06高二期末创新模拟卷(4)-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

高二期末创新模拟卷(4) ■河南省商丘市第一高级中学 张志华 一、单选题(本题共8小题,每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1.函数f(x)=xln x-3的导函数是 ( )。 A.ln x-2 B.ln x+1 C.ln x+2 D.ln x-4 2.已知变量y 关于变量x 的回归方程为 ŷ=bln x+0.24,其一组数据如表1所示。 表1 x e e3 e4 e6 e7 y 1 2 3 4 5 若x=e10,则y 的值大约为( )。 A.4.94 B.5.74 C.6.81 D.8.04 3.现有m 位同学,若站成一排,且甲同学 在乙同学左边的站法共有60种,那么这m 位同 学围成一个圆时,不同的站法种数为( )。 A.24 B.48 C.60 D.120 4.x+y 2 x (x+y)5 的展开式中 x3y3 的系数为( )。 A.5 B.10 C.15 D.20 图1 5.已知函数f(x) 的部 分 图 像 如 图1所 示,则该函数的解析式 可能是( )。 A.f(x)=xln x B.f(x)=xex C.f(x)= ln x x D.f(x)=ex+2x3 6.设a∈N(0≤a<28),若512 024+a 能 被13整除,则a的值为( )。 A.12 B.12或25 C.14 D.14或27 7.孪生素数(素数即质数)猜想是希尔伯 特在1900年提出的23个数学问题之一,该 问题可以直观描述为:存在无穷多个素数p, 使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪 生素数。从8个数对(3,5),(5,7),(7,9), (9,11),(11,13),(13,15),(15,17),(17,19) 中任取3个,设取出的孪生素数的个数为X, 则E(X)=( )。 A. 3 8 B. 1 2 C.3 D. 3 2 8.已知随机变量 X~B(n,p),记f(n, p)=P(X=n-1)+P(X=n),记f(n,p) 在p∈[0,1]内的最大值为F(n)。若正整数 a,b满足a>b>2 024,则F(a)与F(b)的大 小关系是( )。 A.F(a)>F(b) B.F(a)=F(b) C.F(a)<F(b) D.无法确定 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求。全部选对得6分,部分选 对的得部分分,有选错的得0分。) 9.从4名男生和4名女生中选出4人组 成一支队伍去参加一项辩论赛,下列说法正 确的是( )。 A.如果参赛队中男生和女生各2名,那 么一共有36种选法 B.如果男生甲和女生乙必须入选,那么 一共有30种选法 C.如果至少有1名女生入选,那么一共 有140种选法 D.如果4人中必须既有男生又有女生, 那么一共有68种选法 10.下列说法不正确的是( )。 A.P(B|A)<P(AB) B.P(B|A)= P(B) P(A) 是可能的 C.0<P(B|A)<1 D.P(A|A)=0.9 11.已知函数f(x)是定义在 R 上的奇 函数,当x<0时,f(x)= x+2 ex ,则下列说法 正确的是( )。 A.曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切 线方程为y=e2(x-2) 12 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 B.不等式f(x)≤0的解集为(-∞, -2]∪(0,2] C.当x∈(-2,2)时,f(x)的值域为(-e,e) D.若关于x 的方程|f(x)|=a 有6个 实根,则a∈(2,e) 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分。) 12.某物体的运动方程为s=2t2+t- 1,其中s表示位移,单位是 m,t表示时间, 单位是s,则该物体在第2 s时的瞬时速度 为 m/s。 图2 13.将变量 x,y 对应 的 6 组 数 据 对 (xi,yi)(i=1,2,3, 4,5,6)制成如图2所 示的散点图(点旁的 数据为该点的坐标), 并由最小二乘法计算得到经验回归方程ŷ= b̂x+̂a,样本相关系数为r,现给出以下结论: ①r>0;②经验回归直线恰好过点D;③̂b> 1。