3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3．1.2　椭圆的简单几何性质 学业标准 素养目标 1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 3．能根据椭圆的几何性质解决有关问题．(重点、难点) 4．会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 通过研究椭圆的几何性质及运用椭圆的几何性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 第1课时　椭圆的简单几何性质 导学　椭圆的范围、对称性、顶点 已知椭圆方程，讨论椭圆性质时， 椭圆的方程要满足什么形式？ [提示] 椭圆方程需要是标准方程，若不是标准形式要先化成标准形式. 观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ [提示] 由≤1，≤1得－a≤x≤a，－b≤y≤b. 对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？ [提示] 相同点：两图长轴长与短轴长分别相等； 不同点：长轴与短轴所在位置不同． 椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系？ [提示] 椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线． ◎结论形成 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 　＋＝1　(a＞b＞0) 　＋＝1　(a＞b＞0) 范围 __－a≤x≤a，__ __－b≤y≤b__ __－b≤x≤b，__ __－a≤y≤a__ 顶点 __A1(－a,0)，A2(a,0)，__ __B1(0，－b)，B2(0，b)__ __A1(0，－a)，A2(0，a)，__ __B1(－b,0)，B2(b,0)__ 轴长 短轴长＝__2b__，长轴长＝__2a__ 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝　2　 对称性 对称轴：__x轴、y轴__　对称中心：__原点__ 离心率 e＝　　∈__(0,1)__ 2．离心率的作用 当椭圆的离心率越__接近1__，椭圆越扁平；当椭圆离心率越__接近0__，椭圆越接近于圆． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(　　) (4)设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　　) 解析　(1)×.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是2a. (2)×.离心率e越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆． (3)×.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1或者＋＝1. (4)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　) A．|x|≤3，|y|≤5 B．|x|≤，|y|≤ C．|x|≤5，|y|≤3 D．|x|≤，|y|≤ 解析　椭圆的标准方程为＋＝1，故|x|≤5，|y|≤3. 答案　C 3．(多选)对于椭圆＋＝1，下面说法正确的是(　　) A．长轴长为2 B．短轴长为3 C．离心率为 D．焦距为2 解析　椭圆的方程为＋＝1，其中a＝＝2，b＝，则c＝＝1，则其长轴长2a＝4.短轴长2b＝2，焦距2c＝2，离心率e＝＝.故选CD． 答案　CD 4．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝(　　) A． B． C． D． 解析　由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A． 答案　A 题型一　根据椭圆的方程研究其几何性质 求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [自主解答]　由已知得＋＝1(m＞0)， 因为0＜m2＜4m2，所以＞，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距c＝，所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，顶点坐标为，，，离心率e＝＝＝. 研究椭圆几何性质的步骤 一化：将所给方程正确化成椭圆的标准形式． 二判：根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上． 三求：准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关问题． [触类旁通] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． 解析　把已知方程化为标准方程为＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝， 两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)． 题型二　椭圆的离心率一题多解　一题多变 设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． [自主解答]　解法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m， 故离心率e＝＝＝＝＝. 解法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|， 故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)． [答案]　D [母题变式] 1．(变条件)若将例2中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求椭圆C的离心率． 解析　在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°， ∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c， 椭圆的长轴长为2a， 则在△PF1F2中，有＝＝， ∴＝， ∴e＝＝＝＝. 2．(变条件、变结论)若将例2中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围． 解析　由题意，知c＞b， ∴c2＞b2.又b2＝a2－c2， ∴c2＞a2－c2，即2c2＞a2.∴e2＝＞， ∴e＞. 故椭圆C的离心率的取值范围为. [素养聚焦] 本题通过考查椭圆离心率的求法和离心率的取值范围的求法，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 求椭圆离心率的两种常见思路 (1)一是先求a，c，再计算e. (2)二是依据条件中的关系，结合有关知识和a，b，c的关系，构造关于e的方程，再求解(注意e的范围是0＜e＜1)． [触类旁通] 2．(1)(多选)为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是(　　) A．1 B． C． D． 解析　当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m， 所以c2＝a2－b2＝2－m， 所以e2＝＝＝， 解得m＝，符合题意； 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2， 所以c2＝a2－b2＝m－2， 所以e2＝＝＝， 解得m＝，符合题意． 故正数m的值可以是或. 答案　CD (2)已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 解析　依题意可得2c≥2b，即c≥b， 所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2， 即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥， 又0<e<1， 所以椭圆离心率的取值范围是. 答案　 题型三　由椭圆的几何性质求椭圆的方程 (1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 (2)离心率e＝，焦距2c＝16的椭圆的标准方程为________________． [自主解答]　(1)设椭圆的短轴长为2b(b＞0)，长轴长为2a，则2a＋2b＝18， 又因为一个焦点的坐标是(3,0)， 所以椭圆焦点在x轴上，c＝3， 因为c2＝a2－b2，a2－b2＝9，又a＋b＝9， 所以a2＝25，b2＝16， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为椭圆的离心率e＝，焦距2c＝16， 所以c＝8，a＝12，所以b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. [答案]　(1)B　(2)＋＝1或＋＝1 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． [触类旁通] 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 解析　(1)若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝＝＝＝，解得a2＝27， ∴椭圆的方程为＋＝1， ∴所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. (2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)． 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形， OF为斜边A1A2的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， ∴所求椭圆的方程为＋＝1. [知识落实] 由椭圆标准方程研究几何性质、由几何性质求椭圆的标准方程． [技法强化] (1)求椭圆离心率及范围的方法有直接法和方程法，常用分类讨论思想和方程思想． (2)易忽略椭圆离心率的取值范围0<e<1及长轴长与a的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$