直径的商，这个比值是一个固定的数，与圆的大小无关。 5、圆周率是一个无限不循环小数，在实际应用中取它的近似值。 6、半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径。 7、计算时如果单位不统一，一定要先统一单位，然后再计算。 8、在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。 9、圆环必须是由两个同心圆形成的。 10、求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。 11、在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。 易错点剖析 九大常考易错点 易错点1：误认为直径都是半径的2倍,忽略了“同圆或等圆”这一条件。 判断：所有圆的半径都相等,直径也都相等,直径是半径的2倍。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在没有考虑到“直径是半径的2倍”只有在同圆或等圆中才成立,只有这样,所有的半径才相等,所有的直径才相等,直径才是半径的2倍。 【正确解答】错误。 易错点2：误认为对称轴是一条线段。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在没有正确理解对称轴的含义。圆的直径是一条线段,而对称轴是一条直线。应该将上面的说法改成“圆的直径所在的直线是圆的对称轴”。 【正确解答】错误。 易错点3：混淆了半圆与圆的对称轴数量。 半圆有（ ）条对称轴。 A.2 B.1 C.无数 【错误答案】C 【错解分析】混淆了半圆与圆的对称轴数量。 【正确解答】B 易错点4：分不清半径和直径是什么线。 判断：半径是射线，直径是直线。（ ） 【错误答案】正确 【错误原因】没有理解半径和直径的概览。 【正确答案】错误 易错点5：误认为半圆的周长是圆周长的一半。 求下面图形的周长。 【错误答案】错误解答:3.14×10÷2=15.7(厘米) 【错解分析】错误解答错在把半圆周长当作了圆周长的一半了。半圆的周长是由两部分组成的:一部分是圆的周长的一半,另一部分是直径。 【正确解答】3.14×10÷2＋10=25.7(厘米) 易错点6：错误理解圆的周长、计算失误。 大圆的半径是小圆的直径，则小圆的周长是大圆周长的（ ）。 A. B.4倍 C.2倍 D. 【错误答案】BCD 【错解分析】没有理解圆的周长的意义或计算失误。大小不同的圆，周长与直径都是不同的，计算时需要细心。 【正确解答】A 易错点7：在把圆等分成若干份并拼成平行四边形时,不理解平行四边形各部分与圆的关系。 判断：把圆等分成若干份拼成一个平行四边形后,平行四边形的底与圆的周长相等。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在没有理解把圆等分成若干份拼成一个平行四边形后，平行四边形的底是圆周长的一半,而不是周长。 【正确解答】错误 易错点8：混淆周长和面积的含义。 判断：半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在把长度单位和面积单位进行了比较。半径是2厘米的圆,它的周长是12.56厘米,面积是12.56平方厘米。两者虽然数值相同,但是表示的意义截然不同,无法进行比较。 【正确解答】错误。 易错点9：错把r2理解成r×2。 一个圆形纽扣的半径是3cm，它的面积是多少平方厘米？ 【错误答案】3.14×32=3.14×6=18.84（平方厘米） 答：它的面积是18.84平方厘米。 【错解分析】错把r2理解成r×2。 【正确解答】3.14×32=3.14×6=28.26（平方厘米） 答：它的面积是28.26平方厘米。 易错题突破 十三大易错突破点 突破点一圆的概念和特点 1．在同一个圆里，直径有( )条，直径是半径的( )倍。 2．图中圆的半径是( )cm。 3．如图，小圆的半径是( )cm；大圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 突破点二圆的对称性 4．在一个边长是10厘米的正方形中画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，圆和正方形组成的图形有( )条对称轴。 5．如图所示，乐乐在一个圆中画了一个最大的正方形。这个组合图形有( )条对称轴。 6．如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( )条对称轴。 突破点三圆的周长 7．用长10厘米、宽8厘米的长方形纸板剪下一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米。 8．观察如图，这个圆的直径是( )，周长是( )。 9．用一根铁丝围成一个圆，半径正好是5dm。如果用这根铁丝围成一个正方形，正方形的边长是( )dm。 突破点四半圆的周长 10．我是小小的裁剪师！