（易错讲义）第一单元 长方体和正方体-2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本（苏教版）

小马虎错题本 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、单元讲义。常考易错点归纳，边学边练。 2、单元综合。单元整体综合，融会贯通。 3、专项训练。题型专项和知识点专项，吃透考点。 4、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本 第一单元长方体和正方体 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 二十一大易错小知识点 3 八大常考易错点 4 易错点1 4 易错点2 4 易错点3 5 易错点4 5 易错点5 5 易错点6 6 易错点7 6 易错点8 6 十九大易错突破点 7 突破点一长方体的认识和特征 7 突破点二正方体的认识和特征 8 突破点三长方体的展开图 8 突破点四正方体的展开图 10 突破点五长方体的表面积计算及应用 11 突破点六正方体的表面积计算及应用 11 突破点七容积及容积单位的认识及选择 12 突破点八体积及体积单位的认识及选择 13 突破点九比较体积和容积的大小 14 突破点十长方体的体积计算及应用 15 突破点十一正方体的体积计算及应用 16 突破点十二长方体和正方体之间的等积变形 17 突破点十三体积单位间的换算 18 突破点十四容积单位间的换算 18 突破点十五长方体正方体的切拼问题一 19 突破点十六长方体正方体的切拼问题二 20 突破点十七组合体的表面积 21 突破点十八组合体的体积 22 突破点十九测量不规则物体的体积 23 易错知识点 二十一大易错小知识点 1、长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2、判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3、长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4、长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 5、正方体的棱长扩大到原来的n倍，它的表面积扩大到原来的n2倍。 6、运用长方体和正方体表面积计算方法解决实际问题时，要先确定求的是几个面的面积。 7、在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如长方体的鱼缸只有5个面，通风管只有4个面。因此，在计算时要根据实际情况解题。 当所求的长方体的表面积是6个面的面积时，先分别求出每组相对的面中一个面的面积，相加后再乘2较简便。 8、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 9、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 10、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 11、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 12、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 13、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 14、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 15、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 16、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 17、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 18、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 19、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 易错点剖析 八大常考易错点 易错点1：误认为6个相等的正方形不论怎样排列都能围成一个正方体。 判断：只要是6个相等的正方形不管怎样排列都能围成一个正方体。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答没有掌握正方体的展开图,空间想象力不强。6个正方形组成的平面图形有若干种,并不是每一种都能够围成正方体,要根据具体图形实际分析。可以画出图形动手剪一剪、围一围;也可以在图中标出相应的面,来判断是否能够围成正方体。如右图,图中出现了两个上面,而没有下面,所以该图形不能围成正方体。 【正确解答】错误 易错点2：长方体和正方体的判定特征记忆不准确。 判断：有6个面，12条棱，8个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。（ ）【错误答案】√ 【错解分析】 有6个面，12条棱，8个顶点并不代表它就是长方体或正方体，要看它是否具备长方体或正方体的所有特征，如图，这个立体图形既不是长方体，也不是正方体。 【正确解答】×。 易错点3：误把单位不同的数直接计算了。 一个长方体长25厘米,宽22厘米,高1分米,求这个长方体的表面积。 【错误解答】（25×22＋25×1＋22×1）×2 【正确解答】1分米=10厘米 =1194（平方厘米） （25×22＋25×10＋22×10）×2 答:这个长方体的表面积是1194平方厘米。 =2040（平方厘米） 答:这个长方体的表面积是2040平方厘米。 【错解分析】错误解答把单位不同的数直接计算导致结果错误,做题时要注意审清题目。此题长与宽的单位是厘米,而高的单位是分米,应先将单位统一,再计算。 易错点4：对表面积的意义理解不透彻。 判断：把6个棱长是2cm的正方体拼成长方体，这个长方体的表面积等于原来6个正方体的表面积之和。（ ） 【错误答案】√ 【错误原因】本题错在对表面积的意义理解不透彻。 【正确答案】× 易错点5：误认为正方体表面积扩大的倍数等于棱长扩大的倍数。 填空：一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积就扩大到原来的（ ）倍。 【错误答案】2 【错解分析】本题错在误认为正方体表面积扩大的倍数等于棱长扩大的倍数。 【正确答案】4 易错点6：对商品包装上所标的字样的含义理解错误。 判断：一种酱油,酱油壶的外包装上标有1750毫升的字样,是指这种酱油壶的容积是1750毫升。（ ） 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有理解酱油壶包装上所标的字样的含义。酱油壶的外包装上标的1750毫升,是指壶中酱油的体积,而不是酱油壶的容积。酱油壶的容积应该大于1750毫升。 【正确解答】错误。 易错点7：对体积和表面积的概念理解不清,两者之间进行了比较。 判断：棱长是6厘米的正方体,它的体积和表面积相等。（ ） 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在把正方体的体积和表面积进行比较。对体积和表面积的概念理解不清。体积是物体所占空间的大小,表面积是6个面的总面积。棱长6厘米的正方体的表面积=6×6×6=216（平方厘米）,它的体积=6×6×6=216（立方厘米）,这里仅仅是数值相等,无法比较它们的大小。 【正确解答】错误。 易错点8：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000。 判断：两个体积单位之间的进率是1000。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有掌握体积单位之间的进率,不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000,如立方厘米和立方米之间的进率是1000000。只有两个相邻的常用的体积单位（立方厘米、立方分米和立方米）之间的进率才是1000,如立方厘米和立方分米,立方分米和立方米之间的进率是1000。 【正确解答】错误。 易错题突破 十九大易错突破点 突破点一长方体的认识和特征 1．