其中正确的是 (填序号)。 14.关于x,y,z 的三元一次方程x+ y+z=n(n∈N,n≥3),该方程有 组正整 数解。 四、解答题(本题共5小题,共77分,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(本小题13分)由数字1,2,3,4,5组 成无重复的五位数。 (1)一共可以组成多少个五位偶数? (2)在组成的所有五位数中,比32 145 大的五位数有几个? 16.(本小题15分)若函数f(x)=ax3+ bx,当x=-2时,函数f(x)有极值 16 3 。 (1)求函数f(x)的解析式; (2)求曲线y=f(x)过点P(3,-3)的 切线方程。 17.(本小题15分)请从下列三个条件中 任选一个,补充在下面的横线上并解答问题。 ①第2项与第3项的二项式系数的比值是 2 5 ;②第2项与第3项的系数比值的绝对值 为 4 5 ;③展开式中有且只有第4项的二项式 系数最大。 已知在 2x- 1 x n (n∈N*)的展开式中 。 (1)求展开式中的常数项,并指出是第几项; (2)求展开式中的所有有理项。 18.(本小题17分)某中学高二年级为了 解学生主动预习与学习兴趣是否有关,随机 抽取一个容量为n的样本进行调查。调查结 果表明,主动预习的学生占样本容量的13 15 ,学 习兴趣高的学生占样本容量的 2 3 ,主动预习 且学习兴趣高的学生占样本容量的 3 5 。 (1)完成如表2所示的2×2列联表,若 依据小概率值α=0.05的χ2 独立性检验,认 为主动预习与学习兴趣有关,求样本容量n 的最小值。注:P(χ2≥3.841)=0.05。 表2 单位:人 预习 学习兴趣 高 一般 合计 主动 3 5n 13 15n 不太主动 合计 2 3n n (2)该校为了提高学生的数学学习兴趣, 用分层随机抽样的方法从学习兴趣一般的学 生中抽取15人,组成数学学习小组。现从该 小组中随机抽取3人进行摸底测试,记3人 中不太主动预习的人数为X,求X 的分布列 和数学期望E(X)。 19.(本小题17分)已知函数 f(x)= 2ln x+x2+ax(a∈R)。 (1)当a=2时,求f(x)的图像在(1, f(1))处的切线方程; (2)当 a< -4 时,求 函 数 f(x)= 2ln x+x2+ax 的极值点; (3)若函数g(x)=f(x)-2x2-ax- 2ln x+mex 有两个零点,求实数m 的取值范围。 (责任编辑 徐利杰) 22 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 一、单选题 1.B 提示:f'(x)=x'ln x+x(ln x)' =ln x+1。 2.C 提 示:令 t=ln x,则 ŷ=bt+ 0.24,t = 1+3+4+6+7 5 = 4.2 ,􀭵y = 1+2+3+4+5 5 =3 。所 以 3=b·4.2+ 0.24,解得b= 23 35 。故当x=e10 时,y 的值大 约为6.81。 3.A 提示:因为站成一排时甲在乙左 边与甲在乙右边的站法数相同,而m 位同学 站成一排有Amm 种站法,所以 1 2A m m=60,解得 m=5。因此,5位同学围成一个圆的站法总 数为 1 5A 5 5=24。 4.C 提示:因为 x+y 2 x (x+y)5= (x2+y2)(x+y)5 x ,所以展开式x3y3 的系数 即为(x2+y2)(x+y)5 展开式中x4y3 的系 数。展开式中含 x4y3 的项为 x2C25x2y3+ y2C45x4y=15x4y3,故 x+ y2 x (x+y)5 的展 开式中x3y3 的系数为15。 5.C 提示:选项A,f'(x)=ln x+1,当 x∈ 0, 1 e 时,f'(x)<0 ,f(x)单调递减,故 A错误。选项B,f'(x)=(x+1)ex,当x∈ (-1,+∞)时,f'(x)>0 ,f(x)单调递增, 故B错误。选项 D,f'(x)=ex+6x2>0, f(x)单调递增,D错误。故选C。 6.B 提示:因为51=52-1,512 024= (52-1)2 024 = C02 024522 024 - C12 024522 023 + C22 024522 022-C32 024522 021+…-C2 023 2 024521+1,且 52能被13整除,所以需要a+1能被13整 除。