3.3.1 抛物线及其标准方程(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3．3　抛物线 3．3.1　抛物线及其标准方程 学业标准 素养目标 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点) 2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点) 3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点) 通过研究抛物线的定义、图形及标准方程，进一步提升数学抽象及数学运算素养. 导学1　抛物线的定义 平面内，到两定点距离相等的点的轨迹是什么？ [提示] 连接两定点所得线段的垂直平分线． 平面内，到两个确定平行直线l1，l2距离相等的点的轨迹是什么？ [提示] 一条直线． ◎结论形成 抛物线的定义 (1)定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离__相等__的点的轨迹叫做抛物线． (2)焦点：点F叫做抛物线的焦点． (3)准线：直线l叫做抛物线的准线． 导学2　抛物线的标准方程 二次函数的解析式是什么？其图象是什么？ [提示] 二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它的图象是抛物线． 结合求椭圆、双曲线标准方程的步骤，应怎样求抛物线的标准方程？ [提示] 建系、设点、列式、化简． ◎结论形成 抛物线的标准方程 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 焦点坐标 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ p的几何意义 焦点到准线的距离 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数．(　　) (2)准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是x2＝－16y.(　　) (3)抛物线的开口方向由一次项确定．(　　) (4)平面内与定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线．(　　) 解析　(1)×.当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象． (2)√.由题意可设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，因为抛物线的准线方程为y＝＝4，所以p＝8，所以该抛物线的标准方程为x2＝－16y. (3)√.一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确． (4)×.只有当点F不在直线l上时，满足条件的点的轨迹才是抛物线． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．若动点P到点(3,0)的距离和它到直线x＝－3的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．椭圆 B．抛物线 C．直线 D．双曲线 答案　B 3．以F(1,0)为焦点的抛物线的标准方程是(　　) A． x＝4y2 B． y＝4x2 C． x2＝4y D． y2＝4x 解析　因为抛物线焦点为F(1,0)，所以可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，且＝1，则p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.故选D． 答案　D 4．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是________． 解析　抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3. 答案　y＝3 题型一　抛物线的定义及应用 (1)方程＝|x－y＋3|表示的曲线是(　　) A．圆　　　　　　 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 (2)若点P到定点F(4,0)的距离比它到定直线x＋5＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　) A．y2＝－16x B．y2＝－32x C．y2＝16x D．y2＝16x或y＝0(x＜0) [自主解答]　(1)原方程变形为＝，它表示点M(x，y)与点F(－3,1)的距离等于点M到直线x－y＋3＝0的距离．根据抛物线的定义，知此方程表示的曲线是抛物线． (2)因为点F(4,0)在直线x＋5＝0的右侧，且点P到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，所以点P到F(4,0)的距离与它到直线x＋4＝0的距离相等，故P点的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p＝8，故点P的轨迹方程为y2＝16x. [答案]　(1)D　(2)C 抛物线定义的应用要点 (1)根据抛物线的定义，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，抛物线定义的功能是可以把点点距转化为点线距，从而使有关的运算问题变得简单、快捷． (2)抛物线标准方程中的p的几何意义是焦点到准线的距离． (3)对于动点到定点的距离比此动点到定直线的距离大多少或小多少的问题，实际上也是抛物线问题． [触类旁通] 1．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x 解析　由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x＋1＝0的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，其方程为y2＝8x. 答案　A 题型二　求抛物线的标准方程一题多变 (1)过点M(－6,6)的抛物线的标准方程是________． (2)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是________． [自主解答]　(1)由于点M(－6,6)在第二象限， 所以过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x轴上， 设其方程为y2＝－2px(p＞0)， 将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)， 所以p＝3. 所以抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在y轴上， 设其方程为x2＝2py(p＞0)， 将点M(－6,6)代入可得36＝2p×6，所以p＝3， 所以抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， 则2＋＝3，得p＝2， 故抛物线方程为y2＝4x. [答案]　(1)y2＝－6x或x2＝6y　(2)y2＝4x [母题变式] 1．(变结论)例2(2)中的条件不变，试求点M到原点的距离． 解析　因为抛物线方程为y2＝4x， 所以M的坐标为(2，±2)， 所以M到原点的距离为2. 2．(变条件)例2(2)条件“抛物线关于x轴对称”改为“抛物线关于y轴对称”，求抛物线的方程． 解析　当焦点在y轴正半轴时， 设方程为x2＝2py(p＞0)， 由题意可得 解得p＝3±， 所以抛物线方程为x2＝2(3±)y. 当焦点在y轴负半轴时， 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)， 由题意可得 解得p＝3±， 所以抛物线方程为x2＝－2(3±)y.综上，抛物线方程为x2＝2(3±)y或x2＝－2(3±)y. [素养聚焦] 本题通过考查抛物线标准方程的求法，着重培养学生逻辑推理和数学运算核心素养． 求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数． (3)注意p与的几何意义． [触类旁通] 2．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 解析　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0)． ∵＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)， ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x. 题型三　抛物线的实际应用 河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ [自主解答]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意，将 B(4，－5)代入方程得p＝， 所以抛物线方程为x2＝－y. 因为当船的两侧和拱桥接触时船不能通航， 设此时船面宽为AA′，则A的坐标为(2，yA)， 由22＝－yA，得yA＝－. 又知船露出水面的部分高米，设水面与抛物线拱顶的距离为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航． (1)抛物线应用题的解题关键：把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题． (2)建立抛物线的标准方程的方法：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用． [触类旁通] 3．如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形状的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12 m，镜深2 m，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度． 解析　如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口圆的直径． 由已知，得A点坐标是(2,6)， 设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则36＝2p×2，解得p＝9. 所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x， 焦点坐标是F. 因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A, F两点间的距离即为每根铁筋长， 则|AF|＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5 m. [知识落实] 抛物线的定义及标准方程、抛物线定义的应用． [技法强化] (1)应用抛物线的定义要抓住动点到定点与定直线的距离相等． (2)求抛物线的方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式． 学科网（北京）股份有限公司 $$