用一根长60厘米的铁丝可以做一个长是8厘米、宽是5厘米，高是（ ）厘米的长方体框架。 2．李师傅要用钢筋做一个长方体的框架，下图是做好的部分框架，制作这个长方体框架还需（ ）根3dm的钢筋和（ ）根10dm的钢筋；做好后最多有（ ）个相同的面。 3．下图是一个长方体礼品盒，把长方体礼品盒沿虚线捆扎，至少需要（ ）厘米长的彩带。 突破点二正方体的认识和特征 4．如图，摆成的这个物体的后面的点数之和是（ ）。 5．亮亮用一些6厘米长的小棒和橡皮泥团制作了一个正方体框架，他至少需要（ ）团橡皮泥和（ ）根小棒，这个正方体的棱长总和是（ ）厘米。 6．一根铁丝可以焊接成一个棱长为8cm的正方体框架，如果焊接成一个高9cm、宽4cm的长方体框架，那么长方体框架长（ ）cm。（焊接时的耗损不计） 突破点三长方体的展开图 7．小红要用白色卡纸做一个长方体，他画出了展开图（如图）。如果面在底部，那么（ ）面在上面；如果面在前面，从左面看是面，那么上面是（ ）面。 8．下面是一个有盖的长方体纸盒的展开图，纸盒的体积是（ ）立方厘米。       9．下图阴影部分是一个长方体的表面展开图，如果每个小正方形的边长1厘米，则这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 突破点四正方体的展开图 10．将下边的展开图折叠成正方体后，与“诚”字相对的面是“（ ）”字。剩下的四个面中，相对的两个面分别能组成词语（ ）和（ ）。 11．如图是一个正方体的展开图。    （1）这个正方体中，“4”的对面是“（ ）”。 （2）抛起这个正方体，落下后，质数朝上的可能性比合数朝上的可能性（ ）。（填“大”或“小”） 12．如下图，4种纸片有若干张。用这些纸片围成一个正方体，体积是（ ）立方厘米；围成一个长方体（不含正方体），体积最大是（ ）立方厘米。（每张纸片单独成面） 突破点五长方体的表面积计算及应用 13．一个长方体，高截去了2分米，表面积就减少了48平方分米，剩下部分为一个正方体，原来长方体的表面积是（ ）。 14．有2厘米和3厘米长的小棒若干根，要做一个底面是边长3厘米的正方形、高是4厘米的长方体框架，需要选（ ）根2厘米长的小棒和（ ）根3厘米长的小棒；给这个框架表面糊上牛皮纸，需要（ ）平方厘米的牛皮纸。（接头处忽略不计） 15．李阿姨要用硬纸板做一个长25厘米、宽18厘米、高5厘米的礼品盒，至少需要（ ）平方厘米的硬纸板，如果像图这样用彩带捆扎，打结处需要12厘米，这根彩带长（ ）厘米。 突破点六正方体的表面积计算及应用 16．两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是（ ）dm2。 17．用棱长1厘米的正方体摆成一个物体。如果从前面、右面和上面看到的都是（如图），那么至少要用（ ）个小正方体，此时摆成的物体的表面积是（ ）平方厘米。 18．一个正方体木块的表面积是48平方分米，如果把它截成体积相等的8个正方体小木块，每个小木块的表面积是（ ）平方分米。 突破点七容积及容积单位的认识及选择 19．在括号里填上合适的单位。 （1）一节数学课的时间一般是40（ ）。 （2）一本数学书厚8（ ）。 （3）一个教室的面积约为54（ ）。 （4）一个可乐瓶的容积约是500（ ）。 20．估一估，杯子中大约有多少毫升水。 容积400毫升         （ ）毫升             （ ）毫升 21．点点跟随爸爸开车从家到相距100千米的老家，然后又从老家到旅游村。请你根据下图油表的变化，算一算，老家到旅游村大约（ ）千米。 突破点八体积及体积单位的认识及选择 22．如图是一个装有水的长方体玻璃缸，水所占空间的大小，是水的（ ），玻璃缸所能容纳水的体积，是玻璃缸的（ ）。（均选填“体积”或“容积”） 23．下面每个图形都是由若干个棱长为1厘米的小正方体拼成的，它们的体积各是多少？ （ ）立方厘米      （ ）立方厘米      （ ）立方厘米         （ ）立方厘米 24．填上适当的单位。 花坛中央的一个雕塑的体积约是3（ ）。 一块橡皮的体积约是6（ ）。 一个书柜的表面积约为500（ ）。 一间教室的占地面积约为70（ ）。 一个水杯的容积约为200（ ）。 突破点九比较体积和容积的大小 25．超市里把同样的包装盒摆成了三堆（如图）。第（ ）堆的体积最小。第（ ）堆和第（ ）堆的体积一样大。                      第1堆        第2堆           第3堆 26．如图，球形铁块和正方体铁块，谁的体积大一些？在体积大的括号里画“√”。 27．比较下面每组三个容器，哪个杯子已装的液体最多？在下面的□里画“√”。 突破点十长方体的体积计算及应用 28．挖一个长50米、宽12米的长方体鱼塘，要使鱼塘的容积是2400立方米，这个鱼塘应该挖（ ）米深。 29．有一个长方体玻璃鱼缸（如图）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面积会不断发生变化。第一次有一组相对的面出现正方形时，正方形的边长是（ ）厘米，鱼缸内有（ ）升的水。 30．如图：在无盖的长方体玻璃容器中，摆棱长1分米的小正方体。做这个玻璃容器至少要用玻璃（ ）平方分米，它的容积是（ ）升。 突破点十一正方体的体积计算及应用 31．一个长方体，高减少2厘米，就成为一个表面积是216平方厘米的正方体，原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 32．有一个长方体衣橱，从外面量长12分米，宽6分米，高20分米，它的占地面积是（ ）平方分米，这个长方体衣橱所占的空间是（ ）立方分米。 33．用棱长的正方体木块，在桌面上拼摆出如图的模型。这个模型的体积是（ ）。在此基础上继续拼摆成一个长方体模型，最少要添加（ ）个这样的木块。 突破点十二长方体和正方体之间的等积变形 34．把一块棱长6厘米的正方体橡皮泥捏成长方体形状，如果捏成的长方体长9厘米，宽4厘米，那么高（ ）厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 35．用一根48厘米长的铁丝焊成一个正方体，这个正方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 36．一个长方体水箱，从里面量，长50厘米，宽40厘米，高30厘米，水深20厘米。如果放入一个棱长10厘米的正方体铁块，那么水箱里的水面将上升（ ）厘米。 突破点十三体积单位间的换算 37．5立方分米＝（ ）立方厘米   0.24立方米＝（ ）立方分米 7500立方厘米＝（ ）立方分米 38．有一个长方体金鱼缸，从里面测量，长0.8米，宽0.2米，高0.5米，里面装有0.3米深的水，鱼缸里水的体积是（ ）立方分米。 39．3.5立方米＝（ ）立方分米＝（ ）升；4800立方厘米＝（ ）升＝（ ）毫升。 突破点十四容积单位间的换算 40．填一填。 4升50毫升＝（ ）升     5.7平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米 41．如果把3升水全部倒入下图中的两个长方体水槽中，使它们的水面高度相等，这个高度是（ ）厘米。 42．一个长方体玻璃水箱，从里面量，长15厘米，宽10厘米，高20厘米。小明向空水箱里慢慢地注水，水在长方体水箱中也形成长方体。当长方体水箱中第一次出现正方形面时，小明注入了（ ）毫升的水；当第二次出现正方形面时，小明又注入了（ ）毫升的水。 突破点十五长方体正方体的切拼问题一 43．用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 44．把一根长方体材料沿着横截面锯成3段（如下图），表面积就比原来增加3.6dm2，如果锯成4段，表面积比原来增加（ ）dm2；原来这根木料的体积是（ ）dm3。 45．如图所示，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。 突破点十六长方体正方体的切拼问题二 46．把一个长24厘米，宽5厘米，高5厘米的长方体木料切割成最大的正方体，正方体的体积是（ ）立方厘米，最多能切成（ ）个这样的正方体。 47．在一个从里面量长6厘米，宽2厘米，高3厘米长方体纸盒内，摆体积是1立方厘米的小正方体木块。一行可以摆（ ）个，一层可以摆（ ）行，可以摆（ ）层，一共可以摆（ ）个木块。这个长方体纸盒所含的（ ）的多少，就是这个纸盒里面体积单位的个数，也就是这个纸盒的（ ）。 48．把3米长的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加3.6平方分米，原来这根木料的体积是（ ）立方分米。 