又a∈N(0≤a<28),故a=12或25。 7.D 提示:由题意可知,8个数对中孪生 素数有(3,5),(5,7),(11,13),(17,19)4对,则 X 的可能取值为0,1,2,3。P(X=0)= C34 C38 = 1 14 ,P(X=1)= C14C24 C38 = 3 7 ,P(X=2)= C24C14 C38 = 3 7 ,P(X=3)= C34 C38 = 1 14 ,所以E(X)=0× 1 14+ 1× 3 7+2× 3 7+3× 1 14= 3 2 。 8.B 提示:P(X=k)=Ckn(1-p)n-kpk (k=0,1,2,…,n),则f(n,p)=Cn-1n (1-p)· pn-1+Cnn(1-p)0pn=(1-n)pn+npn-1。 设g(p)=(1-n)pn+npn-1,p∈[0, 1],则g'(p)=n(1-n)pn-2(p-1)。 当n≥2时,n(1-n)<0,pn-2≥0,p- 1≤0,所以g'(p)≥0,g(p)在[0,1]上单调 递增,故F(n)=g(1)=1-n+n=1。因此, F(a)=F(b)=1。 二、多选题 9.AD 提示:选项A,男生和女生各选2 名,有C24·C24=36(种)选法,故 A正确。选 项B,男生甲和女生乙必须入选,有C26=15 (种)选法,故B错误。选项C,先求没有女生 入选的选法,然后用总数减去没有女生入选 的选法,所以至少有1名女生入选有C48-C44 =69(种)选法,C错误。选项D,用总数减去 只有男生和只有女生的选法,所以4人中必 须既有男生又有女生有C48-C44-C44=68(种) 选法,D正确。 10.ACD 提 示:由 条 件 概 率 公 式 P(B|A)= P(AB) P(A) 及 0<P(A)≤1 知, P(B|A)≥P(AB),A不正确。当事件A 包 含事 件 B 时,有 P(AB)=P(B),此 时 P(B|A)= P(B) P(A) ,B正确。0≤P(B|A)≤ 1,P(A|A)=1,故C,D不正确。 39 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 11.AD 提示:函数f(x)是定义在R上 的奇函数,故f(0)=0。因为当x<0时, f(x)= x+2 ex ,所 以 当 x>0时,-x<0, f(-x)= -x+2 e-x =-(x-2)ex,即f(x)= -f(-x)=(x-2)ex,故f'(x)=(x-1)· ex,f'(2)=e2。又f(2)=0,所以曲线y= f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y= e2(x-2),故 A 正确。由题意知 f(x)= (x-2)ex,x>0, 0,x=0, x+2 ex ,x<0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 令f(x)≤0,则当 x<0 时,x+2 ex ≤0,解得x≤-2;当x>0时,(x- 2)ex≤0,解得0<x≤2;当x=0时,f(x)= 0,符合题意。故f(x)≤0的解集为(-∞, -2]∪[0,2],故 B不正确。当 x>0时, f'(x)=(x-1)ex,易得当x>1时,f'(x)> 0,f(x)单调递增;当0<x<1时,f'(x)<0, f(x)单调递减。故当x=1时,f(x)取极小 值-e。当x∈(0,+∞)时,x→0,f(x)→ -2;x→+∞,f(x)→+∞,函数f(x)是定 图1 义在 R 上的奇函数,图像 关于原点对称,根据以上 信息,作出y=f(x)的大 致图像(图1)。由图1可 知,当 x∈ (-2,2)时, f(x)的值域为[-e,e],故 C不正确;根据图像的变换 图2 规律,作出y=|f(x)|的 大致图像如图2,由图2可 知,当a∈(2,e)时,直线y =a 与y=|f(x)|的图像 有6个交点,即关于x 的 方程|f(x)|=a 有6个实 根,故D正确。 三、填空题 12.9 提示:由某物体的运动方程为 s=2t2+t-1,得s'=4t+1。令t=2,则该物 体在第2 s时的瞬时速度为9 m/s。 13.①② 提示:由题中图可知,两变量 x,y 正相关,所以r>0,故①正确。由图中 数据可知,􀭺x=3,􀭵y=3,因为经验回归直线必 过 (􀭺x,􀭵y),所 以 ② 正 确。 