14圆的双切线模型及其应用-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

圆的双切线模型及其应用 ■河南省沈丘县第一高级中学 刘 玉 圆的双切线模型是圆中常见的一类题 型,所涉知识点多且综合性强,思想方法深 刻,又能很好地融入创新情景,因此颇受命题 人的青睐。下面将系统地梳理圆的双切线模 型中常见结论及应用,以期提升同学们对此 类问题的理解。 图1 如图1,双切线模 型 即 从 圆 外 任 一 点 P(x0,y0)向 圆 C: (x-a)2+(y-b)2= r2 引两条切线,切点分 别为 A,B,我们把线 段 PA,PB 的长度叫 做切线长。设圆的半 径为r,则四边形PACB 具有如下性质。 1.△PBC≌△PAC,|PA|=|PB|,PC 平分∠APB,∠ACB。 (证明:连接AC、BC,由圆的几何性质可 得AC⊥AP,BC⊥BP。由切线长定理可得 |PA|=|PB|。又因为|AC|=|BC|,|PC| =|PC|,所 以 Rt△PAC≌Rt△PBC,则 ∠APC=∠BPC,∠ACP=∠BCP。) 2.BC⊥BP,CA⊥AP⇔P,A,C,B 四 点共圆⇔∠APB+∠ACB=180°,且四边形 PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,其方 程为(x-x0)(x-a)+(y-y0)(y-b)=0。 3.切点弦 AB 的方程为(x0-a)(x- a)+(y0-b)(y-b)=r2。 进一步,若点P 在定直线l(l与圆C 相 离)上,则: (1)直线AB 过定点T; (2)线段AB 中点D 的轨迹是以圆心C、 定点T 为直径的圆。 说明:根据P,A,B,C 四点共圆可将切 点弦AB 所在直线转化为以PC 为直径的圆 和圆C 的公共弦所在的直线,两圆方程直接 相减即得直线AB 的方程。当然,也可以将 线段AB 看成以P 为圆心,PA(或PB)为半 径的圆与圆C 的公共弦。另外,根据上述求 解过程得到直线AB 的方程,结合点P 在定 直线上,即可得到结论(1)(2)。 4.与切线长相关的计算问题。 (1)切 线 长 问 题,|PA|=|PB|= |PC|2-r2= (x0-a)2+(y0-b)2-r2。 当半径给定,切线长最小等价于|PC|最 小。 (2)面 积 问 题,S四边形PACB =2·S△PBC = |BC|·|PB|=r· |PC|2-r2。 当半径一定时,四边形PACB 的面积最 小等价于|PC|的值最小。 (3)角度问题,设∠BPC=θ,则∠APB =2θ且sin θ= |AC| |PC|= r |PC| ,tan θ= |AC| |PA| = r |PA| 。 sin ∠APB=sin 2θ= 2sin θcos θ sin2 θ+cos2 θ = 2tan θ tan2 θ+1 = 2 r |PA| r |PA| 2 +1 = 2r r2 |PA|+|PA| 。 cos ∠APB=cos 2θ=1-2sin2 θ=1- 2· r|PC| 2 。 (4)切点弦长问题,由S四边形PACB=|BC|· |PB|= 1 2|AB| ·|PC|,可 得|AB|= 2|BC|·|PB| |PC| =2r · 1- r2 |PC|2 。 (5)向量问题,PA→·PB→=|PB→|·|PA→|· cos 2θ=(|PC|2-r2)· 1-2· r|PC| 2 = |PC|2+ 2r4 |PC|2 -3r2。 可以看到,该模型中的很多几何量最终 都可以通过转化建立关于|PC|的函数。在 05 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 处理问题时可以借助图像,将其转化为圆心 到直线的距离问题,也可以借助曲线方程从 代数角度入手。下面我们将通过例子详细展 示圆的双切线模型的应用,进一步体会相关 结论的用途。 一、与切线长有关的问题 例 1 已知☉C:x2-2x+y2-1=0, 直线l:y=x+3,P 为l上一个动点,过点P 作☉C 的切线PM,切点为 M,则|PM|的最 小值为 。 图2 解析:如 图 2 所示,圆 C 的方程 为(x-1)2+y2= 2,圆心为C(1,0), 半径r= 2。 因为PM 为圆 C的切线且 M 为切 点,所以PM⊥MC。 