突破点十七组合体的表面积 49．由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是（ ）平方厘米。 50．下图是棱长为8cm的正方体堆放在墙角，有（ ）个面露在外面，露在外面的面积一共是（ ）cm2。 51．如图，在一个边长为6分米的正方体木块的右上方截去一个长6分米、宽3分米、高28厘米的长方体木块，则剩余木块的表面积为 平方分米。 突破点十八组合体的体积 52．在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1厘米的正方形（如图），挖洞后木块的体积是（ ）立方厘米。 53．明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是（ ）cm3。 54．将棱长1cm的正方体木块堆积在墙角，组成如图所示的立体图形，它的体积是（ ）cm3，露出外面的面积和是（ ）cm2。 突破点十九测量不规则物体的体积 55．乐乐测量一块石头的体积，做了两个实验（如下图）。其中方法（ ）是正确的。这块石头的体积是（ ）。 56．在一个长8分米，宽6分米，高4分米的长方体水槽中注满水，然后把一条长3分米、宽2分米，高6分米的长方体铁棒立着放入池中，水槽溢出的水的体积是（ ）。 57．一个长5分米，宽3.6分米，高6分米的长方体容器中盛有一些水，水面的高度是4分米，放入一个石块后（石块完全没入水中），水面的高度是4.8分米，则石块的体积是（ ）立方分米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$小马虎错题本 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 数学核心素 养 会用数学眼光观察现实世界； 抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、几何直观、空间观念与创新意识。数学眼光提供了观察、探究世界的新视野，能将实际情境抽象为数学问题，能体会数学知识的实际意义。 会用数学思维思考现实世界； 运算能力、推理意识或推理能力。数学为人们提供了理解、解释现实世界的思维途径，在逻辑推理中体会数学的严谨性。 会用数学语言表达现实世界。 数据意识或数据观念、模型意识或模型观念、应用意识。数学建模与数据分析可以作为工具广泛应用于其他学科，体现了数学具有应用的广泛性。 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、单元讲义。常考易错点归纳，边学边练。 2、单元综合。单元整体综合，融会贯通。 3、专项训练。题型专项和知识点专项，吃透考点。 4、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级上册数学小马虎错题本 第一单元长方体和正方体 本专题单元讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 二十一大易错小知识点 3 八大常考易错点 4 易错点1 4 易错点2 4 易错点3 5 易错点4 5 易错点5 5 易错点6 6 易错点7 6 易错点8 6 十九大易错突破点 7 突破点一长方体的认识和特征 7 突破点二正方体的认识和特征 8 突破点三长方体的展开图 10 突破点四正方体的展开图 12 突破点五长方体的表面积计算及应用 14 突破点六正方体的表面积计算及应用 16 突破点七容积及容积单位的认识及选择 18 突破点八体积及体积单位的认识及选择 20 突破点九比较体积和容积的大小 21 突破点十长方体的体积计算及应用 23 突破点十一正方体的体积计算及应用 25 突破点十二长方体和正方体之间的等积变形 26 突破点十三体积单位间的换算 28 突破点十四容积单位间的换算 29 突破点十五长方体正方体的切拼问题一 30 突破点十六长方体正方体的切拼问题二 32 突破点十七组合体的表面积 34 突破点十八组合体的体积 35 突破点十九测量不规则物体的体积 37 易错知识点 二十一大易错小知识点 1、长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2、判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3、长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4、长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 5、正方体的棱长扩大到原来的n倍，它的表面积扩大到原来的n2倍。 6、运用长方体和正方体表面积计算方法解决实际问题时，要先确定求的是几个面的面积。 7、在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如长方体的鱼缸只有5个面，通风管只有4个面。因此，在计算时要根据实际情况解题。 当所求的长方体的表面积是6个面的面积时，先分别求出每组相对的面中一个面的面积，相加后再乘2较简便。 8、捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 9、有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 10、长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 11、在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 12、把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 13、只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 14、一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 15、并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 16、误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 17、较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 18、明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 19、1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 易错点剖析 八大常考易错点 易错点1：误认为6个相等的正方形不论怎样排列都能围成一个正方体。 判断：只要是6个相等的正方形不管怎样排列都能围成一个正方体。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答没有掌握正方体的展开图,空间想象力不强。6个正方形组成的平面图形有若干种,并不是每一种都能够围成正方体,要根据具体图形实际分析。可以画出图形动手剪一剪、围一围;也可以在图中标出相应的面,来判断是否能够围成正方体。如右图,图中出现了两个上面,而没有下面,所以该图形不能围成正方体。 【正确解答】错误 易错点2：长方体和正方体的判定特征记忆不准确。 判断：有6个面，12条棱，8个顶点的立体图形不是长方体就是正方体。（ ）【错误答案】√ 【错解分析】 有6个面，12条棱，8个顶点并不代表它就是长方体或正方体，要看它是否具备长方体或正方体的所有特征，如图，这个立体图形既不是长方体，也不是正方体。 【正确解答】×。 易错点3：误把单位不同的数直接计算了。 一个长方体长25厘米,宽22厘米,高1分米,求这个长方体的表面积。 【错误解答】（25×22＋25×1＋22×1）×2 【正确解答】1分米=10厘米 =1194（平方厘米） （25×22＋25×10＋22×10）×2 答:这个长方体的表面积是1194平方厘米。 =2040（平方厘米） 答:这个长方体的表面积是2040平方厘米。 【错解分析】错误解答把单位不同的数直接计算导致结果错误,做题时要注意审清题目。此题长与宽的单位是厘米,而高的单位是分米,应先将单位统一,再计算。 易错点4：对表面积的意义理解不透彻。 判断：把6个棱长是2cm的正方体拼成长方体，这个长方体的表面积等于原来6个正方体的表面积之和。