先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是( )cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是( )cm。 11．在一张长12分米，宽5分米的长方形中剪最大的半圆，半圆的周长是( )分米。 12．在星光小学校园里有一个靠墙的半圆形花圃（如图），已知它的直径是12米，这个半圆形花圃的周长是( )米，在花圃边有一个宽2米的半圆环形小路。这条小路的面积是( )平方米。（计算结果保留π） 突破点五圆的周长在生活中的应用 13．一款普通自行车车轮的直径是70厘米，前齿轮40个齿，后齿轮16个齿。车轮滚动一周能前进( )米；脚踏板蹬一圈，能前进( )米。（π取3.14） 14．教室里的分针长16厘米。下午大课间是16：00开始，16：30结束，从下午大课间开始到结束，分针走过的距离是( )厘米。 15．把一个面积为28.26平方分米的圆平均分，拼成一个近似的长方形，这个长方形的宽是( )分米，长是( )分米，周长是( )分米。 突破点六圆周率问题 16．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：( )＜＜( )，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为( )，密率为( )。 17．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间。当正多边形之间边数不断增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近。从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎( )与( )之间。 18．历史上研究圆周率的数学家有很多．请写出你知道的三位数学家：( )，( )，( )． 突破点七圆的面积 19．在宽为2厘米、长是10厘米的长方形内，最多能剪( )个半径是1厘米的圆，剩余部分的面积是( )平方厘米。 20．一个正方形的周长和一个圆的周长相等。正方形的边长是12.56米，圆的面积是( )平方米。 21．先把一个圆平均分成若干份，然后拼成一个近似的平行四边形，周长增加了6分米，这个圆的面积是( )平方分米。 突破点八圆的面积在生活中的应用 22．一个时钟的分针长度是10cm，从9∶15到10∶00，分针针尖所走过的路程是( )cm，分针扫过的面积是( )cm2。 23．如图所示（单位：厘米），一个直径为6厘米的圆圈从平面上A点的位置沿AB，BC，CD滚动到D点位置，则这个圆圈所扫过的面积是 平方厘米。（π取3.14。） 24．一根75.36分米长的丝带正好可以给两张相同的圆形卡片包边，每张圆形卡片的面积是( )平方分米。 突破点九喷泉洒水问题 25．草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是( )平方米。（得数保留整数） 26．用三张长3分米，宽2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形，( )的面积最大。 27．在一张长9厘米、宽6厘米的长方形纸上，用圆规画一个最大的圆。圆规两脚间的距离应该取( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 突破点十圆环的面积 28．在如图所示（，，三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在( )区域的可能性最大（填或或）。 29．有一个环形铁片，如下图所示：它的外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米。这个环形铁片的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 30．如图所示，一个旋转餐桌的直径是30m，旋转部分是个圆环形状，环宽5m。旋转部分的面积是( )m2。      突破点十一含圆的阴影部分的周长 31．如图所示，正方形的边长是4厘米，图中阴影部分的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。（取3.14） 32．如下图，图中长方形与圆的面积相等，已知长方形的长是12.56cm，圆的半径是( )cm，阴影部分的周长是( )cm。 33．工人师傅在学校操场铺设了一个400m半圆式田径场，如图。测得每条跑道的宽度为1.25m，如果进行400m比赛，环形跑道上各道起跑线相差( )m。      突破点十二含圆的阴影部分的面积 34．如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分的面积是( )。 35．礼堂中一扇窗户的形状与大小如图。上面是半圆形，下面是长方形，这扇窗户的面积是( )平方米。（π取3.14） 36．如图，以一个圆的半径为边长画一个正方形，已知正方形的面积是10cm2，圆的面积是( )cm2。 突破点十三尺规作图画圆 37．