3.2.2 第2课时 双曲线方程与性质的应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第2课时　双曲线方程与性质的应用 导学　直线与双曲线的位置关系 直线与椭圆有几种位置关系？ [提示] 三种：相交、相离、相切． 直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗？ [提示] 不能． ◎结论形成 1．直线与双曲线位置关系的判定方法 直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0. 位置关系 公共点 判定方法 相交 2个或1个 m＝0或 相切 1个 m≠0且Δ＝0 相离 0个 m≠0且Δ＜0 2．判断直线与双曲线位置关系的注意事项 (1)联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程不一定是一元二次方程，也可能是一次方程，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． (2)直线与双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，也可能相交，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线相切．(　　) (2)过点(0,2)和双曲线－＝1只有一个公共点的直线有2条．(　　) (3)若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有两个交点．(　　) (4)直线与双曲线最多有两个交点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a＞2或a＜－2. 答案　CD 3．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为(　　) A． B．2 C． D．4 解析　由题意，得＝，所以a＝4. 答案　D 4．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　) A．2 B．2 C． D．1 解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x， ∴点F到x－y＝0的距离为＝2. 答案　A 题型一　直线与双曲线的位置关系 一题多变 已知双曲线x2－y2＝4，讨论直线l：y＝k(x－1)与这条双曲线的交点的个数． [自主解答]　由方程组 消去y，可得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0　(*)， (1)当1－k2＝0，即k＝±1时， 方程(*)为2x＝5， 此时直线与双曲线仅有一个交点． (2)当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2＋4(1－k2)(k2＋4)＝4(4－3k2)． ①若 即－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个交点． ②若 即k＝±时， 直线与双曲线只有一个交点． ③若 即k＞或k＜－时，直线与双曲线没有交点． 由以上讨论可知，当－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个交点；当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线只有一个交点；当k＞或k＜－时，直线与双曲线没有交点． [母题变式] 1．(变条件、变结论)例1中若直线与双曲线的交点分别在两支上，求k的取值范围． 解析　联立方程组消去y所得的方程为(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，由题意，设方程的两根为x1，x2， 则解得－1＜k＜1. 所以k的取值范围为(－1,1)． 2．(变条件、变结论)例1中若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围. 解析　联立方程组消去y所得的方程为 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，由题意，设方程的两根为x1，x2， 则 解得－＜k＜－1或1＜k＜. 所以k的取值范围为∪. [素养聚焦] 本题通过考查直线与双曲线位置关系的判断和应用，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 1．研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解． 2．直线与双曲线有三种位置关系 (1)无公共点：此时直线有可能为双曲线的渐近线． (2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． (3)有两个公共点：可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点． [触类旁通] 1．斜率为2的直线l过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(1，) C．(1，) D．(，＋∞) 解析　设双曲线的右焦点为F，如图所示，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝>＝.故选D． 答案　D 题型二　与双曲线相关的弦长和中点弦问题 经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点． (1)求直线l的方程． (2)求线段AB的长． [自主解答]　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入双曲线方程得x－＝1，x－＝1， 两式相减得x－x－＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为M为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝4， 所以4(x1－x2)－(y1－y2)＝0，k1＝＝4， 所以l的方程为y－2＝4(x－2)，即y＝4x－6. (2)将y＝4x－6代入x2－＝1中得3x2－12x＋10＝0，故x1＋x2＝4，x1x2＝， 所以|AB|＝＝ . 1．直线和双曲线相交所得弦长的两种求法 (1)利用距离公式：求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长． (2)利用弦长公式． 2．解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法 (1)根与系数的关系法．(2)点差法． [触类旁通] 2．已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2，3)． (1)求该双曲线的标准方程； (2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长． 解析　(1)设双曲线方程为－＝1(a，b＞0)， 由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2，0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，又c＝2，所以b＝，所以双曲线方程为x2－＝1. (2)由题意可知直线m方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0， 设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－， 由弦长公式得|AB|＝|x1－x2| ＝·＝6. 题型三　双曲线方程与性质的应用 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(3，－1)，点M(3，m)在双曲线上．求： (1)双曲线的方程； (2)·； (3)△F1MF2的面积． [自主解答]　(1)因为e＝， 所以可设双曲线的方程为x2－y2＝λ. 因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8， 所以双曲线的方程为x2－y2＝8. (2)因为F1(－4,0)，F2(4,0)，＝(－4－3，－m)，＝(4－3，－m)，所以·＝(－4－3)×(4－3)＋m2＝2＋m2， 因为M点在双曲线上，所以18－m2＝8， 即m2＝10，所以·＝12. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝8， 由(2)知m＝±， 所以△F1MF2的高h＝|m|＝， 所以S△MF1F2＝4. 与双曲线有关的综合问题 (1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解． (2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解． [触类旁通] 3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝.直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是. (1)求双曲线的方程； (2)过点B作直线m交双曲线于M，N两点，若·＝－23，求直线m的方程． 解析　(1)依题意，直线l的方程为＋＝1， 即bx－ay－ab＝0，由原点O到l的距离为，得 ＝＝， 又e＝＝，所以b＝1，a＝. 故所求双曲线方程为－y2＝1. (2)显然直线m不与x轴垂直， 设直线m方程为y＝kx－1， 点M，N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立方程组 消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.① 依题意，1－3k2≠0， 由根与系数的关系，知 x1＋x2＝，x1x2＝， 故·＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1－1)(kx2－1) ＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋1 ＝－＋1＝＋1. 又·＝－23， 所以＋1＝－23，k＝±， 当k＝±时，方程①有两个不相等的实数根， 所以方程为y＝x－1或y＝－x－1. [知识落实] 直线与双曲线位置关系的判断、弦长公式及中点弦问题． [技法强化] 直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$