（ ） 【错误答案】√ 【错误原因】本题错在对表面积的意义理解不透彻。 【正确答案】× 易错点5：误认为正方体表面积扩大的倍数等于棱长扩大的倍数。 填空：一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积就扩大到原来的（ ）倍。 【错误答案】2 【错解分析】本题错在误认为正方体表面积扩大的倍数等于棱长扩大的倍数。 【正确答案】4 易错点6：对商品包装上所标的字样的含义理解错误。 判断：一种酱油,酱油壶的外包装上标有1750毫升的字样,是指这种酱油壶的容积是1750毫升。（ ） 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有理解酱油壶包装上所标的字样的含义。酱油壶的外包装上标的1750毫升,是指壶中酱油的体积,而不是酱油壶的容积。酱油壶的容积应该大于1750毫升。 【正确解答】错误。 易错点7：对体积和表面积的概念理解不清,两者之间进行了比较。 判断：棱长是6厘米的正方体,它的体积和表面积相等。（ ） 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答错在把正方体的体积和表面积进行比较。对体积和表面积的概念理解不清。体积是物体所占空间的大小,表面积是6个面的总面积。棱长6厘米的正方体的表面积=6×6×6=216（平方厘米）,它的体积=6×6×6=216（立方厘米）,这里仅仅是数值相等,无法比较它们的大小。 【正确解答】错误。 易错点8：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000。 判断：两个体积单位之间的进率是1000。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有掌握体积单位之间的进率,不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000,如立方厘米和立方米之间的进率是1000000。只有两个相邻的常用的体积单位（立方厘米、立方分米和立方米）之间的进率才是1000,如立方厘米和立方分米,立方分米和立方米之间的进率是1000。 【正确解答】错误。 易错题突破 十九大易错突破点 突破点一长方体的认识和特征 1．用一根长60厘米的铁丝可以做一个长是8厘米、宽是5厘米，高是（ ）厘米的长方体框架。 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【解答】60÷4－8－5 ＝15－8－5 ＝7－5 ＝2（厘米） 用一根长60厘米的铁丝可以做一个长是8厘米、宽是5厘米，高是2厘米的长方体框架。 2．李师傅要用钢筋做一个长方体的框架，下图是做好的部分框架，制作这个长方体框架还需（ ）根3dm的钢筋和（ ）根10dm的钢筋；做好后最多有（ ）个相同的面。 【分析】长方体有4条长、4条宽、4条高。看图，这个长方体框架的长、宽、高分别是10dm、3dm和3dm，已经有2条长、2条宽和1条高的钢筋，还需要2条长、2条宽和3条高的钢筋。由于宽和高相等，那么做好后有4个面相同。 【解答】2＋3＝5（根） 所以，制作这个长方体框架还需5根3dm的钢筋和2根10dm的钢筋；做好后最多有4个相同的面。 3．下图是一个长方体礼品盒，把长方体礼品盒沿虚线捆扎，至少需要（ ）厘米长的彩带。 【分析】根据长方体的特征，它的12条棱分为互相平行（相对）的3组，每组4条棱的长度相等，根据题意，长方体的长是6厘米，宽是5厘米，高是4厘米，彩带的长度就是长×2＋宽×2＋高×4，代入数据，即可解答。 【解答】6×2＋5×2＋4×4 ＝12＋10＋16 ＝22＋16 ＝38（厘米） 【点评】根据考查长方体棱长的应用，根据长方体特征进行解答。 突破点二正方体的认识和特征 4．如图，摆成的这个物体的后面的点数之和是（ ）。 【分析】根据图中第1个、第4个和6个物体可以知道，数字5和数字1、2、3、6相邻，那么数字5就和数字4相对并且数字1、2、3、6在绕着这个物体一周的4个面上；再根据第1个和第2个物体可知，数字2分别和数字1与数字3相邻，那么数字2和数字6就是相对的；最后剩下数字1和数字3相对；据此得出物体后面的点数再相加即可。 【解答】由分析可知，数字5和数字4相对，数字2和数字6相对，数字1和数字3相对； 那么这5个物体后面的点数分别为：6、1、5、4、2； 6＋1＋5＋4＋2 ＝7＋5＋4＋2 ＝12＋4＋2 ＝16＋2 ＝18 摆成的这个物体的后面的点数之和18。 5．亮亮用一些6厘米长的小棒和橡皮泥团制作了一个正方体框架，他至少需要（ ）团橡皮泥和（ ）根小棒，这个正方体的棱长总和是（ ）厘米。 【分析】用小棒和橡皮泥制作一个正方体框架，因为在制作过程中，需要把小棒连接起来，也就是正方体框架的顶点处需要用到橡皮泥，正方体有8个顶点，所以需要8团橡皮泥；正方体有12条棱，所以需要12根小棒；再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，据此进行计算即可。 【解答】6×12＝72（厘米） 则亮亮用一些6厘米长的小棒和橡皮泥团制作了一个正方体框架，他至少需要8团橡皮泥和12根小棒，这个正方体的棱长总和是72厘米。 【点评】本题考查正方体的特征和棱长总和，明确正方体的特征和熟记正方体的棱长总和的公式是解题的关键。 6．一根铁丝可以焊接成一个棱长为8cm的正方体框架，如果焊接成一个高9cm、宽4cm的长方体框架，那么长方体框架长（ ）cm。（焊接时的耗损不计） 【分析】根据题意可知，铁丝的总长度不变，也就是正方体和长方体的棱长总和是相等的，正方体的棱长总和＝棱长×12，据此求出铁丝的总长度，再除以4，求出长方体长、宽、高之和，减去高和宽即可。 【解答】8×12÷4－9－4 ＝24－9－4 ＝11（厘米） 长方体框架长11厘米。 【点评】此题考查了长方体、正方体棱长总和的相关应用，应牢记公式并能灵活运用。 突破点三长方体的展开图 7．小红要用白色卡纸做一个长方体，他画出了展开图（如图）。如果面在底部，那么（ ）面在上面；如果面在前面，从左面看是面，那么上面是（ ）面。 【分析】如图，根据长方体展开图的特征可知：折成长方体后，面与面相对，面与相对，面与相对，因此，如果在底面，那么面在上面。如果面在前面，从左面看是面，那么上面是面。据此解答。 【解答】把如图这个展开图折成一个长方体（数字在长方体内侧），如果面在底面，那么面在上面。如果面在前面，从左面看是面，那么上面是面。 8．下面是一个有盖的长方体纸盒的展开图，纸盒的体积是（ ）立方厘米。    【分析】观察图形可知，长方体的长是6厘米，长方体的两条长和一条高合起来是13厘米，求长方体纸盒的高，高＝13厘米－6厘米×2；长方体的两条高和一条宽合起来是7厘米，求长方体纸盒的宽，宽＝7厘米－高×2，代入数据，求出长方体的宽和高，再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】高：13－6×2 ＝13－12 ＝1（厘米） 宽：7－1×2 ＝7－2 ＝5（厘米） 体积：6×5×1 ＝30×1 ＝30（立方厘米） 下面是一个有盖的长方体纸盒的展开图，纸盒的体积是30立方厘米。    【点评】本题考查长方体体积公式的应用，关键是求出宽和高的值。 9．下图阴影部分是一个长方体的表面展开图，如果每个小正方形的边长1厘米，则这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【分析】观察图形可知，这个长方体的长是3cm，宽是2cm，高是1cm，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】长是3cm；宽是2cm，高是1cm。 表面积：（3×2＋3×1＋2×1）×2 ＝（6＋3＋2）×2 ＝（9＋2）×2 ＝11×2 ＝22（平方厘米） 体积：3×2×1 ＝6×1 ＝6（立方厘米） 【点评】本题考查长方体展开图的特征，根据展开图确定长方形的长、宽和高；长方体表面积公式、体积公式的应用。 突破点四正方体的展开图 10．将下边的展开图折叠成正方体后，与“诚”字相对的面是“（ ）”字。剩下的四个面中，相对的两个面分别能组成词语（ ）和（ ）。 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：相对之端是对面即相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此解答。 【解答】根据分析可知，“诚”字面相对“信”字面； “心”字面相对“意”字面，组成的词语是“心意”； “真”字面相对“实”字面，组成的词语是“真实”。 