则|PM|2=|PC|2-|CM|2=|PC|2- r2=|PC|2-2。 当|PC|的值最小时,|PM|取最小值。 设圆心C 到直线l的距离为d。 因为|PC|≥d= |1+3| 12+12 =22,所以 |PM|2≥(22)2-2=6,即|PM|的最小值 为 6。 例 2 已知圆C:(x-2)2+(y-6)2= 4,点 M 为直线l:x-y+8=0上一个动点, 过点 M 作圆C 的两条切线,切点分别为A, B,则当四边形CAMB 周长取最小值时,四 边形CAMB 的外接圆方程为( )。 A.(x-7)2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y-7)2=4 C.(x-7)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-7)2=2 解析:圆C:(x-2)2+(y-6)2=4的圆 心为C(2,6),半径r=2。 点C 到直线l的距离d= |2-6+8| 12+(-1)2 =22,依题意知CA⊥AM。 四边 形 CAMB 的 周 长 为 2|CA|+ 2|AM|=4+2 |CM|2-|CA|2 ≥4+ 2 d2-4=4+2 (22)2-4=8,当且仅当 CM⊥l时取等号。 此时直线CM:x+y-8=0。 由 x-y+8=0, x+y-8=0, 联立得点 M(0,8)。 四边形 CAMB 的外接圆圆 心 为 线 段 CM 的中点(1,7),半径为 2,方程为(x- 1)2+(y-7)2=2。 故选D。 评析:例1、例2考查了切线长度的计算, 根据图像和切线长的公式,结合点到直线的 距离公式,可求得最小值。 二、与角度相关的问题 例 3 已知圆C:(x-1)2+(y-4)2= 10上存在两点A、B,P 为直线x=5上的一 个动点,且满足AP⊥BP,则点P 的纵坐标 的取值范围是 。 解析:要使AP⊥BP,即∠APB 的最大 值要大于或等于90°。 显然当PA 切圆C 于点A,PB 切圆C 于点B 时,∠APB 最大。 此时 ∠CPA ≥45°,则 sin ∠CPA = |CA| |CP|≥ 2 2 。 设点P(5,y0),则 10 16+(y0-4)2 ≥ 2 2 , 解得2≤y0≤6。 例 4 已知P 3,4-22 ,过点P 作 圆C:(x-a)2+(y-a-1)2=1(a 为参数, 且a∈R)的两条切线分别切圆C 于点A、B, 则sin ∠APB 的最大值为( )。 A.1 B. 1 2 C. 3 2 D. 6 4 解析:圆心C(a,a+1),半径为1,圆心 C 在直线y=x+1上运动。 设∠APC=θ,则∠APB=2θ。由圆的 几何性质可知tan θ= |AC| |PA|= 1 |PA| 。 所 以,sin ∠APB = sin 2θ = 15 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 2sin θcos θ sin2 θ+cos2 θ = 2tan θ tan2 θ+1 = 2 tan θ+ 1 tan θ = 2 1 |PA|+|PA| 。 当直线 PC 与直线y=x+1垂直时, |PC|取最小值,|PA|= |PC|2-1的取值 也最小。 因|PC|min= |3-(4-22)+1| 2 =2,故 |PA|min= 22-1= 3,即|PA|≥ 3。 由对勾函数的单调性可知,函数y=x+ 1 x 在[3,+∞)上为增函数,且y=x+ 1 x> 0,故函数f(x)= 2 x+ 1 x 在[3,+∞)上单调 递减。 当|PA|= 3时,sin ∠APB 取得最大 值 23 4 = 3 2 。 故选C。 评析:例3、例4考查了角度的最值问题, 难度中等偏上。例3是通过数形结合的思想 将存在性问题转化为角度的最值问题,利用 三角函数处理;而例4是利用代数法表示出 角的正弦,结合函数的单调性求最值。 三、与面积相关的问题 例 5 若P 是直线l:3x+4y-9=0 上一动点,过P 作圆C:x2+y2+4x=0的两 条切线,切点分别为 A,B,则四边形 PACB 面积的最小值为( )。 A.5 B.25 C.7 D.27 解析:因为直线与圆相切,所以∠PAC =∠PBC=90°,且△PAC≌△PBC。 所以四边形PACB 的面积S=2S△PAC= 2× 1 2×|AC| ·|PA|=2|PA|。 