3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3．2.2　双曲线的简单几何性质 学业标准 素养目标 1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．能够根据双曲线的标准方程画出双曲线的图形．(重点) 3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题．(重点、难点) 通过研究双曲线的几何性质及通过运用双曲线的方程与性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 第1课时　双曲线的简单几何性质 导学　双曲线的范围、对称性、顶点、离心率及渐近线 观察图示，探究下面问题． 从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制？ [提示] 有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. 观察双曲线图形，它是否是轴对称图形？若是，对称轴是哪条直线？是否是中心对称图形？若是，对称中心是哪个点？ [提示] 关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． 双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗？ [提示] 不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点． ◎结论形成 1．双曲线的简单几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 __x≥a或x≤－a__ __y≥a或y≤－a__ 对称性 对称轴：__坐标轴__ 对称中心：__原点__ 对称轴：__坐标轴__ 对称中心：__原点__ 顶点 坐标 __A1(－a,0)， A2(a,0)__ __A1(0，－a)， A2(0，a)__ 渐近线 　y＝±x　 　y＝±x　 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴__等长__的双曲线叫做等轴双曲线．它的渐近线是__y＝±x__，离心率等于　　. 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同．(　　) (2)双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同．(　　) (3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关．(　　) (4)离心率是的双曲线为等轴双曲线．(　　) 解析　(1)√.双曲线－＝1与－＝1(a＞0，b＞0)的形状相同，但是位置不一样． (2)×.双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x. (3)×.等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x. (4)√.等轴双曲线的离心率是. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)双曲线－＝1的顶点坐标是(　　) A．(5,0) B．(－5,0) C．(0,3) D．(0，－3) 答案　AB 3．双曲线x2－＝1的渐近线方程是(　　) A． y＝±3x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析　因为a＝1，b＝，所以其渐近线方程为y＝±x＝±x，故选C． 答案　C 4．(2023·北京卷)已知双曲线C的焦点为(－2,0)和(2,0)，离心率为，则C的方程为________． 解析　令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2， 由双曲线C的离心率为，得＝，解得a＝，则b＝＝， 所以双曲线C的方程为－＝1. 答案　－＝1 题型一　双曲线的几何性质 求双曲线nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [自主解答]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，化为标准方程－＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 焦点坐标(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线的方程为y＝±x＝±x. 由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤 [触类旁通] 1．求双曲线y2－2x2＝1的焦点坐标和渐近线方程． 解析　双曲线方程化为标准方程形式－＝1. ∴a2＝1，b2＝，焦点在y轴上， ∴a＝1，b＝，c2＝，c＝. 焦点坐标为F1，F2，渐近线方程为y＝±x. 题型二　求双曲线的离心率 (2024·全国甲卷·理)已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，－4)，点(－6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4 B．3 C．2 D． [自主解答]　解法一　(方程组法)　根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则得所以离心率e＝＝2. 解法二　(定义法)　根据双曲线的定义，得2a＝|－|＝|6－10|＝4，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝＝2. [答案]　C 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可直接利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． [触类旁通] 2．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率． 解析　设F1(c,0)，将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，那么y＝±. 由题意知|PF2|＝|QF2|，且∠PF2Q＝90°， 则|PF1|＝|F1F2|， 所以＝2c，所以b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0，所以2－2×－1＝0， 即e2－2e－1＝0，所以e＝1＋或e＝1－(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋. 题型三　与双曲线的渐近线有关的问题 一题多变 (1)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　) A．x±y＝0　　　　 B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0 (2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，求双曲线的方程． [自主解答]　(1)e＝＝，e＝＝，所以e·e＝＝1－4＝，所以＝， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x. (2)因为双曲线的一个焦点在直线l上， 所以0＝－2c＋10，即c＝5，又渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，故有＝2， 结合c2＝a2＋b2，得a2＝5，b2＝20， 所以双曲线的标准方程为－＝1. [答案]　(1)A　(2)－＝1 [母题变式] 1．(变结论)若例3(2)中条件不变，求双曲线的离心率． 解析　因为c＝5，a2＝5，所以离心率e＝＝＝. 2．(变条件)求与例3(2)中所求的双曲线有相同的渐近线且过点(2,2)的双曲线方程． 解析　因为(2)中的双曲线是－＝1，故可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，把点(2,2)代入方程得λ＝，所以所求的双曲线方程为－＝1. [素养聚焦] 本例通过考查双曲线的渐近线的求法和应用，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 由渐近线设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝x的双曲线方程可设为：－＝λ(λ≠0)． (2)如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0)． (3)与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． [触类旁通] 3．以直线x±y＝0为渐近线，一个焦点坐标为(0,2)的双曲线方程是(　　) A．－y2＝－1 B．x2－＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝－1 解析　因为一个焦点坐标为(0,2)，所以双曲线的焦点在y轴上．因为渐近线方程为x±y＝0，所以可设双曲线方程为y2－3x2＝λ(λ>0)，即－＝1，故22＝λ＋，解得λ＝3，所以双曲线的方程为x2－＝－1.故选D． 答案　D [知识落实] 由双曲线方程研究其几何性质、由双曲线的渐近线方程求标准方程． [技法强化] (1)确定双曲线的几何性质应先把双曲线方程化为标准形式，明确焦点在哪个坐标轴上； (2)由双曲线的几何性质求其方程时，易对于焦点的位置考虑不全面致错． 学科网（北京）股份有限公司 $$