将下边的展开图折叠成正方体后，与“诚”字相对的面是“信”字。剩下的四个面中，相对的两个面分别能组成词语心意和真实。 11．如图是一个正方体的展开图。    （1）这个正方体中，“4”的对面是“（ ）”。 （2）抛起这个正方体，落下后，质数朝上的可能性比合数朝上的可能性（ ）。（填“大”或“小”） 【分析】（1）根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“2－2－2”型，折成正方体后，数字“1”与“6”相对，“2”与“3”相对，“4”与“5”相对。 （2）根据质数的意义：一个数，除了1和它本身没有其它因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有其它因数，这样的数叫做合数；在1、2、3、4、5、6中，质数有2、3、5，合数有4、6，质数比合数多，抛起这个正方体，落下后，质数朝上可能性比合数大，据此解答。 【解答】（1）根据分析可知，这个正方体中，“4”的对面是“5”。 （2）1，2，3，4，5，6中，质数有：2，3，5，共3个； 合数有：4，6，共2个； 2＜3，抛起这个正方体，落下后，质数朝上比合数朝上的可能性大。 【点评】本题考查正方体展开图的特征，质数和合数的意义以及可能性大小。 12．如下图，4种纸片有若干张。用这些纸片围成一个正方体，体积是（ ）立方厘米；围成一个长方体（不含正方体），体积最大是（ ）立方厘米。（每张纸片单独成面） 【分析】（1）根据正方体的特征，正方体的六个面完全相同，都是正方形，据此应选边长为7cm的正方形纸片6个，围成一个正方体，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；据此计算； （2）围成一个长方体（不含正方体），体积为最大，应选择长为9厘米、宽为7厘米的长方形纸片4张，边长为7厘米的正方形纸片2张，即围成的长方体的长为9cm、宽为7cm、高为7cm，长方体的体积＝长×宽×高，即可求解。 【解答】（1）围成的正方体的棱长为7cm，体积为： 7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） （2）围成的长方体的长为9cm、宽为7cm、高为7cm，长方体的体积＝长×宽×高，体积为： 9×7×7 ＝63×7 ＝441（立方厘米） 【点评】此题考查了展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，还要熟记正方体和长方体的体积公式。 突破点五长方体的表面积计算及应用 13．一个长方体，高截去了2分米，表面积就减少了48平方分米，剩下部分为一个正方体，原来长方体的表面积是（ ）。 【分析】长方体的高截去2分米，表面积减少了48平方分米，减少的表面积实际上是4个侧面的面积之和；因为剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，因此减少的4个侧面是完全相同的长方形；用减少的面积除以4求出一个侧面的面积；再用一个面的面积除以2分米，即可求出原来长方体的长；最后用正方体的表面积加上减少的48平方分米就是原来长方体的表面积。 【解答】原来长方体的长为：48÷4÷2＝6（分米） 原来长方体的长和宽相等均为6分米。 剩余正方体的表面积为：6×6×6＝216（平方分米） 原来长方体的表面积为：216＋48＝264（平方分米） 因此原来长方体的表面积是264平方分米。 14．有2厘米和3厘米长的小棒若干根，要做一个底面是边长3厘米的正方形、高是4厘米的长方体框架，需要选（ ）根2厘米长的小棒和（ ）根3厘米长的小棒；给这个框架表面糊上牛皮纸，需要（ ）平方厘米的牛皮纸。（接头处忽略不计） 【分析】长方体有12条棱，其中有4条长，4条宽，4条高。从“底面是边长3厘米的正方形”可知，长和宽相等，那么需要8根3厘米的小棒；从“高是4厘米”可知，一条高要两根长2厘米的小棒，那么4条高就需要8根长2厘米的小棒。从“框架表面糊上牛皮纸”可知，牛皮纸的大小就是长方体的表面积。因为底面是正方形，那么上下面都是正方形，4×4即一个正方形的面积；长和宽相等，则前、后、左、右四个面是完全一样的长方形，3×4即一个长方形的面积。根据长方体的表面积是6个面的面积之和，列式计算即可求出牛皮纸的面积。据此解答。 【解答】高需要2厘米的小棒：4÷2×4＝8（根） 长和宽共需要3厘米的小棒：4×2＝8（根） 3×3×2＋3×4×4 ＝18＋48 ＝66（平方厘米） 因此需要8根2厘米长的小棒和8根3厘米长的小棒；给这个框架表面糊上牛皮纸，需要66平方厘米的牛皮纸。 15．李阿姨要用硬纸板做一个长25厘米、宽18厘米、高5厘米的礼品盒，至少需要（ ）平方厘米的硬纸板，如果像图这样用彩带捆扎，打结处需要12厘米，这根彩带长（ ）厘米。 【分析】（1）求至少需要多少平方厘米的硬纸板，也就是求长方体礼品盒的表面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把长25厘米、宽18厘米、高5厘米代入长方体表面积公式计算即可求出需要的硬纸板的面积。 （2）观察上图可知：彩带的长包含2个长、2个宽、4个高和打结的长度，即用25×2＋18×2＋5×4＋12可求出这根彩带的长。 【解答】（25×18＋25×5＋18×5）×2 ＝（450＋125＋90）×2 ＝665×2 ＝1330（平方厘米） 25×2＋18×2＋5×4＋12 ＝50＋36＋20＋12 ＝118（厘米） 所以，至少需要1330平方厘米的硬纸板，这根彩带长118厘米。 突破点六正方体的表面积计算及应用 16．两个正方体组成一个立体图形（如图），小正方体的四个顶点正好在大正方体四条棱的中点上。已知小正方体一个面的面积是16dm2，那么这个大立体图形的表面积是（ ）dm2。 【分析】大正方体与小正方体接触的面如图，画两条辅助线如图，将大正方方体一个面平均分成8份，小正方体一个面占4份，即大正方体一个面是小正方体一个面的2倍，小正方体一个面的面积×2＝大正方体一个面的面积，大正方体一个面的面积×6＝大正方体表面积，大立体图形的表面积＝大正方体表面积＋小正方体4个面的面积，据此列式计算。 【解答】16×2×6＋16×4 ＝192＋64 ＝256（dm2） 这个大立体图形的表面积是256dm2。 【点评】关键是掌握并灵活运用正方体表面积公式，看懂大正方体一个面的面积和小正方体一个面的面积之间的关系，先确定大正方体一个面的面积。 17．用棱长1厘米的正方体摆成一个物体。如果从前面、右面和上面看到的都是（如图），那么至少要用（ ）个小正方体，此时摆成的物体的表面积是（ ）平方厘米。 【分析】根据题意，用棱长1厘米的正方体摆成一个物体。如果从前面、右面和上面看到的都是，那么几何体的底层有4个小正方体，上层有前后交叉的2个小正方体，据此解答即可。 根据不规则物体的表面积计算方法，先计算出底层4个小正方体拼成的图形的表面积，然后加上上层2个小正方体的表面积，计算即可。注意上层的2个小正方体都只有一个面与底层的正方体接触。 【解答】 如果从前面、右面和上面看到的都是，那么几何体的底层有4个小正方体，上层有前后交叉的2个小正方体，那么至少要用6个小正方体。 （平方厘米） 此时摆成的物体的表面积是24平方厘米。 18．一个正方体木块的表面积是48平方分米，如果把它截成体积相等的8个正方体小木块，每个小木块的表面积是（ ）平方分米。 【分析】一个正方体木块的表面积是48平方分米，根据正方形的表面积＝边长×边长×6可知，正方体每个面的面积＝表面积÷6。要把这个正方体截成8个正方体小块，需要在正方体的各个边长都取中点（如下图），然后开始截。 由图可知：小木块的每个面的面积＝大正方体每个面的面积÷4，然后再根据正方形的表面积＝单个面的面积×6求解即可。 【解答】48÷6＝8（平方分米） 8÷4×6 ＝2×6 ＝12（平方分米） 故每个小木块的表面积是12平方分米。 突破点七容积及容积单位的认识及选择 19．在括号里填上合适的单位。 （1）一节数学课的时间一般是40（ ）。 （2）一本数学书厚8（ ）。 （3）一个教室的面积约为54（ ）。 （4）一个可乐瓶的容积约是500（ ）。 【分析】根据生活经验，对时间单位、长度单位、面积单位和容积的大小认识，可知计量一节课用“分钟”作单位；计量数学书厚用“毫米”作单位；计量教室面积用“平方米”作单位；计量瓶装可乐用“毫升”作单位。据此解答。 【解答】（1）一节数学课的时间一般是40（分钟）。 （2）一本数学书厚8（毫米）。 （3）一个教室的面积约为54（平方米）。 【点评】一个可乐瓶的容积约是500（毫升）。 20．估一估，杯子中大约有多少毫升水。 