用圆规画一个半径为的圆，并用O，r，d分别标出它的圆心、半径和直径。 38．请以线段为半径在下面用圆规画圆，并用字母标注出圆心、半径和直径。 39．画一个以O为圆心，直径为4cm的圆。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$小马虎错题本 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、单元讲义。常考易错点归纳，边学边练。 2、单元综合。单元整体综合，融会贯通。 3、专项训练。题型专项和知识点专项，吃透考点。 4、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本 第一单元圆 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 十一大易错小知识点 3 九大常考易错点 3 易错点1 3 易错点2 4 易错点3 4 易错点4 4 易错点5 4 易错点6 5 易错点7 5 易错点8 5 易错点9 5 十三大易错突破点 6 突破点一圆的概念和特点 6 突破点二圆的对称性 7 突破点三圆的周长 9 突破点四半圆的周长 10 突破点五圆的周长在生活中的应用 11 突破点六圆周率问题 13 突破点七圆的面积 14 突破点八圆的面积在生活中的应用 15 突破点九喷泉洒水问题 18 突破点十圆环的面积 19 突破点十一含圆的阴影部分的周长 20 突破点十二含圆的阴影部分的面积 23 突破点十三尺规作图画圆 25 易错知识点 十一大易错小知识点 1、直径必须过圆心。 2、圆有无数条对称轴，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。半圆只有1条对称轴。 3、在同一个圆内，一条直径的长度等于两条半径的长度和，但只有在同一条直线上的两条半径才能组成一条直径。 4、圆周率是任意一个圆的周长除以它的直径的商，这个比值是一个固定的数，与圆的大小无关。 5、圆周率是一个无限不循环小数，在实际应用中取它的近似值。 6、半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径。 7、计算时如果单位不统一，一定要先统一单位，然后再计算。 8、在计算圆的面积时，r2是r×r，不是r×2。 9、圆环必须是由两个同心圆形成的。 10、求圆环的面积时，要先算出的是“平方差”，不是“差的平方”。 11、在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，在长方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于长方形的宽。 易错点剖析 九大常考易错点 易错点1：误认为直径都是半径的2倍,忽略了“同圆或等圆”这一条件。 判断：所有圆的半径都相等,直径也都相等,直径是半径的2倍。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在没有考虑到“直径是半径的2倍”只有在同圆或等圆中才成立,只有这样,所有的半径才相等,所有的直径才相等,直径才是半径的2倍。 【正确解答】错误。 易错点2：误认为对称轴是一条线段。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在没有正确理解对称轴的含义。圆的直径是一条线段,而对称轴是一条直线。应该将上面的说法改成“圆的直径所在的直线是圆的对称轴”。 【正确解答】错误。 易错点3：混淆了半圆与圆的对称轴数量。 半圆有（ ）条对称轴。 A.2 B.1 C.无数 【错误答案】C 【错解分析】混淆了半圆与圆的对称轴数量。 【正确解答】B 易错点4：分不清半径和直径是什么线。 判断：半径是射线，直径是直线。（ ） 【错误答案】正确 【错误原因】没有理解半径和直径的概览。 【正确答案】错误 易错点5：误认为半圆的周长是圆周长的一半。 求下面图形的周长。 【错误答案】错误解答:3.14×10÷2=15.7(厘米) 【错解分析】错误解答错在把半圆周长当作了圆周长的一半了。半圆的周长是由两部分组成的:一部分是圆的周长的一半,另一部分是直径。 【正确解答】3.14×10÷2＋10=25.7(厘米) 易错点6：错误理解圆的周长、计算失误。 大圆的半径是小圆的直径，则小圆的周长是大圆周长的（ ）。 A. B.4倍 C.2倍 D. 【错误答案】BCD 【错解分析】没有理解圆的周长的意义或计算失误。大小不同的圆，周长与直径都是不同的，计算时需要细心。 【正确解答】A 易错点7：在把圆等分成若干份并拼成平行四边形时,不理解平行四边形各部分与圆的关系。 判断：把圆等分成若干份拼成一个平行四边形后,平行四边形的底与圆的周长相等。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在没有理解把圆等分成若干份拼成一个平行四边形后，平行四边形的底是圆周长的一半,而不是周长。 【正确解答】错误 易错点8：混淆周长和面积的含义。 