第3章 教考衔接4 方法探究、素养呈现　离心率的求法(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

一、真题展示 1．(2022·全国甲卷)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 二、真题溯源 (教科书第128页习题第12题)设椭圆＋＝1(a>b>0)与双曲线－＝1的离心率分别为e1，e2，双曲线的渐近线的斜率小于，求e1和e2的取值范围． 三、类法探究 圆锥曲线离心率问题 (1)求离心率的值：求离心率的值关键是找到a与c的等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率．建立等式关系的常用思路：①利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而求解；②利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a，b，c进行表示，再利用条件列出等式求解． (2)求离心率的范围：求离心率的范围关键是找到a与c的不等关系，解出a与c的关系，进而求出离心率的范围． ①题目中点的横坐标或者纵坐标有取值范围，如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用a，b，c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口；②若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可；③通过一些不等关系得到关于a，b，c的不等式，进而解出离心率； (3)由离心率求参数的范围：由离心率求参数的范围关键是找到离心率与参数之间的关系，然后根据离心率的范围求出参数的范围． 技法一　定义法 　(1)设双曲线－＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． (2)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． [自主解答]　(1)因为双曲线－＝1(a>0)的两焦点之间的距离为10，所以2c＝10，c＝5，所以a2＝c2－9＝16，所以a＝4，所以离心率e＝. (2)因为△F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)， |MF1|＝|F1F2|，即＝2c， 即4b2＋c2＝4c2,4a2＝7c2，e2＝＝，故e＝. [答案]　(1)C　(2)C 技法二　几何法 　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且PF2⊥x轴，直线PF1与C的另一个交点为Q，若|PF1|＝4|F1Q|，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． [自主解答]　由题意，可将点P的坐标代入椭圆C的方程得＋＝1， 解得|PF2|＝. 如图所示，过Q点作QE⊥x轴，垂足为点E， 设Q(x0，y0)， 根据题意及图可知，Rt△PF2F1∽Rt△QEF1， ∵＝4，∴＝＝4， ∴|EF1|＝＝＝， ∴x0＝－c－＝－. 又y0＝－|QE|＝－＝－， ∴点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入椭圆方程，得＋＝1. 结合b2＝a2－c2，解得e＝＝. [答案]　D 技法三　寻求齐次方程(不等式)求离心率 　(1)过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是双曲线的另一个焦点．若∠PF1Q＝，则双曲线的离心率e等于(　　) A．－1 B． C．＋1 D．＋2 (2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，且满足c2－b2＋ac<0，则该椭圆的离心率e的取值范围是________． [自主解答]　(1)由题意可知|PF2|＝，|F1F2|＝2c.因为∠PF1Q＝，所以|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，即c2－a2＝2ac，等式两边同除以a2，得e2－1＝2e，即e2－2e－1＝0. 解得e＝＋1或e＝1－(舍去)． (2)∵c2－b2＋ac<0，∴c2－(a2－c2)＋ac<0，即2c2－a2＋ac<0，∴－1＋<0，即2e2＋e－1<0，解得－1<e<. 又0<e<1， ∴0<e<，∴椭圆的离心率e的取值范围是. [答案]　(1)C　(2) [跟踪训练] 1．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________． 解析　如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c. 又2|AB|＝3|BC|，∴2×＝3×2c， 即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac， 两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0， 解得e＝2(负值舍去)． 答案　2 2．设点P在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的取值范围为________． 解析　由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a. 又|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝a，|PF2|＝a. 又易知|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， 即a＋a≥2c， 所以a≥c，则≤. 又e>1，所以1<e≤. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$