容积400毫升         （ ）毫升             （ ）毫升 【分析】看图可知，第二个杯子的水大约是第一个杯子的，第三个杯子的水大约是第一个杯子的，将第一个杯子中的水看作单位“1”，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，列式计算即可。 【解答】400×＝200（毫升） 400×＝100（毫升） 21．点点跟随爸爸开车从家到相距100千米的老家，然后又从老家到旅游村。请你根据下图油表的变化，算一算，老家到旅游村大约（ ）千米。 【分析】先求出每升油走多少千米，根据油表反映的情况，每升油走100÷（60－40）＝5（千米）；然后再求省城到农家乐旅游村的距离，即5×（40-15）＝125（千米），解决问题。 【解答】100÷（60－40） ＝100÷20 ＝5（千米） 5×（40－15） ＝5×25 ＝125（千米） 老家到旅游村大约（125）千米。 突破点八体积及体积单位的认识及选择 22．如图是一个装有水的长方体玻璃缸，水所占空间的大小，是水的（ ），玻璃缸所能容纳水的体积，是玻璃缸的（ ）。（均选填“体积”或“容积”） 【分析】物体所占空间的大小叫做这个物体的体积；一个容器所能容纳的物体所占的体积叫做容积。据此解答。 【解答】如图是一个装有水的长方体玻璃缸，水所占空间的大小，是水的（体积），玻璃缸所能容纳水的体积，是玻璃缸的（容积）。 23．下面每个图形都是由若干个棱长为1厘米的小正方体拼成的，它们的体积各是多少？ （ ）立方厘米      （ ）立方厘米      （ ）立方厘米         （ ）立方厘米 【分析】每个棱长为1厘米的小正方体的体积是1立方厘米，通过观察立体图形有几个这样的小正方体，就有几立方厘米的体积。 【解答】棱长为1厘米的小正方体的体积是1立方厘米， 1×7＝7（立方厘米） 1×18＝18（立方厘米） 1×12＝12（立方厘米） 1×36＝36（立方厘米） 24．填上适当的单位。 花坛中央的一个雕塑的体积约是3（ ）。 一块橡皮的体积约是6（ ）。 一个书柜的表面积约为500（ ）。 一间教室的占地面积约为70（ ）。 一个水杯的容积约为200（ ）。 【分析】根据生活经验以及数据的大小，选择合适的计量单位，即可解答。 【解答】花坛中央的一个雕塑的体积约是3（立方米）。 一块橡皮的体积约是6（立方厘米）。 一个书柜的表面积约为500平（方分米）。 一间教室的占地面积约为70（平方米）。 一个水杯的容积约为200（毫升）。 【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择。 突破点九比较体积和容积的大小 25．超市里把同样的包装盒摆成了三堆（如图）。第（ ）堆的体积最小。第（ ）堆和第（ ）堆的体积一样大。                      第1堆        第2堆           第3堆 【分析】根据图片，每堆包装盒都是由小的长方体包装盒组成的，每个小长方体的大小相等，形状相同，所以谁的小包装盒数量多，谁的体积就大，据此数出组成每堆包装盒的小包装盒数量即可。 【解答】由分析可得： 第1堆小包装盒数量：8个； 第2堆小包装盒数量：6个； 第3堆小包装盒数量：8个； 6＜8，所以第2堆的体积最小，第1堆和第3堆的体积一样大。 【点评】本题解题的关键是通过对图片的分析，将体积大小的比较转换到小包装盒的数量比较上，前提条件是所有的小包装盒要完全一样。 26．如图，球形铁块和正方体铁块，谁的体积大一些？在体积大的括号里画“√”。 【分析】根据铁块浸没水中后溢出水的体积即是铁块的体积可知：要比较球形铁块和正方体铁块，谁的体积大一些，只需要比较球形铁块和正方体铁块浸没在同等水中后溢出水的体积，因为杯子相同，比较球形铁块和正方体铁块浸没在同等水中后溢出水的高度即可。 【解答】观察图可知：正方体铁块浸没水中后溢出水的高度高，所以正方体铁块的体积大一些。 【点评】排出水的体积即为物体的体积。 27．比较下面每组三个容器，哪个杯子已装的液体最多？在下面的□里画“√”。 【分析】观察图形可知，第一组，三个圆柱体容器液体面的高度不一样，中间的高度最高，由于中间容器最大，所以装的液体最多；第二组容器等底等高，哪个杯子里面的液体面高，哪个杯子的液体就多，反之，就少。据此即可解答问题。 【解答】 【点评】本题主要考查了根据液体面的高度和容器的大小来判断容器内液体的体积。 突破点十长方体的体积计算及应用 28．挖一个长50米、宽12米的长方体鱼塘，要使鱼塘的容积是2400立方米，这个鱼塘应该挖（ ）米深。 【分析】根据题意，鱼塘应该挖多深，即求长方体的高，长方体的体积（容积）＝长×宽×高，则长方体的高＝体积（容积）÷长÷宽，代入数据计算即可。 【解答】 （米） 即这个鱼塘应该挖4米深。 29．有一个长方体玻璃鱼缸（如图）。现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面积会不断发生变化。第一次有一组相对的面出现正方形时，正方形的边长是（ ）厘米，鱼缸内有（ ）升的水。 【分析】根据题意，结合图示可知，第一次出现正方形时，要以最短的边长为正方形的边长才合理，即正方形的边长是30厘米；根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出答案。 【解答】40×30×30 ＝1200×30 ＝36000（） 36000＝36000毫升＝36升 所以正方形的边长是30厘米，鱼缸内有36升的水。 30．如图：在无盖的长方体玻璃容器中，摆棱长1分米的小正方体。做这个玻璃容器至少要用玻璃（ ）平方分米，它的容积是（ ）升。 【分析】由题意得：根据无盖长方体中摆满的小正方体个数，长为4分米，宽为3分米，高为5分米，无盖长方体表面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，计算得出玻璃的面积；根据长方体体积＝长×宽×高，计算得出体积。 【解答】由题意得：根据无盖长方体中摆满的小正方体个数，长为4分米，宽为3分米，高为5分米。则需要玻璃： （平方分米） 它的容积是： （立方分米） ＝60升 【点评】本题主要考查的是长方体的表面积、体积，解题的关键是熟练掌握长方体表面积、体积公式，进而计算得出答案。 突破点十一正方体的体积计算及应用 31．一个长方体，高减少2厘米，就成为一个表面积是216平方厘米的正方体，原来长方体的体积是（ ）立方厘米。 【分析】一个长方体，高减少2厘米，就成为一个正方体，说明长方体上下两个面是正方形，正方体表面积÷6＝正方体底面积，也是长方体底面积，根据正方形面积＝边长×边长，确定正方体棱长，正方体棱长＋减少的高＝长方体的高，根据长方体体积＝底面积×高，即可求出原来长方体的体积。 【解答】216÷6＝36（平方厘米） 36＝6×6 6＋2＝8（厘米） 36×8＝288（立方厘米） 原来长方体的体积是288立方厘米。 32．有一个长方体衣橱，从外面量长12分米，宽6分米，高20分米，它的占地面积是（ ）平方分米，这个长方体衣橱所占的空间是（ ）立方分米。 【分析】求占地面积，就是求这个长方体衣橱的底面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出占地面积；求长方体衣橱所占空间，就是求这个长方体的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】12×6＝72（平方分米） 12×6×20 ＝72×20 ＝1440（立方分米） 有一个长方体衣橱，从外面量长12分米，宽6分米，高20分米，它的占地面积是72平方分米，这个长方体衣橱所占的空间是1440立方分米。 33．用棱长的正方体木块，在桌面上拼摆出如图的模型。这个模型的体积是（ ）。在此基础上继续拼摆成一个长方体模型，最少要添加（ ）个这样的木块。 【分析】这个模型有7个正方体，利用正方体的体积棱长棱长棱长，计算出木块的体积，然后计算模型的体积；摆成一个长方体模型，这个长方体模型有3层，每层有6个正方体，由此解答本题。 【解答】正方体木块体积为：（cm3） 则模型体积为：（cm3） 最少添加正方体的个数为： （个） 用棱长1cm的正方体木块，在桌面上拼摆出如图的模型。这个模型的体积是7cm3。在此基础上继续拼摆成一个长方体模型，最少要添加11个这样的木块。 突破点十二长方体和正方体之间的等积变形 34．