判断：半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在把长度单位和面积单位进行了比较。半径是2厘米的圆,它的周长是12.56厘米,面积是12.56平方厘米。两者虽然数值相同,但是表示的意义截然不同,无法进行比较。 【正确解答】错误。 易错点9：错把r2理解成r×2。 一个圆形纽扣的半径是3cm，它的面积是多少平方厘米？ 【错误答案】3.14×32=3.14×6=18.84（平方厘米） 答：它的面积是18.84平方厘米。 【错解分析】错把r2理解成r×2。 【正确解答】3.14×32=3.14×6=28.26（平方厘米） 答：它的面积是28.26平方厘米。 易错题突破 十三大易错突破点 突破点一圆的概念和特点 1．在同一个圆里，直径有( )条，直径是半径的( )倍。 【分析】依据圆的特征：在同一个圆里，可以有无数条半径，无数条直径，所有半径都相等，所有直径都相等；直径是半径的2倍。据此解答。 【解答】根据圆的特征可知：在同一个圆里，直径有无数条，直径是半径的2倍。 【点评】解答本题的关键是明确在同一个圆里圆的特征。 2．图中圆的半径是( )cm。 【分析】观察图形可知，圆的直径相当于长方形的宽，再根据半径＝直径÷2，据此填空即可。 【解答】3÷2＝1.5cm 【点评】本题考查圆的特征，明确半径＝直径÷2是解题的关键。 3．如图，小圆的半径是( )cm；大圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 【分析】由图可知：大圆半径是8cm；大圆半径等于小圆直径，根据同圆或等圆中直径＝半径÷2求出小圆半径及大圆直径；据此解答。 【解答】由图可知：小圆的半径是8÷2＝4cm；大圆的半径是8cm，直径是8×2＝16cm 【点评】本题主要考查圆的直径和半径的关系，熟练掌握它们的关系并灵活运用。 突破点二圆的对称性 4．在一个边长是10厘米的正方形中画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，圆和正方形组成的图形有( )条对称轴。 【分析】根据题意，在一个正方形中画一个最大的圆，那么圆的直径等于这个正方形的边长。 根据轴对称图形的意义，找出这个图形的对称轴即可得解。 一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】如图： 圆的直径是10厘米，圆和正方形组成的图形有4条对称轴。 5．如图所示，乐乐在一个圆中画了一个最大的正方形。这个组合图形有( )条对称轴。 【分析】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴，据此确定对称轴的数量。 【解答】如图，这个组合图形有4条对称轴。 【点评】关键是熟悉轴对称图形的特点，能确定对称轴的数量。 6．如图图形中，从左边数，对称轴条数最多的是第( )个图形，有( )条对称轴。 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次找出对称轴即可。 【解答】第一个图形有5条对称轴； 第二个图形有3条对称轴； 第三个图形是个圆，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条直径，所以有无数条对称轴。 从左边数，对称轴条数最多的是第3个图形，有无数条对称轴。 【点评】此题考查了轴对称图形的意义，要寻找对称轴，就看图形对折后两部分是否完全重合。 突破点三圆的周长 7．用长10厘米、宽8厘米的长方形纸板剪下一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米，周长是( )厘米。 【分析】长方形内剪下一个最大的圆，圆的直径＝长方形的宽，根据圆的半径＝直径÷2，圆的周长＝圆周率×直径，列式计算即可。 【解答】8÷2＝4（厘米） 3.14×8＝25.12（厘米） 这个圆的半径是4厘米，周长是25.12厘米。 8．观察如图，这个圆的直径是( )，周长是( )。 【分析】圆的直径等于4cm与2cm的差，根据C＝πd，计算周长。 【解答】4－2＝2（cm） 3.14×2＝6.28（cm） 这个圆的直径是2cm，周长是6.28cm。 9．用一根铁丝围成一个圆，半径正好是5dm。如果用这根铁丝围成一个正方形，正方形的边长是( )dm。 【分析】铁丝的长度即为这个圆的周长，根据圆的周长公式，5乘2再乘3.14即可求出圆的周长，再用这个铁丝围成正方形，铁丝的长度即为正方形的周长，用周长除以4即可求出其边长。 【解答】5×2×3.14 ＝10×3.14 ＝31.4（dm） 31.4÷4＝7.85（dm） 正方形的边长是7.85dm。 突破点四半圆的周长 10．我是小小的裁剪师！先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是( )cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是( )cm。 【分析】根据C＝πd，可以推出d＝C÷π，将数据代入求出该圆的直径； 半圆的周长，等于圆周长的一半加上一条直径的长度，即C半圆＝C÷2＋d，将数据代入求解即可。 