易 知|PA|= |PC|2-|AC|2 = |PC|2-4,故当|PC|取最小值时,|PA| 的值最小,四边形PACB 面积的值最小值。 分析可得,|PC|的最小值即为点C 到直 线3x+4y-9=0的距离。 所以|PC|min= |3×(-2)-9| 32+42 =3。 此时|PA|min= 9-4= 5。 所以四边形 PACB 面积的最小值S= 2|PA|=25,选B。 例 6 已知☉M:x2+y2-2x-2y-2 =0,直线l:2x+y+2=0,P 为l上的动点, 过点P 作☉M 的切线PA,PB,切点分别为 A、B,当|PM|·|AB|的值最小时,直线AB 的方程为( )。 A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y- 1)2=4。 点M 到直线l的距离d= |2×1+1+2| 22+12 = 5>2,所以直线 l与圆相离。 由圆的知识可知,四点A,P,B,M 四点 共圆,且 AB⊥MP,所以|PM|·|AB|= 4S△PAM=4× 1 2×|PA|×|AM|=4|PA| 。 |PA|= |MP|2-4。 当直 线 MP ⊥l 时,|MP|min = 5, |PA|min=1,此时|PM|·|AB|的值最小。 此时 MP:y-1= 1 2 (x-1),即 y= 1 2x+ 1 2 。由 y = 1 2x+ 1 2 , 2x+y+2=0, 解得 x=-1,y=0。 所以以 MP 为直径的圆的方程为(x- 1)(x+1)+y(y-1)=0,即 x2+y2-y- 1=0。 两圆的方程相减可得2x+y+1=0,即 为直线AB 的方程。选D。 评析:例5可直接表达出四边形的面积, 例6则 是 利 用 等 积 法 的 思 想 将 线 段 乘 积 |PM|·|AB|的最值问题转化为四边形面 积的最值问题,两者最终均化归为线段的最 值问题,进而转化为点到定直线的距离问题。 四、与切点弦长相关的问题 例 7 已知圆C:x2+y2-4x-2y+1 25 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 =0,点P 是直线y=4上的动点,过P 作圆 的两条切线,切点分别为A、B,则|AB|的最 小值为( )。 A. 25 3 B. 45 3 C. 25 5 D.5 解析:圆C:x2+y2-4x-2y+1=0化 为标准方程(x-2)2+(y-1)2=4。 其圆心C(2,1),半径r=2。 图3 过点P 引圆C 的两 条切线,切点分别为点 A、B,如图3所示。 在△PAC 中,S△PAC = 1 2×|CA|×|AP|= 1 2× |AB| 2 ×|CP| ,即 |AP|= |AB| 4 ×|CP| 。 变形可得|AB|= 4|AP| |CP| 。 设|CP|=x,则|AB|= 4 x2-4 x = 4 1- 4 x2 。 所以当|CP|的值即x 取最小值时, 4 x2 的值最大,此时|AB|的值最小。 而|CP|的最小值为点C 到直线y=4的 距离,即|CP|min=3。 所以|AB|min=4 1- 4 32 = 45 3 。选B。 例 8 已知动点 P 在抛物线y2=4x 上,过点P 引圆C:(x-3)2+y2=1的切线, 切点分别为A,B,则|AB|的最小值为 。 解析:由圆C:(x-3)2+y2=1,可得圆 心为C(3,0),半径r=1。 S四边形APBC= 1 2|AB||PC|=2S△APC=2× 1 2×|AP||AC|=|AP| 。 所以|AB|= 2|AP| |PC| 。 图4 如 图 4,在 直 角 △PAC 中,可得|AP|= |PC|2-|AC|2 = |PC|2-1。 所以|AB|= 2|AP| |PC| = 2 |PC|2-1 |PC| = 2 1- 1 |PC|2 。 设P(x0,y0),则|PC|2=(x0-3)2+y20= (x0-3)2+4x0=x20-2x0+9=(x0-1)2+8, 当x0=1时,|PC|2 取得最小值,最小值为8。 所以|AB|的最小值为2 1- 1 8= 14 2 。 评析:例7、例8利用四边形APBC 的面 积等于2S△APC 和圆的切线长公式,得到切点 弦|AB|的表达式,结合函数的性质,即可求 解最值问题。 五、与向量相关的问题 例 9 已知点P 是直线l:x+y+4=0 上一动点,过点P 作圆C:(x+1)2+(y+1)2 =1的两条切线,切点分别为A、B,则PA→· PB→ 的最小值为( )。 