把一块棱长6厘米的正方体橡皮泥捏成长方体形状，如果捏成的长方体长9厘米，宽4厘米，那么高（ ）厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体体积；把正方体捏成长方体，体积不变；正方体体积＝长方体的体积；再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，高＝体积÷（长×宽），代入数据，求出长方体的高；再根据长方体表面积公式：面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】6×6×6÷（9×4） ＝36×6÷36 ＝216÷36 ＝6（厘米） （9×4＋9×6＋4×6）×2 ＝（36＋54＋24）×2 ＝（90＋24）×2 ＝114×2 ＝228（平方厘米） 把一块棱长6厘米的正方体橡皮泥捏成长方体形状，如果捏成的长方体长9厘米，宽4厘米，那么高6厘米，这个长方体的表面积是228平方厘米。 35．用一根48厘米长的铁丝焊成一个正方体，这个正方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【分析】先利用正方体的棱长总和＝棱长×12，用48厘米除以12，求出正方体的棱长，再通过正方体的表面积公式：和正方体的体积公式：V＝，代入数据即可求出正方体的表面积和体积。 【解答】48÷12＝4（厘米） 6×4×4＝96（平方厘米） 4×4×4＝64（立方厘米） 即这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米。 【点评】此题的解题关键是灵活运用正方体的棱长总和、正方体的表面积、正方体的体积的计算方法。 36．一个长方体水箱，从里面量，长50厘米，宽40厘米，高30厘米，水深20厘米。如果放入一个棱长10厘米的正方体铁块，那么水箱里的水面将上升（ ）厘米。 【分析】根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，水面上升部分的体积等于正方体的体积，再用正方体的体积除以长方体水箱的底面积，即可求出上升的厘米数。 【解答】10×10×10÷（50×40） ＝100×10÷2000 ＝1000÷2000 ＝0.5（厘米） 一个长方体水箱，从里面量，长50厘米，宽40厘米，高30厘米，水深20厘米。如果放入一个棱长10厘米的正方体铁块，那么水箱里的水面将上升0.5厘米。 【点评】解答本题的关键明确水面上升部分的体积等于正方体的体积，进而进行解答。 突破点十三体积单位间的换算 37．5立方分米＝（ ）立方厘米   0.24立方米＝（ ）立方分米 7500立方厘米＝（ ）立方分米 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【解答】5立方分米＝0.005立方厘米 0.24立方米＝240立方分米 7500立方厘米＝7.5立方分米 38．有一个长方体金鱼缸，从里面测量，长0.8米，宽0.2米，高0.5米，里面装有0.3米深的水，鱼缸里水的体积是（ ）立方分米。 【分析】根据长方体体积公式，鱼缸长×宽×水深＝水的体积，据此列式计算，根据1立方米＝1000立方分米，统一单位即可。 【解答】0.8×0.2×0.3＝0.048（立方米）＝48（立方分米） 鱼缸里水的体积是48立方分米。 39．3.5立方米＝（ ）立方分米＝（ ）升；4800立方厘米＝（ ）升＝（ ）毫升。 【分析】高级单位立方米化低级单位立方分米乘进率1000；立方分米与升是等量关系二者互化数值不变； 立方厘米与毫升是等量关系二者互化数值不变；低级单位毫升化高级单位升除以进率1000。 【解答】3.5立方米＝3500立方分米＝3500升；4800立方厘米＝4.8升＝4800毫升 【点评】立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）相邻单位之间的进率是1000，由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率。 突破点十四容积单位间的换算 40．填一填。 4升50毫升＝（ ）升     5.7平方千米＝（ ）公顷＝（ ）平方米 【分析】根据1升＝1000毫升，1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可。 【解答】50÷1000＝0.05（升）、4＋0.05＝4.05（升）； 5.7×100＝570（公顷），570×10000＝5700000（平方米） 4升50毫升＝4.05升；5.7平方千米＝570公顷＝5700000平方米 41．如果把3升水全部倒入下图中的两个长方体水槽中，使它们的水面高度相等，这个高度是（ ）厘米。 【分析】左边长方体的水的体积＋右边水的体积＝3升，左边长方体的高是h，则水的的体积＝长×宽×水的高度，同理右边的水的体积＝长×宽×水的高，且两个水的高度为h，列出方程求出h。注意单位换算，1升＝100毫升，高级单位转化为低级单位用乘法。 【解答】解：设高度为h米。 3升＝3000毫升 6×10×h＋12×15×h＝3000 60h＋180h＝3000 240h＝3000 h＝3000÷240 h＝12.5 则这个高度是12.5厘米。 42．一个长方体玻璃水箱，从里面量，长15厘米，宽10厘米，高20厘米。小明向空水箱里慢慢地注水，水在长方体水箱中也形成长方体。当长方体水箱中第一次出现正方形面时，小明注入了（ ）毫升的水；当第二次出现正方形面时，小明又注入了（ ）毫升的水。 【分析】当水的高度＝水箱的宽时，是第一次出现正方形的面；当水的高度＝水箱的长时，是第二次出现正方形的面，根据长方体体积＝长×宽×高，分别求出两次水的体积即可，第二次水的体积－第一次水的体积＝第二次出现正方形面又注入的水的体积。 【解答】15×10×10＝1500（立方厘米）＝1500（毫升） 15×10×15＝2250（立方厘米）＝2250（毫升） 2250－1500＝750（毫升） 当长方体水箱中第一次出现正方形面时，小明注入了1500毫升的水；当第二次出现正方形面时，小明又注入了750毫升的水。 【点评】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体体积公式。 突破点十五长方体正方体的切拼问题一 43．用三个表面积都是36平方厘米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【分析】一个正方体有6个正方形的面，3个正方体就有6×3＝18个正方形的面，3个正方体拼成一个长方体，有两个拼接处，就减少了2×2＝4个正方形的面，这个长方体的表面积就是18－4＝14个正方形的面积。从“表面积都是36平方厘米的正方体”可知，用36÷6，就可求出正方体一个面的面积，再求14个面的面积即可。 【解答】根据分析，拼图解答如下： 36÷6×（6×3－2×2） ＝6×（18－4） ＝6×14 ＝84（平方厘米） 这个长方体的表面积是84平方厘米。 44．把一根长方体材料沿着横截面锯成3段（如下图），表面积就比原来增加3.6dm2，如果锯成4段，表面积比原来增加（ ）dm2；原来这根木料的体积是（ ）dm3。 【分析】图中把一根长方体材料沿着横截面锯成3段，表面积就比原来增加了4个横截面面积，据此用3.6除以4即可求出一个横截面的面积。如果锯成4段，表面积比原来增加了6个横截面的面积，用一个横截面面积乘6即可求出增加的面积。 长方体的体积＝底面积×高＝横截面面积×长，据此解答。 【解答】3.6÷4×6 ＝0.9×6 ＝5.4（dm2） 3.6÷4×24 ＝0.9×24 ＝21.6（dm3） 则如果锯成4段，表面积比原来增加5.4dm2；原来这根木料的体积是21.6dm3。 45．如图所示，一个长方体是由三个同样的正方体拼成的，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少32平方厘米。原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【分析】观察图形可知，如果去掉上面一个正方体，表面积就比原来减少了4个正方形的面积，据此用32除以4即可求出一个正方形的面积。原来的长方体上、下面一共有2个正方形，四个侧面一共有12个正方形，则表面积等于14个正方形的面积之和，据此用一个正方形的面积乘14，即可求出原来长方体的表面积。 【解答】32÷4×（12＋2） ＝8×14 ＝112（平方厘米） 则原来长方体的表面积是112平方厘米。 突破点十六长方体正方体的切拼问题二 46．把一个长24厘米，宽5厘米，高5厘米的长方体木料切割成最大的正方体，正方体的体积是（ ）立方厘米，最多能切成（ ）个这样的正方体。 