【解答】由分析可得： 25.12÷3.14＝8（cm） 25.12÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 综上所述：先裁下一张周长是25.12cm的圆形纸片，这张纸片的直径是8cm，再沿直径裁成两个半圆，每个半圆的周长是25.12cm。 11．在一张长12分米，宽5分米的长方形中剪最大的半圆，半圆的周长是( )分米。 【分析】如下图所示，在这个长方形内剪下的最大半圆的半径等于长方形的宽，即是5分米。半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝πr＋2r，据此计算。 【解答】3.14×5＋5×2 ＝15.7＋10 ＝25.7（分米） 则半圆的周长是25.7分米。 12．在星光小学校园里有一个靠墙的半圆形花圃（如图），已知它的直径是12米，这个半圆形花圃的周长是( )米，在花圃边有一个宽2米的半圆环形小路。这条小路的面积是( )平方米。（计算结果保留π） 【分析】（1）根据圆的周长公式：C＝πd，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，代入数据计算即可； （2）根据环形面积公式：S环形 ＝π（R2−r2），求出圆环面积的一半，据此解答即可。 【解答】（1）π×12÷2＋12 ＝12π÷2＋12 ＝（6π＋12）米 这个半圆形花圃的周长是（6π＋12）米。 （2）小圆的半径：12÷2＝6（米） 大圆的半径： 6＋2＝8（米） 环形圆的面积： π（82−62） ＝π（64－36） ＝28π（平方米） 28π÷2＝14π（平方米） 这条小路的面积是14π平方米。 突破点五圆的周长在生活中的应用 13．一款普通自行车车轮的直径是70厘米，前齿轮40个齿，后齿轮16个齿。车轮滚动一周能前进( )米；脚踏板蹬一圈，能前进( )米。（π取3.14） 【分析】根据圆周长＝圆周率×直径，代入数据直接计算车轮滚动一周能前进的距离；设脚踏板蹬一圈，能前进x米，根据前进距离×对应轮数＝总齿数（一定），列出反比例算式解答即可。 【解答】3.14×70＝219.8（厘米） 219.8厘米＝2.198米 解：设脚踏板蹬一圈，能前进x米。 16x＝2.198×40 16x＝87.92 16x÷16＝87.92÷16 x＝5.495 车轮滚动一周能前进2.198米；脚踏板蹬一圈，能前进5.495米。 14．教室里的分针长16厘米。下午大课间是16：00开始，16：30结束，从下午大课间开始到结束，分针走过的距离是( )厘米。 【分析】根据经过时间＝结束时间－开始时间，求出大课间的时间，也就是30分钟，根据分针走一圈是60分钟，那么30分钟就是半圈，再根据圆的周长公式：C＝2πr，代入数据求出圆的周长，再除以2，据此解答。 【解答】16：30－16：00＝30分钟 30分钟是60分钟的一半，所以分针走了半圈。 2×3.14×16÷2 ＝100.48÷2 ＝50.24（厘米） 分针走过的距离是50.24厘米。 15．把一个面积为28.26平方分米的圆平均分，拼成一个近似的长方形，这个长方形的宽是( )分米，长是( )分米，周长是( )分米。 【分析】把一个圆剪拼成一个近似的长方形，那么长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径。 已知圆的面积是28.26平方分米，根据圆的面积公式S＝πr2可知，圆半径的平方r2＝S÷π，进而得出圆的半径； 然后根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆的周长，再除以2，即是长方形的长； 最后根据长方形的周长公式C＝2（a＋b），求出长方形的周长。 【解答】28.26÷3.14＝9（平方分米） 因为9＝3×3，所以圆的半径是3分米。 圆的周长：2×3.14×3＝18.84（分米） 长方形的长：18.84÷2＝9.42（分米） 长方形的周长： （9.42＋3）×2 ＝12.42×2 ＝24.84（分米） 这个长方形的宽是3分米，长是9.42分米，周长是24.84分米。 突破点六圆周率问题 16．祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：( )＜＜( )，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为( )，密率为( )。 【解答】祖冲之运用刘徽的“割圆术”计算圆周率，算出了上下限：3.1415926＜＜3.1415927，并且用分数形式确定了圆周率的近似值，即约率为，密率为。这一成就在世界上领先了约1000年。 17．最早试图从圆面积去求圆周率的人是古希腊数学家阿基米德，他认为圆介乎于外切正多边形与内接正多边形之间。当正多边形之间边数不断增加时，圆的面积与正多边形的面积便越来越接近。从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎( )与( )之间。 【分析】根据圆周率的发展历史，结合题干直接填空即可。 