第3章 圆锥曲线的方程 章末达标检测(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．椭圆＋＝1的离心率是(　　) A． B． C． D． 解析　因为椭圆方程为＋＝1， 所以a＝3，c＝＝＝， 所以e＝＝. 答案　B 2．若双曲线－＝1的焦点与椭圆＋＝1的焦点重合，则m的值为(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 解析　因为椭圆＋＝1的焦点为(0，)，(0，－)， 所以双曲线的焦点为(0，)，(0，－)，故2＋m＝5，解得m＝3. 答案　B 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．y2－＝1 D．－＝1 解析　由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2， ∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1. 答案　A 4．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，动点P到直线AD的距离与到平面BB1C1C的距离相等，则P在平面CC1D1D上的轨迹是(　　) A．线段 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 解析　由题知PD即为动点P到直线AD的距离，过P作PM⊥CC1于M，则PM为动点P到平面BB1C1C的距离，则PD＝PM，由抛物线定义可知，P在平面CC1D1D上的轨迹是抛物线的一部分，故选C． 答案　C 5．(2023·北京卷)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析　因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线方程x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|， 又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D． 答案　D 6．已知椭圆C：＋＝1(m>0，n>0，m≠n)的长轴长为4，离心率为，则椭圆C的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1或＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1或＋＝1 解析　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，离心率为e. ∵长轴长为4，∴2a＝4，∴a＝2，a2＝4， ∵e＝，∴e2＝＝＝＝， ∴b2＝2， ∴当椭圆C的焦点在x轴上时，椭圆C的标准方程为＋＝1；当椭圆C的焦点在y轴上时，椭圆C的标准方程为＋＝1，故选B． 答案　B 7．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(2,1＋) D．(1,1＋) 解析　若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c， 则＜a＋c，化简整理，得2a2－c2＋ac＞0， ∴e2－e－2＜0，∴－1＜e＜2.又e＞1，∴1＜e＜2.故选B． 答案　B 8．已知点E是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的对称轴与准线的交点，点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在△EFP中，若sin∠EFP＝μ·sin∠FEP，则μ的最大值为(　　) A． B． C． D． 解析　过P(x轴上方)作准线的垂线，垂足为H， 则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|， 由sin∠EFP＝μ·sin∠FEP， 则在△PFE中由正弦定理可知|PE|＝μ|PF|， 所以|PE|＝μ|PH|， 设PE的倾斜角为α，则cos α＝＝， 当μ取得最大值时，cos α最小，此时直线PE与抛物线相切，设直线PE的方程为x＝ty－， 联立直线与抛物线 得y2－2pty＋p2＝0，所以Δ＝4p2t2－4p2＝0， 所以t＝1，即tan α＝1，则cos α＝， 则μ的最大值为. 答案　C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线mx2＋y2＝1，下列叙述正确的是(　　) A． m＝－1表示两条直线 B． m＝1表示圆 C． m<0表示焦点在x轴上的双曲线 D．0<m<1表示焦点在x轴上的椭圆 解析　对于A选项，当m＝－1时，y2－x2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于B选项，当m＝1时，x2＋y2＝1表示圆心为原点，半径为1的圆，故正确；对于C选项，当m<0时，y2＋mx2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于D选项，当0<m<1时，方程为＋y2＝1，由于>1，故表示焦点在x轴上的椭圆，故正确．故选BD． 答案　BD 10．已知双曲线C：－＝1，给出以下4个命题，是真命题的是(　　) A．直线y＝x＋1与双曲线有两个交点 B．双曲线C与－＝1有相同的渐近线 C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3 D．双曲线的焦点坐标为(－13,0)，(13,0) 解析　A错误，因为直线y＝x＋1与渐近线y＝x平行，与双曲线只有一个交点；B正确，两曲线渐近线方程均为y＝±x；C正确，右焦点为(，0)到渐近线y＝x的距离为3；D错误，因c2＝a2＋b2＝13，所以双曲线焦点坐标为(，0)和(－，0)． 答案　BC 11．