由 b̂ = (x1y1+x2y2+…+x6y6)-6􀭺x􀭵y (x21+x22+…+x26)-6􀭺x2 ≈0.47<1, 可知③不正确。 14. (n-1)(n-2) 2 提示:当x=1时, y+z=n-1(n∈N,n≥3),则共有n-2组 正整数解; 当x=2时,y+z=n-2(n∈N,n≥3), 则共有(n-3)组正整数解; ………… 当x=n-2时,y=z=1(n∈N,n≥3), 则共有1组正整数解。 故共有 (n-1)(n-2) 2 组正整数解。 四、解答题 15.(1)因为是五位偶数,所以末尾只能 是2或者4,从而一共有C12A44=48(个)五位 偶数。 (2)比32 145大的五位数分为以下两 类:①首 位 是3,有 C12A33+C12A22+1=17 (个);②首位是4或者5,有C12A44=48(个)。 所以一共有17+48=65(个)这样的五位数。 16.(1)由题意得f'(x)=3ax2+b,故 f'(-2)=3a(-2)2+b=0, f(-2)=a(-2)3 + b(-2)= 16 3 。 解得 a= 1 3 , b=-4, 故f(x)=13x3-4x。 (2)设曲线f(x)= 1 3x 3-4x与过点P(3, -3)的切线相切于点A x0, 1 3x 3 0 -4x0 , 则切 线斜率k = f'(x0)=x20-4,所以切线方程 y=(x20-4)(x-x0)+ 1 3x 3 0-4x0。又点P(3, -3)在切线上,代入化简得2x30-9x20+27=0, 即(x0-3)2(2x0-3)=0,解得x0=3或x0= - 3 2 。所以切线方程为y=5x-18或y= - 7 4x+ 9 4 。 49 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 17.(1)展 开 式 的 通 项 为 Tr+1 = Crn(2x)n-r - 1 x r =(-1)r2n-rCrnx 2n-3r 2 。 方案一:选择条件①。 第2项与第3项的二项式系数分别为 C1n,C2n,故 C1n C2n = 2 5 ,所以 n n(n-1) 2 = 2 5 ,整理得 n2-6n=0。又n∈N*,所以n=6。故展开 式的 通 项 为 Tr+1=(-1)r26-rCr6x 12-3r 2 。当 12-3r 2 =0 ,即 r=4 时,常 数 项 为 T5= (-1)426-4C46=60,是第5项。 方案二:选择条件②。 第2项与第3项的系数分别为(-1)· 2n-1C1n,(-1)22n-2C2n,则有 (-1)2n-1C1n (-1)22n-2C2n = 4 5 ,所以n=6,故展开式的通项为 Tr+1= (-1)r26-rCr6x 12-3r 2 。当12-3r 2 =0 ,即r=4 时,常数项为T5=(-1)426-4C46=60,是第5 项。 方案三:选择条件③。 展开式中有且只有第4项的二项式系数最 大,可知展开式共有7项,从而可知n=6,故展 开式的通项为 Tr+1=(-1)r26-rCr6x 12-3r 2 。当 12-3r 2 =0 ,即 r=4 时,常 数 项 为 T5 = (-1)426-4C46=60,是第5项。 (2)由 展 开 式 的 通 项 公 式 Tr+1 = (-1)r26-rCr6x 12-3r 2 知,要求有理项,则r=0, 2,4,6,所以有理项为64x6,240x3,60,x-3。 18.(1)完成2×2列联表,如表1所示。 表1 预习 学习兴趣 高 一般 合计 主动 3 5n 4 15n 13 15n 不太主动 1 15n 1 15n 2 15n 合计 2 3n 1 3n n χ2= n 35n ·1 15n- 4 15n ·1 15n 2 13 15n ·2 15n ·2 3n ·1 3n = n 52 。 因为依据小概率值α=0.05的χ2 独立性检 验,认为主动预习与学习兴趣有关,所以n 52≥ 3.841,解得n≥199.732。由题设知,正整数 n是15的倍数,即nmin=210,所以样本容量 n的最小值为210。 (2)由(1)知,学习兴趣一般的学生中,主 动预习与不太主动预习的学生人数之比为 4∶1,因此,用分层随机抽样,从学习兴趣一 般的学生中抽取15人,其中不太主动预习的 人数为3,则X 的可能取值为0,1,2,3。 