【解答】从他编写的《圆的度量》一书中，他用穷竭法得出圆周率介乎与之间。 【点评】本题考查了圆周率，掌握圆周率的发展历史是解题的关键。 18．历史上研究圆周率的数学家有很多．请写出你知道的三位数学家：( )，( )，( )． 【答案】 阿基米德(答案不唯一) 祖冲之(答案不唯一) 刘徽(答案不唯一) 突破点七圆的面积 19．在宽为2厘米、长是10厘米的长方形内，最多能剪( )个半径是1厘米的圆，剩余部分的面积是( )平方厘米。 【分析】已知圆的直径是（1×2）厘米，也就是2厘米，所以长方形的宽包含1个2厘米，长10厘米包含5个2厘米，所以用乘法1×5即可求出可以剪几个圆，根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积，再根据圆面积公式：S＝πr2，代入数据求出一个圆的面积，再乘5即可求出5个圆面积，然后用长方形的面积减去5个圆面积，即可求出剩余部分的面积。 【解答】1×2＝2（厘米） 2÷2＝1（个） 10÷2＝5（个） 1×5＝5（个） 2×10＝20（平方厘米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方厘米） 3.14×5＝15.7（平方厘米） 20－15.7＝4.3（平方厘米） 最多能剪5个半径是1厘米的圆，剩余部分的面积是4.3平方厘米。 20．一个正方形的周长和一个圆的周长相等。正方形的边长是12.56米，圆的面积是( )平方米。 【分析】已知一个正方形的周长和一个圆的周长相等，正方形的边长是12.56米，根据正方形的周长公式C＝4a，求出正方形的周长，也是圆的周长； 然后根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 【解答】正方形的周长（圆的周长）： 12.56×4＝50.24（米） 圆的半径： 50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（米） 圆的面积： 3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 圆的面积是200.96平方米。 21．先把一个圆平均分成若干份，然后拼成一个近似的平行四边形，周长增加了6分米，这个圆的面积是( )平方分米。 【分析】由圆的面积推导过程可知：将圆拼成近似的平行四边形后，平行四边形的底等于圆的周长的一半，靠近底的边等于圆的半径，从而可知，这个平行四边形的周长比原来圆的周长多出了两个半径的长度，据此用6÷2即可求出圆的半径，然后根据圆的面积公式：S＝πr2求出圆的面积即可。 【解答】6÷2＝3（分米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 这个圆的面积是28.26平方分米。 突破点八圆的面积在生活中的应用 22．一个时钟的分针长度是10cm，从9∶15到10∶00，分针针尖所走过的路程是( )cm，分针扫过的面积是( )cm2。 【分析】从“9∶15到10∶00”可知：经过时间是10：00－9：15＝45分＝时。分针1小时走一圈，分针针尖所走过的路程是半径10cm的圆周长的，分针扫过的面积是半径10cm的圆面积的。根据圆的周长：C＝2πr，圆的面积：S＝πr2，代入数据即可求解。 【解答】10：00－9：15＝45分＝时 10×2×3.14×＝47.1（cm） 102×3.14× ＝100×3.14× ＝235.5（cm2） 一个时钟的分针长度是10cm，从9∶15到10∶00，分针针尖所走过的路程是47.1cm，分针扫过的面积是235.5cm2。 23．如图所示（单位：厘米），一个直径为6厘米的圆圈从平面上A点的位置沿AB，BC，CD滚动到D点位置，则这个圆圈所扫过的面积是 平方厘米。（π取3.14。） 【分析】 现将圆板滚过的图形分割成a、b、c、d、e、f、g，其中图b、d、f分别是长为12厘米、4厘米、6厘米，宽是6厘米的长方形；图a、g正好拼成一个直径是6厘米的圆；图c是半径为6厘米，圆心角为60°的扇形，恰好是圆面积的；图e是3个边长为3厘米的小正方形和半径是3厘米、圆心角是90°的扇形面积之和，根据长方形、正方形、圆和扇形的面积公式，分别求出每个部分的面积，再相加即可。 【解答】半径：6÷2＝3（厘米） 15－3＝12（厘米） 10－6＝4（厘米） 15－6－3＝6（厘米） （12＋4＋6）×6 ＝22×6 ＝132（平方厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 3.14×62× ＝3.14×36× ＝18.84（平方厘米） 3×3×3＋3.14×32× ＝3×3×3＋3.14×9× ＝27＋7.065 ＝34.065（平方厘米） 132＋28.26＋18.84＋34.065＝213.165（平方厘米） 这个圆圈所扫过的面积是213.165平方厘米。 【点评】解答本题的关键在于想象出圆板滚过的图形。 24．一根75.36分米长的丝带正好可以给两张相同的圆形卡片包边，每张圆形卡片的面积是( )平方分米。 