经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>y2)，|AB|的最小值是4，则下列说法正确的是(　　) A．|·|＝3 B．|AF|＋|BF|＝|AF||BF| C．若点M是线段AB的中点，则直线l的方程为2x－y－2＝0 D．若＝4，则直线l的倾斜角为60°或120° 解析　F，由题意可知直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为x＝my＋， 联立得y2－2pmy－p2＝0， Δ＝4p2m2＋4p2>0， y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋p＝2pm2＋p，x1x2＝×＝， 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p(m2＋1)≥2p，当m＝0时等号成立， 所以2p＝4，p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x， 所以x1x2＝1，y1y2＝－4， 所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，A正确； |AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1， 所以|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4， |AF|·|BF|＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝4m2＋4， 所以|AF|＋|BF|＝|AF||BF|，B正确； 因为点M是线段AB的中点，所以y1＋y2＝2，即4m＝2，m＝， 所以直线l的方程为2x－y－2＝0，C正确； ＝4，所以|AF|＝3|FB|，即x1＋1＝3(x2＋1)，所以x1－3x2－2＝0， 因为x1x2＝1，所以x1－－2＝0，即x－2x1－3＝0，解得x1＝3(x1＝－1舍去)， 又y1>y2，故y1>0>y2，所以A(3,2)， 所以直线l的斜率为＝，直线l的倾斜角为60°，D错误． 故选ABC． 答案　ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若抛物线经过点，(2,2)，则该抛物线的标准方程为________________． 解析　由抛物线过点，(2,2)可得抛物线的开口向上，设抛物线的方程为x2＝my，将(2,2)点代入可得22＝2m，可得m＝2，所以抛物线的方程为x2＝2y，显然也在该抛物线上，符合题意． 答案　x2＝2y 13．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________，△PF1F2的周长等于______． 解析　由＋＝1知，a＝5，b＝4，所以c＝3， 即F1(－3,0)，F2(3,0)， 所以|PF2|＝|F1F2|＝6. 又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10， 所以|PF1|＝10－6＝4， 于是＝·|PF1|·h ＝×4× ＝8. |PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16. 答案　8　16 14．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F1的直线l与圆C：2＋y2＝相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则双曲线的渐近线方程为________________． 解析　如图所示， 不妨设直线l与圆C相切于点A， ∴ CA⊥F1M，∴＝， ∵|CA|＝，|CF1|＝， |AF1|＝＝c，|F1F2|＝2c， ∴|F2M|＝，∴M. 将M的坐标代入－＝1， 可得－＝1，∴－＝1， ∴a＝b，∴渐近线方程为y＝±x，即y＝±x. 答案　y＝±x 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)在①双曲线E的焦点在x轴上；②双曲线E的焦点在y轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答． 注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 问题：已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点A(0，)，B(1,3)． (1)求双曲线C的方程； (2)若双曲线E与双曲线C的渐近线相同，__________，且E的焦距为4，求双曲线E的实轴长． 解析　(1)设双曲线C的方程为mx2＋ny2＝1， 则解得所以双曲线C的方程为－＝1. (2)双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 若选①，设双曲线E的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以解得 所以双曲线E的实轴长为2. 若选②，设双曲线E的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以解得所以双曲线E的实轴长为2. 16．(15分)如图所示，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A． (1)求实数b的值； (2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程． 