A.0 B.1 C.2 D.2 解析:圆C:(x+1)2+(y+1)2=1的圆 心为C(-1,-1),半径为1。 点C 到直线l:x+y+4=0的距离d= |-1-1+4| 2 = 2。 图5 如 图 5 所 示,连 接 AC、BC,由圆的几何性质 可 得 AC⊥ AP,BC ⊥ BP。 由切 线 长 定 理 可 得 |PA|=|PB|。 又 因 为|AC| = |BC|,|PC|=|PC|,所 以 Rt△PAC ≌ Rt△PBC,则∠APC=∠BPC。 设∠APC=∠BPC=θ,则∠APB=2θ, sin θ = |AC| |PC| = 1 |PC| ,|PA| = 35 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 |PC|2-|AC|2= |PC|2-1。 因此,PA→·PB→=|PA→|·|PB→|cos 2θ =|PA→|2(1-2sin2 θ)=(|PC|2-1)· 1- 2 |PC|2 =|PC|2+ 2|PC|2-3。 由图5可知,当PC⊥l时,|PC|取最小 值,即|PC|2≥d2=2。 由对勾函数的单调性可知,函数y=x+ 2 x-3 在[2,+∞)上单调递增。 故当|PC|= 2,即CP⊥l时,PA→·PB→ 取最小值,且最小值为2+ 2 2-3=0 。选A。 评析:由平面向量数量积的定义结合二 倍角的余弦公式可得出PA→·PB→=|PC|2+ 2 |PC|2 -3,结合对勾函数的单调性可求 得 PA→·PB→ 的最小值。 六、与定点、轨迹相关的问题 图6 例 10 如 图 6,圆 M:(x-2)2+ y2=1,点 P(-1,t) 为直线l:x=-1上 一动点,过点P 引圆 M 的两条切线,切点 分别为A,B。 (1)求直线AB 的方程,并写出直线AB 所经过的定点的坐标; (2)求线段AB 中点的轨迹方程。 解析:(1)因为 PA,PB 是圆 M 的两条 切线,所以 MA⊥PA,MB⊥PB,P,A,M,B 四点共圆。 连接 MA,MB,MP,设 MP 中点为Q。 因为圆 M:(x-2)2+y2=1①,所以圆 心 M(2,0),Q 12 ,t 2 。 PM= (2+1)2+t2= t2+9,圆Q 的 半径r= t2+9 2 。 故圆 Q 的方程为 x- 1 2 2 + y- t 2 2 = t2+9 4 ,即x2+y2-x-ty-2=0。② 易知线段AB 是圆M 和圆Q 的公共弦。 ②-①可得直线 AB 的方程为3x- ty-5=0。 故直线AB 经过定点T 53 ,0 。 (2)方法一(几何法) 由(1)知直线AB 经过定点T 53 ,0 。 因此,线段AB 中点的轨迹是以圆心M、 定点T 为直径的圆。 故线段AB 中点的轨迹方程为 x- 11 6 2 +y2= 1 36 (x≠2)。 方法二(代数法) 因为 kPM = t-0 -1-2=- t 3 ,所 以 直 线 PM 的方程为y=- t 3 (x-2),即tx+3y- 2t=0。 联立 3x-ty-5=0, tx+3y-2t=0, 消去t得: x- 11 6 2 +y2= 1 36 。 又线段AB 的中点即为直线AB 与PM 的交点,且x≠2,故线段 AB 中点的轨迹方 程为 x- 11 6 2 +y2= 1 36 (x≠2)。 评析:第一小问由圆与圆的性质可得直 线AB 的方程,从而求得所过的定点。第二 小问的两种方法各有特色,几何法结合图像 特点和圆的定义,避繁就简,考查同学们的分 析推理能力;而代数法通过联立直线PM 和 AB 的方程,利用消参法求得AB 中点的轨迹 方程。 圆的双切线模型,以圆为命题背景,体现 了“几何”与“代数”的融合,在求解过程中,既 综合考查直线与圆的方程、直线与直线的位 置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置 关系等知识,又考查转化与化归、数形结合、 函数与方程等数学思想,从而培养了同学们 的直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素 养。 (责任编辑 徐利杰) 45 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月