【分析】先用75.36÷2即可求出每张圆形卡片的周长，然后根据圆的周长公式：C＝2πr，用75.36÷2÷2÷3.14即可求出圆的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据即可求出每张圆形卡片的面积。 【解答】75.36÷2÷2÷3.14＝6（分米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 每张圆形卡片的面积是113.04平方分米。 突破点九喷泉洒水问题 25．草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是( )平方米。（得数保留整数） 【分析】由题意可知：喷洒的最大面积等于半径是6米的圆的面积，将数据代入圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【解答】3.14×62 ＝3.14×36 ≈113（平方米） 这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是113平方米。 26．用三张长3分米，宽2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形，( )的面积最大。 【分析】根据题意，最大圆的直径应为2分米则半径为1分米，最大正方形的边长为2分米，最大三角形的底为3分米，高为2分米，然后根据圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式进行计算后再比较即可得到答案。 【解答】最大圆的面积为：3.14×12＝3.14（平方分米） 最大正方形的面积为：2×2＝4（平方分米） 最大三角形的面积为：3×2÷2＝3（平方分米） 所以最大正方形的面积＞最大圆的面积＞最大三角形的面积。 则正方形的面积最大。 【点评】此题主要考查的是圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式的应用。 27．在一张长9厘米、宽6厘米的长方形纸上，用圆规画一个最大的圆。圆规两脚间的距离应该取( )厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。 【分析】（1）圆规两脚间的距离是圆的半径，圆最大时直径最大，最大的直径是长方形的宽，所以长方形的宽为最大圆的半径的2倍； （2）求出半径根据圆的面积计算公式解答即可。 【解答】（1）6÷2＝3（厘米） （2）3×3×π ＝9π ＝28.26（平方厘米） 【点评】根据长方形的宽找出最大圆的半径是解答题目的关键。 突破点十圆环的面积 28．在如图所示（，，三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在( )区域的可能性最大（填或或）。 【分析】可能性大小，就是情况出现的概率，根据题意，哪个区域的面积大，豆子落在哪个区域的可能性大，反之就越小；根据圆的面积公式S＝πr2，圆环的面积公式S＝π（R2－r2），分别求出，，三个区的面积，比较即可。 【解答】SC：22×π＝4π； SB：π（42－22）＝12π； SA：π（62－42）＝20π； 所以SA＞SB＞SC 因为区域的面积大于区域的面积大于区域的面积，所以豆子落在区域的可能性大。 29．有一个环形铁片，如下图所示：它的外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米。这个环形铁片的面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【分析】已知环形铁片的外圆半径R和内圆半径r，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算，即可求出这个环形铁片的面积。 【解答】3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 这个环形铁片的面积是50.24平方厘米。 30．如图所示，一个旋转餐桌的直径是30m，旋转部分是个圆环形状，环宽5m。旋转部分的面积是( )m2。      【分析】餐桌直径÷2＝外圆半径，外圆半径－环宽＝内圆半径，根据圆环面积＝π（R2－r2），列式计算即可。 【解答】30÷2＝15（m） 15－5＝10（m） 3.14×（152－102） ＝3.14×（225－100） ＝3.14×125 ＝392.5（m2） 旋转部分的面积是392.5m2。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式。 突破点十一含圆的阴影部分的周长 31．如图所示，正方形的边长是4厘米，图中阴影部分的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。（取3.14） 【分析】由图可知，阴影部分的面积等于两个小正方形的面积，加上半径是2厘米的圆面积的一半；周长等于4条2厘米长的线段加上半径为2厘米的圆周长的一半；据此解答。 