3.1.2 第2课时 椭圆方程与性质的应用(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第2课时　椭圆方程与性质的应用 导学1　点与椭圆的位置关系 前面我们如何判断点与圆的位置关系？ [提示] 利用点到圆心距离和半径的关系． 可以类比点与圆位置关系的判定，进行点与椭圆位置关系的判定吗？ [提示] 可以． ◎结论形成 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔　＋＝1　； 点P在椭圆内部⇔　＋＜1　； 点P在椭圆外部⇔　＋＞1　. 导学2　直线与椭圆的位置关系 直线与圆有几种位置关系？ [提示] 三种：相交、相离、相切． 前面我们判断直线与圆的位置关系有几种方法？ [提示] 两种：几何法和代数法． 类比直线与圆的位置关系，你能给出直线与椭圆有几种位置关系？ [提示] 三种：相交、相离、相切． ◎结论形成 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程，并计算该方程的判别式Δ，若__Δ＞0__，则直线与椭圆相交；若__Δ＝0__，则直线与椭圆相切；若__Δ＜0__，则直线与椭圆相离． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(　　) (2)直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　　) (3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　　) (4)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系是相交．(　　) 解析　(1)√.根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2)√.由－y＝1得y＝－1，代入＋y2＝1，解得两交点坐标A(0，－1)，B(2,0)．|AB|＝ ＝. (3)×.因为P(b,0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线． (4)√.直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a,0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系是相交． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　) A．2　　　　　　　 B．± C．±2 D．±2 解析　由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±2. 答案　C 3．(多选)点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的值可以是(　　) A．－ B．－1 C．1 D． 解析　由题意知＋＜1，解得－＜a＜. 答案　BC 4．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为________． 解析　因为直线过椭圆的左焦点(－，0)，M(，0)为椭圆的右焦点，所以△ABM的周长为|AB|＋|AM|＋|BM|＝4a＝8. 答案　8 题型一　直线与椭圆的位置关系 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系． [自主解答]　联立方程组 得＋(x＋m)2＝1， 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0. Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)． 当Δ＞0，即－＜m＜时，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝±时，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m＜－或m＞时，直线与椭圆相离． 代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤 [触类旁通] 1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． 解析　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为∪. 题型二　直线与椭圆的相交弦问题 一题多解　一题多变 (1)过椭圆4x2＋5y2＝20内一点P(1,1)引一条恰好被P点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是(　　) A．4x＋5y－9＝0 B．5x＋4y－9＝0 C．4x－5y＋1＝0 D．5x－4y－1＝0 (2)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． [自主解答]　(1)设弦的两端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 4x＋5y＝20,4x＋5y＝20， 两式作差可得 4(x1－x2)(x1＋x2)＝－5(y1－y2)(y1＋y2)， 所以＝－＝－. 因为直线过点P(1,1)，所以这条弦所在直线的方程是y－1＝－(x－1)， 即4x＋5y－9＝0. (2)因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 解法一　解方程组 得交点A(0，－2)，B， 所以|AB|＝ ＝＝＝. 解法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x2－5x＝0，因为Δ＝(－5)2＝25＞0， 则x1＋x2＝，x1x2＝0， 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝＝. 解法三　由方程组消去x得 3y2＋2y－8＝0，因为 Δ＝22－4×3×(－8)＝100＞0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝＝. [答案]　(1)A　(2) [母题变式] 1．(变条件、变结论)例2(2)中，若椭圆的左焦点为F，求△ABF 的面积． 解析　由椭圆方程知左焦点F(－1,0)，又直线方程为2x－y－2＝0，所以△ABF的高为＝，所以△ABF的面积为××＝. 2．(变条件、变结论)例2(2)中，去掉条件“斜率为2”，增加“弦AB的长为”，求直线AB的方程． 解析　当直线的斜率不存在时，方程为x＝1，显然被椭圆截得的弦长为，不是，不合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－1)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组的解，消去y得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0， Δ＝100k4－4(4＋5k2)(5k2－20)＝4(80k2＋80)＞0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 代入弦长公式得 |AB|＝＝ ＝＝，解得k＝±， 所以直线AB的方程为y＝±(x－1)． [素养聚焦] 本题涉及数学中的弦长和中点问题，需要结合椭圆的方程及其性质以及题干中的条件进行计算求解，通过例题及变式探究培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养． 1．求直线与椭圆的相交弦长时，可以先求出两个公共点的坐标，代入两点间距离公式，也可以联立方程消元为二次方程，利用根与系数关系得到|AB|＝|x1－x2|. 2．解决椭圆中点弦问题的两种方法： (1)根与系数的关系法；(2)点差法． 3．注意“设而不求”和“整体代入”方法的运用． [触类旁通] 2．(1)过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A． B． C． D． 解析　椭圆的左焦点F1(－，0)，kAB＝，故直线AB：y＝(x＋)，由消去y整理得7x2＋12x＋8＝0，设A(x1，y1)， B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式得|AB|＝×＝. 答案　B (2)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________． 解析　设A(x1，y1), B(x2，y2)，则＋＝1　①， ＋＝1　②. 因为点M是线段AB的中点， 所以＝1，＝1. 因为直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1， 所以y1－y2＝－(x1－x2)． 将①②两式相减，可得＋＝0，即 ＋·＝0， 所以a＝b，所以c＝b，所以e＝＝. 答案　 题型三　椭圆中的最值与范围问题 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． [自主解答]　(1)由4x2＋y2＝1，y＝x＋m得5x2＋2mx＋m2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0， 解得－≤m≤. 即实数m的取值范围为. (2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由(1)知5x2＋2mx＋m2－1＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)， 所以|AB|＝ ＝＝ ＝＝. 故当m＝0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y＝x. 解决与椭圆有关的最值问题的三种方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理． [触类旁通] 3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________． 解析　由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，O(0,0)． 设P(x，y)(－2≤x≤2)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，从而·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2(－2≤x≤2)，当且仅当x＝2时，·取得最大值6. 答案　6 [知识落实] 直线与椭圆的位置关系、弦长及中点弦问题． [技法强化] (1)利用公式|AB|＝·求弦长，由点差法解决中点弦问题． (2)应用点差法易漏掉判断直线与椭圆的位置关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$