3.3.2 第2课时 抛物线方程及性质的应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第2课时　抛物线方程及性质的应用 导学　直线与抛物线的位置关系 直线与双曲线有几种位置关系？ [提示] 相交、相切和相离三种． 如何判断直线与双曲线的位置关系． [提示] 代数法与几何法． 如果直线与抛物线只有一个交点，是不是直线与抛物线一定相切？ [提示] 不一定. ◎结论形成 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组解的个数，即一元二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有__两个不同__的公共点，位置关系为相交；若Δ＝0时，直线与抛物线有__一个__公共点，位置关系为相切；若Δ<0时，直线与抛物线__没有__公共点，位置关系为相离． 当k＝0时，直线与抛物线的对称轴__平行或重合__，此时直线与抛物线有__一个__公共点，位置关系为相交． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)直线与抛物线有两个交点，说明直线与抛物线相交．(　　) (2)直线与抛物线有一个交点，说明直线与抛物线相切．(　　) (3)直线与抛物线相交，则直线与抛物线有两个交点．(　　) (4)“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．直线y＝2与抛物线y2＝8x的公共点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．无数 解析　直线y＝2与抛物线y2＝8x的对称轴平行，故直线与抛物线只有一个公共点． 答案　B 3．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　线段AB所在的直线的方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝. 答案　A 4．若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是________． 解析　由得x2－8x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，故线段AB的中点坐标为(4,2)． 答案　(4,2) 题型一　直线与抛物线的位置关系 一题多变 已知直线l过点A，且与抛物线y2＝2px(p＞0)只有一个公共点，则直线l的方程为________． [自主解答]　当直线与抛物线只有一个公共点(相切)时，由题意设直线l方程为y－p＝k(k≠0)．将直线l的方程与y2＝2px联立，消去x得ky2－2py＋(2＋3k)p2＝0. 由Δ＝0得，k＝，或k＝－1. 所以直线l的方程为 2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0. 当直线l与x轴平行时，直线l与抛物线只有一个交点，此时，y＝p，故满足条件的直线共有三条，其方程为 2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p. [答案]　2x－6y＋9p＝0，或2x＋2y＋p＝0，或y＝p. [母题变式] 1．(变条件)例1中抛物线变为“x2＝2py(p＞0)”，其余条件不变，求直线l的方程． 解析　当直线l斜率不存在时， 方程为x＝－p，与抛物线有一个公共点． 当直线l斜率存在时，设l：y－p＝k，与x2＝2py联立得x2－2pkx－2p2－3kp2＝0， ∴Δ＝4p2k2＋4(2p2＋3kp2)＝0， 解得k＝－1或k＝－2，∴直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0. 综上，直线l的方程为x＋y＋＝0或2x＋y＋2p＝0或x＝－p. 2．(变条件、变结论)例1中，若过点A(t，p)只有一条直线与抛物线y2＝2px(p>0)只有一个公共点，求t的取值范围． 解析　由本例知，若点A在抛物线外部或抛物线上，则至少有两条直线与抛物线只有一个公共点，所以点A应在抛物线内部，即p2＜2pt， 所以t＞. [素养聚焦] 本题主要通过考查直线与抛物线的位置关系的判定与应用，提升学生逻辑推理、直观想象及数学运算核心素养． 直线与抛物线位置关系问题，常转化为二次函数问题解决，但要注意对二次项系数是否为零进行讨论，避免漏掉直线与抛物线对称轴平行的特殊情况． [触类旁通] 1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p>0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 解析　∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1,0)． 又点(1,0)在抛物线y2＝2px的内部， ∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点． 答案　C 题型二　与弦长、中点有关的问题 (1)(多选)已知直线l过点B(－1,0)，与抛物线y2＝－4x相交所得弦长为8，则直线l的方程为(　　) A．y＝0 B．x＝－1 C．y＝x＋1 D．y＝－x－1 (2)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________． [自主解答]　(1)①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝－1与抛物线交于(－1，－2)，(－1,2)，弦长为4，不合题意． ②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线为y＝k(x＋1)，联立消去y，得k2x2＋(2k2＋4)x＋k2＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝1. 弦长为×＝8，解得k2＝1，得k＝±1，所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1. (2)设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)， 联立方程组得交点为A(0,0)，B(a，a)， 而点P(2,2)是AB的中点，从而有a＝4，故所求抛物线的方程为y2＝4x. [答案]　(1)CD　(2)y2＝4x (1)与抛物线有关的弦长问题，可以利用弦长公式； (2)与抛物线有关的中点弦问题，可以利用点差法也可以利用传统方法： [触类旁通] 2．已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x＝－1，直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为(1,1)，则直线l的方程为__________________． 解析　依题意易得抛物线的方程为y2＝4x， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 因为线段MN的中点为(1,1)， 故x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， 则x1≠x2，由 两式相减得y－y＝4(x1－x2)，所以＝＝2， 故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案　2x－y－1＝0 题型三　抛物线性质的综合应用 已知点P是抛物线y2＝x上的一点，过点P作两条直线l1与l2，分别与抛物线相交于A，B两点． (1)已知点P(0,0)且l1⊥l2，求证：直线AB恒过定点； (2)已知点P(1,1)，直线AB所在直线方程为y＝x＋b，且△PAB的垂心H在x轴上，求实数b的值． [自主解答]　(1)证明　由题可知直线l1，l2的斜率都存在，设l1：y＝kx，l2：y＝－x， 因为所以A， 同理可得B(k2，－k)， 则直线AB所在的直线方程为y＝(x－1)，k≠±1，当k＝±1时，直线AB所在的直线方程为x＝1. 综上，直线AB恒过定点(1,0)． (2)由PH⊥AB可知垂心H(2,0)， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2＋(2b－1)x＋b2＝0， 所以因为HA⊥PB， 所以(x1－2)(x2－1)＋y1(y2－1)＝0， 即2x1x2＋(b－2)(x1＋x2)＋b2－b＋2＝0. 将x1＋x2＝1－2b，x1x2＝b2代入得b2＋4b＝0， 又A，B两点在抛物线上，抛物线方程为y2＝x，直线AB的方程为y＝x＋b，可知直线AB不过原点， 又b＜，所以b＝－4. 应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系． (2)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，关键是代换和转化． (3)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特定值探路法找定点、定值． [触类旁通] 3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F与椭圆＋＝1的右焦点重合，抛物线C的动弦AB过点F，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线于点M. (1)求抛物线的标准方程； (2)求的最小值． 解析　(1)由椭圆＋＝1知，其右焦点为(1,0)，即抛物线的焦点为F(1,0)，所以＝1，解得p＝2，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)①当动弦AB所在的直线斜率不存在时，易得|AB|＝2p＝4，＝2； ②当动弦AB所在的直线斜率存在时，易知AB的斜率不为0，设AB所在直线方程为y＝k(x－1)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，且Δ＝16(k2＋1)＞0， 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝； FM所在的直线方程为y＝－(x－1)， 联立方程组求得点M， 所以|MF|＝＝2. 所以＝＝2 ＞2. 综上所述，的最小值为2. [知识落实] 直线与抛物线位置关系的判断及与弦长、中点有关的问题． [技法强化] (1)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． (2)直线方程y＝kx＋b中k＝0时，与抛物线y2＝2px(p>0)只有一个交点． 学科网（北京）股份有限公司 $$