3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程(一)(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3．1　椭圆 3．1.1　椭圆及其标准方程 学业标准 素养目标 1．掌握椭圆的定义并会用椭圆的定义解决问题．(重点) 2．掌握椭圆标准方程及其推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 3．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 第1课时　椭圆及其标准方程(一) 导学1　椭圆的定义 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，怎样画出椭圆？ [提示] 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离即可. 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ [提示] 到两个定点的距离和等于常数． 在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示] 当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． ◎结论形成 椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于__常数__(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 2．符号表示：|MF1|＋|MF2|＝__2a__(常数)且2a__>__|F1F2|. 3．焦点：两个定点__F1，F2__. 4．焦距：两焦点间的__距离|F1F2|__，焦距的一半称为__半焦距__． 导学2　椭圆的标准方程 根据椭圆的几何特征，如何建立坐标系求椭圆的方程？ [提示] 以两定点F1，F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为坐标原点建立坐标系，然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程． 在推导椭圆的标准方程的过程中，如何处理等式中的两个根式？ [提示] 将其中一个根式移到另一端，两边平方然后再次平方即可． 建系时，如果把焦点放在y轴上，是不是能得到另外一种形式的椭圆？ [提示] 是． ◎结论形成 椭圆的标准方程 名称 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0) 图形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 __a2＝b2＋c2__ 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　　) (3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　　) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　) 解析　(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆． (2)×.2a＜|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在． (3)√.符合椭圆的定义． (4)×.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．椭圆＋＝1的焦距为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．4 解析　由椭圆方程可知焦距2c＝2×＝4. 答案　D 3．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4 B．5 C．8 D．10 解析　由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案　D 4．已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为________________． 解析　由已知得b2＝a2－c2＝21.于是椭圆的标准方程为＋＝1. 答案　＋＝1 题型一　求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝. [自主解答]　(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. (2)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6. 又a∶b＝2∶1，得a＝2b，故a2－b2＝4b2－b2＝6， ∴b2＝2，∴a2＝8. 又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式． (2)定量：是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． 提醒：在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可． [触类旁通] 1．求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)； (2)经过点A(，－2)和点B(－2，1)． 解析　(1)由椭圆的焦点在x轴上． 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为椭圆经过点(2,0)和点(0,1)， 所以解得 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)， 依题意有解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 题型二　椭圆的定义及其应用 已知椭圆的方程为＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(　　) A．10 B．20 C．2 D．4 [自主解答]　∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上，又c＝4，∴a2－25＝42，∴a＝.由椭圆的定义知△ABF2的周长＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝4. [答案]　D [素养聚焦] 直观想象、抽象概括、逻辑推理和数学运算等核心素养在本例中得以体现． 椭圆定义的双向运用 判断 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆 求值 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a [触类旁通] 2．(1)(多选)平面内一动点M到两定点F1，F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．无轨迹 解析　当2a＞|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在． 答案　BCD (2)椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于________． 解析　设椭圆的右焦点F2，则由|MF1|＋|MF2|＝8，知|MF2|＝8－2＝6.又点O为F1F2的中点，点N为MF1的中点，所以|ON|＝|MF2|＝3. 答案　3 题型三　椭圆标准方程的识别 已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，求t的取值范围． [自主解答]　因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆， 所以 解得3<t<，所以t的取值范围是. 根据椭圆方程求参数的取值范围 (1)给出方程＋＝1.其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是m>n>0；其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是n>m>0. (2)若给岀椭圆方程Ax2＋By2＝C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式＋＝1，再研究其焦点的位置等情况． [触类旁通] 3．(1)已知椭圆＋y2＝1的一个焦点是(2,0)，那么实数k＝(　　) A． B． C．3 D．5 解析　因为椭圆＋y2＝1的一个焦点是(2,0)，所以k>1，因为k－1＝4，所以k＝5.故选D． 答案　D (2)“0<t<1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　曲线＋＝1表示椭圆等价于解得0<t<1且t≠，所以“0<t<1”是“曲线＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B． 答案　B [知识落实] 椭圆的定义及其应用、求椭圆的标准方程． [技法强化] (1)求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法． (2)忽视椭圆定义中a，b，c的关系，混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$