解析　(1)由得x2－4x－4b＝0　(*)， 因为直线l与抛物线C相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. (2)由(1)可知b＝－1， 故方程(*)即为x2－4x＋4＝0， 解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1， 故点A(2,1)，因为圆A与抛物线C的准线相切， 所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2， 所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 17．(15分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(2，y0)为抛物线上一点，且|AF|＝4. (1)求抛物线的方程； (2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于P，Q两个不同的点．若OP⊥OQ，求实数m的值． 解析　(1)已知抛物线y2＝2px(p>0)过点A(2，y0)，且|AF|＝4，则2＋＝4，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立消去y，整理得x2＋(2m－8)x＋m2＝0， 由Δ＝(2m－8)2－4m2>0，得m<2， 则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2. 由OP⊥OQ得·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝2m2＋m(8－2m)＋m2＝0， ∴m＝－8或m＝0. 经检验，当m＝0时，直线l与抛物线的交点中有一点与原点O重合，不符合题意，由m＝－8<2知m＝－8符合题意． 综上，实数m的值为－8. 18．(17分)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|. (1)求C的离心率； (2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF. 解析　(1)|BF|＝|AF|， 即＝a＋c，则e＝＝2. (2)证明　设B(x0，y0)(x0≠c)，tan∠BFA＝，tan∠BAF＝， 题设等价于证明tan∠BFA＝tan 2∠BAF， 即＝＝， 由于e＝＝2，y＝3(x－a2)， 则＝ ＝＝＝＝，即证． 当x0＝c时，由题知，BF⊥AF，|BF|＝|AF|， 则∠BFA＝，∠BAF＝， 故∠BFA＝2∠BAF. 综上，可得∠BFA＝2∠BAF. 19．(17分)设圆O的弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于点E，F. (1)试用解析几何的方法证明：M为EF的中点； (2)如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，你能得到类似的结论吗？ 解析　(1)由题图所示： 一方面：由题意设圆O的方程为x2＋(y＋a)2＝r2，直线AB，CD的方程分别为y＝k1x，y＝k2x； 点A，B，C，D的坐标为(xi，yi)，i＝1,2,3,4，所以直线AD的方程为y－y1＝(x－x1)， 令y＝0，可得点E的横坐标为xE＝－y1·＋x1，结合y1＝k1x1，y4＝k2x4可知xE＝－y1·＋x1＝－k1x1·＋x1＝， 同理可得点F的横坐标为xF＝， 由题意若要M为EF的中点，只需EM＝FM，即xE＝＝－＝－xF， 所以只需＝－，交叉相乘并整理得k1x1x2(x3＋x4)＝k2x3x4(x1＋x2)． 另一方面：联立圆O的方程x2＋(y＋a)2＝r2与直线AB的方程y＝k1x得x2＋(k1x＋a)2＝r2， 整理得(1＋k)x2＋2k1ax＋a2－r2＝0，由韦达定理可得x1＋x2＝，x1·x2＝， 同理可得x3＋x4＝，x3·x4＝. 结合以上两方面有k1x1x2(x3＋x4)＝ k2x3x4(x1＋x2)成立，故命题得证． (2)当圆变为椭圆时的情形(情形一)： 如下图所示： 一方面：由以上分析可知，设椭圆方程为＋＝1，将其与直线AB的方程y＝k1x联立得b2x2＋a2(k1x＋m)2＝a2b2，化简并整理得(b2＋a2k)x2＋2a2mk1x＋a2(m2－b2)＝0， 由韦达定理可得x1＋x2＝，x1·x2＝，同理可得x3＋x4＝，x3·x4＝. 另一方面：由(1)中分析可知，若要M为EF的中点，则只需k1x1x2(x3＋x4)＝k2x3x4(x1＋x2)成立． 结合以上两方面有k1x1x2(x3＋x4)＝ k2x3x4(x1＋x2)成立，故命题得证． 当圆变为双曲线时的情形(情形二)： 如下图所示： 一方面：同理设双曲线方程为－＝1，将其与直线AB的方程y＝k1x联立得b2x2－a2(k1x＋m)2＝a2b2， 化简并整理得(b2－a2k)x2－2a2mk1x－a2(m2＋b2)＝0，由韦达定理可得x1＋x2＝，x1·x2＝， 同理可得 x3＋x4＝，x3·x4＝. 另一方面：由(1)中分析可知，若要M为EF的中点，则只需 k1x1x2(x3＋x4)＝k2x3x4(x1＋x2)成立． 结合以上两方面有k1x1x2(x3＋x4)＝k2x3x4(x1＋x2)成立，故命题得证． 当圆变为抛物线时的情形(情形三)： 如图所示： 一方面：同理设抛物线方程为x2＝2p(y＋n)，将其与直线AB的方程y＝k1x联立得x2＝2p(k1x＋n)， 化简并整理得x2－2pk1x－2pn＝0，由韦达定理可得x1＋x2＝2pk1，x1·x2＝－2pn， 同理可得x3＋x4＝2pk2，x3·x4＝－2pn. 另一方面：由(1)中分析可知，若要M为EF的中点，则只需k1x1x2(x3＋x4)＝k2x3x4(x1＋x2)成立． 而k1x1x2(x3＋x4)＝k2x3x4(x1＋x2)显然成立． 结合以上两方面有k1x1x2(x3＋x4)＝k2x3x4(x1＋x2)成立，故命题得证． 综上所述：如果将圆分别变为椭圆、双曲线或抛物线，(1)中结论依然成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$