【解答】（厘米） ＝8（平方厘米） （平方厘米） 8＋6.28＝14.28（平方厘米） 图中阴影部分的面积是14.28平方厘米； （厘米） 4×2＝8（厘米） 6.28＋8＝14.28（厘米） 即图中阴影部分的周长是14.28厘米。 32．如下图，图中长方形与圆的面积相等，已知长方形的长是12.56cm，圆的半径是( )cm，阴影部分的周长是( )cm。 【分析】从图中可知，长方形的宽等于圆的半径，且长方形与圆的面积相等，由此可知，长方形的长等于圆周长的一半πr；已知这个长方形的长，用长除以π即可求出圆的半径r； 阴影部分的周长＝圆周长的＋长＋宽＋长－半径，因为宽等于圆的半径，所以阴影部分的周长＝圆周长的＋长×2；其中圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【解答】圆的半径： 12.56÷3.14＝4（cm） 阴影部分的周长： 2×3.14×4×＋12.56×2 ＝6.28＋25.12 ＝31.4（cm） 圆的半径是4cm，阴影部分的周长是31.4cm。 33．工人师傅在学校操场铺设了一个400m半圆式田径场，如图。测得每条跑道的宽度为1.25m，如果进行400m比赛，环形跑道上各道起跑线相差( )m。      【分析】直道距离相同，相邻跑道之间的差距在弯道，操场两侧的弯道可以拼成一个圆，跑道上各道起跑线的差距就是相邻两个圆的周长差，确定第一道和第二道两个圆的直径，根据圆的周长＝圆周率×直径，分别求出周长，求差即可。 【解答】72.6＋1.25×2 ＝72.6＋2.5 ＝75.1（m） 3.14×75.1－3.14×72.6 ＝3.14×（75.1－72.6） ＝3.14×2.5 ＝7.85（m） 环形跑道上各道起跑线相差7.85m。 【点评】关键是掌握并灵活运用圆的周长公式。 突破点十二含圆的阴影部分的面积 34．如图，半圆的面积是39.25平方厘米，圆的面积是28.26平方厘米，那么阴影部分的面积是( )。 【分析】半圆面积为39.25平方厘米，则半圆所在的圆面积就是（39.25×2）平方厘米，根据圆面积计算公式“S＝πr2”，r2＝39.25×2÷3.14＝25，由于52＝25，由此得出半圆的半径是5厘米，进而求出半圆的直径为5×2＝10（厘米）。圆的面积为28.26平方厘米，同理可求出圆的半径，进而求出圆的直径。圆直径是阴影长方形的长，半圆直径减圆直径是阴影长的宽，根据长方形面积计算公式“S＝ab”即可求出阴影部分面积。 【解答】39.25×2÷3.14 ＝78.5÷3.14 ＝25 25＝52 即半圆的半径是5厘米， 5×2＝10（厘米） 28.26÷3.14＝9（厘米） 9＝32 所以圆的半径为3厘米， 3×2＝6（厘米） 6×（10－6） ＝6×4 ＝24（平方厘米） 那么阴影部分的面积是24平方厘米。 【点评】阴影部分是一个长方形，求出这个长方形的长、宽是关键，也难点.长方形的长为圆的直径，宽为半圆直径与圆直径之差，根据圆面积计算公式即可求出半圆、圆的半径，进而求出直径。 35．礼堂中一扇窗户的形状与大小如图。上面是半圆形，下面是长方形，这扇窗户的面积是( )平方米。（π取3.14） 【分析】观察图形可知，这扇窗户的面积＝半圆的面积＋长方形的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，长方形的面积公式S＝ab，代入数据计算求解。 【解答】3.14×（2÷2）2÷2＋2.5×2 ＝3.14×1÷2＋2.5×2 ＝1.57＋5 ＝6.57（平方米） 这扇窗户的面积是6.57平方米。 36．如图，以一个圆的半径为边长画一个正方形，已知正方形的面积是10cm2，圆的面积是( )cm2。 【分析】观察图形发现，圆的半径等于正方形的边长；已知正方形的面积是10cm2，根据正方形的面积公式S＝a2，可知r2＝10；把r2＝10代入圆的面积公式S＝πr2，即可求出这个圆的面积。 【解答】3.14×10＝31.4（cm2） 圆的面积是314cm2。 【点评】本题考查正方形面积、圆的面积公式的运用，明确圆的半径等于正方形的边长，由此得出r2＝10是解题的关键。 突破点十三尺规作图画圆 37．用圆规画一个半径为的圆，并用O，r，d分别标出它的圆心、半径和直径。 【分析】根据题意，结合圆的特征可知，圆心是圆的中心，直径是半径的两倍，在圆上用字母表示出来即可。 【解答】如图： 38．请以线段为半径在下面用圆规画圆，并用字母标注出圆心、半径和直径。 【分析】画圆的方法：①把圆规的两脚分开，以半径为两脚间的距离；②以一个点为圆心，以半径的长度画圆。③把有针尖的一只脚固定在圆心上。④把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【解答】 39．画一个以O为圆心，直径为4cm的圆。 【分析】用圆规画圆的方法： ①把圆规的两脚分开，定好两脚间距离，直径为4cm，则半径为2cm； ②把有针尖的一只脚固定O点上； ③带有铅笔的那只脚绕点旋转一周，即可得到一个指定直径是4cm的圆。 【解答】4÷2＝2（cm） 作图如下： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$