P(X=0)= C312 C315 = 44 91 ; P(X=1)= C13C212 C315 = 198 455 ; P(X=2)= C23C112 C315 = 36 455 ; P(X=3)= C33 C315 = 1 455 。 所以X 的分布列如表2所示。 表2 X 0 1 2 3 P 4491 198 455 36 455 1 455 所以 E(X)=0× 44 91+1× 198 455+2× 36 455+3× 1 455= 3 5 。 19.(1)当a=2时,函数f(x)=2ln x+ x2+2x,x>0,则f'(x)= 2 x+2x+2 ,f'(1) =6。又因为f(1)=3,所以f(x)的图像在 (1,f(1))处的切线方程为y-3=6(x-1), 即6x-y-3=0。 (2)f'(x)= 2 x+2x+a= 2x2+ax+2 x , x>0,当a<-4时,由f'(x)=0,可得x1= -a- a2-16 4 ,x2 = -a+ a2-16 4 ,且 0<x1<x2 。故当0<x<x1 时,f'(x)>0, 函数 f(x)单 调 递 增;当 x1<x<x2 时, 59 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>x2 时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增。则函数 f(x)在x2 处取得极小值,在x1 处取得极大值。 故函数f(x)的极小值点为 -a+ a2-16 4 ,极 大值点为 -a- a2-16 4 。 (3)g(x)=f(x)-2x2-ax-2ln x+ mex=mex-x2,x>0,由g(x)=mex-x2= 0,得m= x2 ex 。所以“函数g(x)有两个零点” 等价于“直线y=m 与曲线h(x)= x2 ex ,x>0 有两个交点”。 对函数h(x)求导,得h'(x)= -x2+2x ex = -x(x-2) ex 。则当0<x<2时,h'(x)>0, 函数h(x)单调递增;当x>2时,h'(x)<0, 函数h(x)单调递减。故当x=2时,函数h(x) 取得极大值h(2)= 4 e2 。又当x 趋近于0时, h(x)趋近于0;当x>0时,h(x)>0。根据 以上信息作出h(x)的大致图像,如图3所 示。 图3 当0<m< 4 e2 时,直线 y=m 与曲线 h(x)= x2 ex ,x>0有两个交点。所以若函数 g(x)有 两 个 零 点,则 m 的 取 值 范 围 为 0, 4 e2 。 (责任编辑 徐利杰) 􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕􀥕 (上接第92页) P(Xn=2)+1× 2 3 ·P(Xn=0)=59P(Xn= 1)+ 2 3P (Xn=2)+ 2 3P (Xn=0)。 即an+1= 5 9an+ 2 3bn+ 2 3 (1-an-bn), 所以 an+1= - 1 9an + 2 3 ,故 an+1- 3 5 = - 1 9 an- 3 5 。 又a1 =P(X1 =1)= 5 9 ,所 以 数 列 an- 3 5 是以a1-35=-245为首项,-19为 公比的等比数列,故an- 3 5= 2 5× - 1 9 n , 整理得an= 3 5+ 2 5× - 1 9 n 。 (3)由全概率公式可知: P(Xn+1=2)=P(Xn=1)·P(Xn+1= 2|Xn=1)+P(Xn=2)·P(Xn+1=2|Xn= 2)+P(Xn=0)·P(Xn+1=2|Xn=0)= 2 3× 1 3 ·P(Xn=1)+ 13×1 ·P(Xn= 2)+0·P(Xn=0),即bn+1= 2 9an+ 1 3bn 。 又因为an= 3 5+ 2 5× - 1 9 n ,所以bn+1 = 1 3bn+ 2 9 3 5+ 2 5× - 1 9 n 。 则 bn+1 - 1 5 + 1 5 × - 1 9 n+1 = 1 3 bn- 1 5+ 1 5× - 1 9 n 。 又因为b1=P(X1=2)= 2 9 ,所以b1- 1 5+ 1 5× - 1 9 =29-15-145=0,即bn- 1 5+ 1 5× - 1 9 n =0。 故bn= 1 5- 1 5× - 1 9 n 。 E(Xn)=an+2bn+0×(1-an-bn)= an+2bn=1。 (责任编辑 徐利杰) 69 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月