3.2.1 双曲线及其标准方程(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3．2　双曲线 3．2.1　双曲线及其标准方程 学业标准 素养目标 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养. 导学1　双曲线的定义 我们已经学习过椭圆，椭圆是如何定义的？ [提示] 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 如图所示，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点满足怎样的几何条件？ [提示] 曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝2a(a为大于0的常数)；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝2a，可得到另一条曲线． 思考课本第118页的探究题，思考在双曲线的形成过程中曲线上的点满足的条件与问题2中的点满足的条件相同吗？ [提示] 相同． ◎结论形成 双曲线的定义 (1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的__绝对值__等于非零常数(__小于__|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． (2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)． (3)焦点：两个定点__F1，F2__. (4)焦距：__两焦点间__的距离，表示为|F1F2|. 导学2　双曲线的标准方程 推导椭圆标准方程的步骤是什么？ [提示] 建系、设点、列式、化简． 根据双曲线的几何特征，如何建立坐标系求双曲线的方程？ [提示] 选择x轴(或y轴)经过两个定点F1，F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，然后按求轨迹方程的直接法步骤，求出双曲线的方程． 若以两焦点F1，F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系，则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么？ [提示] 根据双曲线的定义知满足条件||MF1|－|MF2||＝2a(a为定长)． ◎结论形成 双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 　－＝1　(a＞0，b＞0) 　－＝1　(a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 __F1(－c,0)， F2(c,0)__ __F1(0，－c)， F2(0，c)__ a，b，c的关系式 a2＋b2＝c2 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在双曲线的标准方程中，a，b，c的关系是a2＝b2＋c2.(　　) (2)双曲线x2－＝1的焦点在y轴上．(　　) (3)已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝5的动点P的轨迹是双曲线．(　　) (4)已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件||PF1|－|PF2||＝6的动点P的轨迹是双曲线．(　　) 解析　(1)×.在双曲线的标准方程中，a，b，c满足a2＋b2＝c2. (2)×.根据双曲线的标准方程的特点，双曲线x2－＝1的焦点在x轴上． (3)×.∵|F1F2|＝6，∴|PF1|－|PF2|＝5<|F1F2|，但条件中没有绝对值，故动点P的轨迹是双曲线的一支． (4)×.∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是两条射线(包含端点)． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1或－＝1 答案　D 3．(多选)双曲线2x2－y2＝8的焦点坐标是(　　) A．(0，－2) B．(－2，0) C．(2，0) D．(0,2) 解析　因为双曲线方程可化为－＝1， 所以c2＝4＋8＝12，得c＝2， 所以焦点坐标为(－2，0)，(2，0)． 答案　BC 4．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________． 解析　设双曲线的两个焦点为F1，F2， |PF1|＝3，所以P在靠近F1的一支上， 因为|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋6＝9， 所以P到另一个焦点的距离为9. 答案　9 题型一　求双曲线的标准方程一题多解 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． [自主解答]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)解法一　∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.② 由①②得a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为－＝1. 解法二　设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3，2)，∴－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴双曲线的标准方程为－＝1. (3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)， ∵点P，Q在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为－＝1. 1．求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程． (2)求出a2，b2的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论．特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)来求解． [触类旁通] 1．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)c＝5，b＝3，焦点在x轴上； (2)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上． 解析　(1)因为双曲线的焦点在x轴上，c＝5，b＝3，所以a2＝c2－b2＝16，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)因为双曲线的焦点在y轴上， 所以可设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题设知，a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，所以解得a2＝20，b2＝16， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 题型二　双曲线标准方程的认识 已知－＝－1，当k为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在x轴上的双曲线？ [自主解答]　(1)原方程可变形为－＝1. 要使方程表示双曲线，必须满足(|k|－3)(1－k)>0， 即或 解得k<－3或1<k<3. (2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则解得1<k<3. 方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＋＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程－＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． [触类旁通] 2．(1)已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　) A． B．5 C．7 D． 解析　根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由于焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝. 答案　D (2)若ax2＋by2＝b(ab<0)，则该曲线是(　　) A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上 C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上 解析　原方程可化为＋y2＝1.因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B． 答案　B 题型三　双曲线的定义及应用一题多变 (1)已知点M(－2,0)，N(2,0)，动点P满足|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹方程为(　　) A．－＝1(x≥) B．－＝1 C．－＝1(x≥2) D．－＝1 (2)已知点F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，若点P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，则△F1PF2的面积为______． [自主解答]　(1)∵M(－2,0)，N(2,0)，∴|MN|＝4，又动点P满足|PM|－|PN|＝2<|MN|，∴动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，∴c＝2，a＝，b＝＝＝，∴动点P的轨迹方程为－＝1(x≥)．故选A． (2)因为点P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝0，所以∠F1PF2＝90°，所以＝|PF1|·|PF2|＝×32＝16. [答案]　(1)A　(2)16 [母题变式] 1．(变条件、变结论)若本例(2)条件“若点P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32”改为“双曲线上一点P到焦点F1的距离为10”，求点P到F2的距离． 解析　由双曲线的标准方程－＝1， 得a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6， 即|10－|PF2||＝6. 解得|PF2|＝4或|PF2|＝16. 2．(变条件)若本例(2)条件“|PF1|·|PF2|＝32”改成“|PF1|∶|PF2|＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积． 解析　由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，所以＝×4×4＝8. [素养聚焦] 本题通过考查双曲线定义的应用，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用． [触类旁通] 3．(1)相距4k m的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2 s．若声速为每秒k m，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是(　　) A．圆 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 解析　由已知条件可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|.根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，故选B． 答案　B (2)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． 解析　不妨设点P在双曲线的右支上， 因为PF1⊥PF2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2＝8， 又|PF1|－|PF2|＝2， 所以(|PF1|－|PF2|)2＝4， 可得2|PF1|·|PF2|＝4， 则(|PF1|＋|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝12， 所以|PF1|＋|PF2|＝2. 答案　2 [知识落实] 双曲线的标准方程及其推导过程、双曲线的定义及其应用． [技法强化] (1)求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法． (2)易忽略双曲线的定义中的2a<|F1F2|或把双曲线的一支误认为是双曲线的两支． 学科网（北京）股份有限公司 $$