【分析】将长方体切割成最大的正方体，长方体的长、宽、高中最短的就是正方体的棱长，所以正方体的棱长为5厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”可求出正方体的体积。由于长方体的宽和高都是5厘米，所以只需要看24厘米里面包含多少个5厘米，最多就能切成多少个这样的正方体。据此解答。 【解答】5×5×5＝125（立方厘米） 24÷5＝4（个）……4（厘米） 所以，最大正方体的体积是125立方厘米，最多能切成4个这样的正方体。 47．在一个从里面量长6厘米，宽2厘米，高3厘米长方体纸盒内，摆体积是1立方厘米的小正方体木块。一行可以摆（ ）个，一层可以摆（ ）行，可以摆（ ）层，一共可以摆（ ）个木块。这个长方体纸盒所含的（ ）的多少，就是这个纸盒里面体积单位的个数，也就是这个纸盒的（ ）。 【分析】已知小正方体的体积是1立方厘米，根据正方体的体积公式V＝a3，可知小正方体的棱长是1厘米；先用除法求出长方体的长、宽、高里面各有几个1厘米即可确定每行摆几个、摆几行以及几层，然后相乘即是摆的小正方体的总个数；最后根据体积单位及容积的概念解答。 【解答】因为1×1×1＝1（立方厘米），所以小正方体木块的棱长是1厘米。 6÷1＝6（个） 2÷1＝2（行） 3÷1＝3（层） 6×2×3＝36（个） 一行可以摆6个，一层可以摆2行，可以摆3层，一共可以摆36个木块。这个长方体纸盒所含的小正方体的多少，就是这个纸盒里面体积单位的个数，也就是这个纸盒的容积。 48．把3米长的长方体材料（如图），平均锯成3段，表面积比原来增加3.6平方分米，原来这根木料的体积是（ ）立方分米。 【分析】长方体材料平均锯成3段，需要锯（3－1）次，每锯一次增加2个面，据此确定增加的截面数量，增加的表面积÷增加的截面数量＝截面积，根据长方体体积＝截面积×长，列式计算即可，注意统一单位。 【解答】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 3.6÷4＝0.9（平方分米） 3米＝30分米 0.9×30＝27（立方分米） 原来这根木料的体积是27立方分米。 突破点十七组合体的表面积 49．由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是（ ）平方厘米。 【分析】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长6厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是l厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可解答。 【解答】1×1×4×4＋2×2×4×4＋6×6×6 ＝4×4＋4×4×4＋36×6 ＝16＋16×4＋216 ＝16＋64＋216 ＝80＋216 ＝296（平方厘米） 这个立体图形的表面积是296平方厘米。 50．下图是棱长为8cm的正方体堆放在墙角，有（ ）个面露在外面，露在外面的面积一共是（ ）cm2。 【分析】露在外面的面是前面、上面和右面，从前面看有4个小正方形，从上面看有4个小正方形，从右面看有3个小正方形，用正方体棱长×棱长，先求出一个小正方形的面积，再乘露在外面的小正方形个数即可。 【解答】4＋4＋3＝11（个） 8×8×11＝704（cm2） 有11个面露在外面，露在外面的面积一共是704cm2。 51．如图，在一个边长为6分米的正方体木块的右上方截去一个长6分米、宽3分米、高28厘米的长方体木块，则剩余木块的表面积为 平方分米。 【分析】先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，用6×6×6求出原来正方体木块的表面积，截去一个长6分米、宽3分米、高28厘米的长方体木块，前后面减少2个长为3分米，宽28厘米的长方形面积，根据长方形的面积＝长×宽，用3×2.8×2即可求出减少的面积，然后用原来的表面积减去减少的面积，即可求出剩余木块的表面积。 【解答】6×6×6＝216（平方分米） 28厘米＝2.8分米 3×2.8×2＝16.8（平方分米） 216－16.8＝199.2（平方分米） 剩余木块的表面积为199.2平方分米。 突破点十八组合体的体积 52．在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1厘米的正方形（如图），挖洞后木块的体积是（ ）立方厘米。 【分析】所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞（长方体）的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1cm的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【解答】3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2 ＝27－9＋2 ＝20（立方厘米） 挖洞后木块的体积是20立方厘米。 53．明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是（ ）cm3。 【分析】从上面看，几何体最下层有3个小正方体；从正面看，有2层，下层有2个小正方形体，上层有2个小正方体；从左面看有2层，上层1个小正方体，下层2个小正方体，可知这个几何体是，共有5个小正方体组成；根据正方体的体积：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出1个小正方体的体积，进而求出几何体的体积。 【解答】根据分析可知，几何体为，一共由5个小正方体组成。 1×1×1×5 ＝1×1×5 ＝1×5 ＝5（cm3） 明明用一些棱长为1cm的小正方体搭建成一个几何体，从三个角度观察所得的图形如下图，那么这个几何体的体积是5cm3。 54．将棱长1cm的正方体木块堆积在墙角，组成如图所示的立体图形，它的体积是（ ）cm3，露出外面的面积和是（ ）cm2。 【分析】看图可知，正方体堆了4层，第1层9个小正方体，第1层4个小正方体，第3层和第4层都是1个小正方体，棱长1cm的正方体，体积是1cm3，据此确定小正方体的个数就是组成的立体图形的体积。 从前面看有7个小正方形，从上面看有9个小正方形，从右面看有7个小正方形，边长1cm的正方形，面积是1cm2，据此确定小正方形的个数就是露出外面的面积和。 【解答】9＋4＋1＋1＝15（cm3） 7＋9＋7＝23（cm2） 它的体积是15cm3，露出外面的面积和是23cm2。 突破点十九测量不规则物体的体积 55．乐乐测量一块石头的体积，做了两个实验（如下图）。其中方法（ ）是正确的。这块石头的体积是（ ）。 【分析】由于把石头放入水中，水完全淹没了石头，根据不规则物体体积的计算方法：容器的底面积×水面上升的高度＝物体的体积，容器为长方体时，长方体体积＝长×宽×高，据此代入数据即可求解。 【解答】由分析可知：测量时，投入石头了，水完全淹没石头，上升的水的体积等于石头的体积；方法②，只有投入石头后，水的高度，无法根据所学正方体或长方体相关体积计算方法测量出石头的体积。 根据方法①，测量石头的体积： 20×15.7×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） 所以，乐乐测量一块石头的体积，做了两个实验（如下图）。其中方法①是正确的。这块石头的体积是4710立方厘米。 56．在一个长8分米，宽6分米，高4分米的长方体水槽中注满水，然后把一条长3分米、宽2分米，高6分米的长方体铁棒立着放入池中，水槽溢出的水的体积是（ ）。 【分析】通过观察可知，长方体铁棒在池中的高度是4分米，长方体铁棒在水中的体积就是排出水的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，用3×2×4即可求出水槽溢出的水的体积。 【解答】3×2×4＝24（立方分米） 水槽溢出的水的体积是24立方分米。 57．一个长5分米，宽3.6分米，高6分米的长方体容器中盛有一些水，水面的高度是4分米，放入一个石块后（石块完全没入水中），水面的高度是4.8分米，则石块的体积是（ ）立方分米。 【分析】根据题意，上升部分的体积就是石头的体积，上升部分的形状是个长方体，结合长方体的体积公式V＝abh，解答即可。 【解答】5×3.6×（4.8－4） ＝5×3.6×0.8 ＝18×0.8 ＝14.4（立方分米） 石块的体积是14.4立方分米。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$