3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3．3.2　抛物线的简单几何性质 学业标准 素养目标 1．理解抛物线的几何图形及简单几何性质．(重点) 2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．(难点) 通过研究抛物线的几何性质及性质的简单应用，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 第1课时　抛物线的简单几何性质 导学　抛物线的简单几何性质 观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图象，分析其几何图形存在哪些区别？ [提示] 抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线、一个顶点、一个焦点，没有中心． 根据图象及抛物线方程y2＝2px(p＞0)如何确定横坐标x的范围？ [提示] 由抛物线y2＝2px(p＞0)有 所以x≥0，所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． ◎结论形成 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图象 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 　y≥0，x∈R　 　y≤0，x∈R　 对称轴 __x轴__ __y轴__ 顶点 __(0,0)__ 离心率 e＝__1__ 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．(　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　) (4)抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．设点A为抛物线y2＝4x上一点，点B (1,0)，且|AB|＝1，则点A的横坐标为(　　) A．－2 B．0 C．－2或0 D．－2或2 解析　由y2＝4x知B(1,0)为焦点，所以准线为x＝－1，由抛物线定义知xA＋＝1，得xA＝0. 答案　B 3．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝16x D．y2＝－16x 解析　设抛物线y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)，p＝4，可得抛物线方程． 答案　AB 4．(一题多解)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝______. 解析　∵抛物线的方程为y2＝4x， ∴抛物线的焦点F坐标为(1,0)， 又直线AB过焦点F且斜率为， ∴直线AB的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程消去y并化简得3x2－10x＋3＝0. 解法一　解得x1＝，x2＝3，所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝. 解法二　Δ＝100－36＝64＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝， 过A，B分别作准线x＝－1的垂线，设垂足分别为C，D，如图所示． |AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD| ＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝. 答案　 题型一　由抛物线的几何性质求标准方程 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． [自主解答]　椭圆的方程可化为＋＝1， 其短轴在x轴上， 所以抛物线的对称轴为x轴， 所以设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p＞0)． 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，所以p＝6. 所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x.其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 待定系数法求抛物线标准方程的步骤 [触类旁通] 1．若抛物线y2＝mx(m＞0)的准线与圆x2＋y2－4x－5＝0相切，求抛物线的准线和标准方程． 解析　由x2＋y2－4x－5＝0， 得(x－2)2＋y2＝9， 所以圆心为(2,0)，半径为3. y2＝mx(m＞0)的准线方程为x＝－. 由已知得2＋＝3，解得m＝4， 所以抛物线的准线方程为x＝－1， 标准方程为y2＝4x. 题型二　抛物线几何性质的应用 (1)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　) A．　　　　　　　　 B．1 C． D．2 (2)已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程． [自主解答]　(1)抛物线C：y2＝4x的焦点F坐标为(1,0)，曲线y＝(k>0)与C交于点P，则点P在第一象限，由PF⊥x轴得P点横坐标为1，代入C得P点纵坐标为2，代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D． (2)因为△OAB的面积为4，所以·||·2|p|＝4，所以p＝±2，所以抛物线方程为y2＝±4x. [答案]　(1)D　(2)y2＝±4x 利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点：解决焦点弦问题． [触类旁通] 2．已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长． 解析　如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y＝2px1，y＝2px2， 又|OA|＝|OB|， 所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0,2p＞0， 所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称． 由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与y＝2px1联立，解得y1＝2p，所以|AB|＝2y1＝4p，即这个三角形的边长为4p. 题型三　焦点弦问题一题多变 过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝7，求线段AB的长． [自主解答]　由抛物线的方程得＝1，所以根据抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＋|BF| ＝x1＋＋x2＋＝x1＋1＋x2＋1＝7＋2＝9. [母题变式] 1．(变条件)例3中，若点A，B是倾斜角为60°的直线与抛物线的交点，求线段AB的长． 解析　因为抛物线的焦点是(1,0)，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，与抛物线方程联立消去y，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，从而|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 2．(变结论)例3中，证明以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切，该结论能否推广到任意抛物线方程y2＝2px? 解析　因为线段AB中点的横坐标为＝，所以以AB为直径的圆的圆心到准线x＝－1的距离为，而AB的长度为9，所以以AB为直径的圆的半径为，故该圆与准线相切． 该结论可以推广，证明如下： 设抛物线方程为y2＝2px，过焦点的弦为AB，中点为M，准线为l，A1，B1分别为A，B在准线l上的射影， 则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径，故相切． [素养聚焦] 本题通过考查抛物线焦点弦问题的求解方法，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养． 抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解． (2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解． (3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1＋x2＋p，同时由弦长x1＋x2＋p≥2＋p＝2p知，通径是所有弦中最短的弦． [触类旁通] 3．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，|AF|·|BF|＝16，则p的值为(　　) A．2 B．4 C．2 D．8 解析　抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线方程为x＝－. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为 y＝x－. 代入y2＝2px可得x2－3px＋＝0， ∴x1＋x2＝3p，x1x2＝. 由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋， |BF|＝x2＋， ∴|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝＋p2＋＝2p2＝16，解得p＝2. 答案　C [知识落实] 抛物线的几何性质及应用、焦点弦问题． [技法强化] (1)研究抛物线的几何性质应明确抛物线的开口方向，体现了数形结合的思想方法． (2)求抛物线方程时焦点的位置易判断失误． 学科网（北京）股份有限公司 $$