2.3.3 点到直线的距离公式(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2．3.3　点到直线的距离公式 学业标准 素养目标 1．经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程．(难点) 2．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用．(重点) 通过研究点到直线的距离公式，提升数学运算与逻辑推理素养. 导学　点到直线的距离公式 在直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是点P到直线l的垂线段的长度？ [提示] 是． 若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？ [提示] 过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求，直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，所以l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|. 问题2的方法可行但计算量大，还有没有另外的思路？ [提示] 如图，构造Rt△P0RS，分别求出|P0R|，|P0S|及|RS|，然后用等面积转化法求d. 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n? [提示] 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的方向向量．把Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量． 如图所示，设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，那么点P到直线l的距离应如何表示？ [提示] 点P到直线l的距离 |PQ|＝||＝|·n|＝. ◎结论形成 点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离是指点到直线的__垂线段__的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝　　. 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(　　) (2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (4)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A． B． C． D．2 解析　直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0， 由点到直线的距离公式得d＝＝. 答案　A 3．(多选)若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　) A．－1 B．5 C．1 D．－5 解析　由点到直线的距离公式得＝，所以a＝－1或5. 答案　AB 4．点A(1,0)，B(3,0)到直线l的距离都等于1，直线l的条数是________． 答案　3 题型一　点到直线的距离公式一题多解 求点P0(－1,2)到下列直线的距离． (1)2x＋y－10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y－1＝0. [自主解答]　(1)由点到直线的距离公式知 d＝＝＝2. (2)因为直线方程可化为x＋y－2＝0， 所以d＝＝. (3)解法一　由点到直线的距离公式得d＝＝1. 解法二　因为直线y－1＝0与x轴平行， 所以由下图知d＝|2－1|＝1. 点到直线的距离公式的应用 (1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可． (2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可． [触类旁通] 1．(1)已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________． 解析　设P(a,0)，则有＝6， 解得a＝－12或8， 所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0)． 答案　(－12,0)或(8,0) (2)求过点A(－1,2)，且与原点的距离等于的直线方程． 解析　因为所求直线过点A(－1,2)，且斜率存在， 所以设直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，又原点到直线的距离等于， 所以＝， 解得k＝－7或k＝－1. 故直线方程为x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0. 题型二　利用点到直线的距离公式求最值 (1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么|OP|的最小值为(　　) A． B．1 C． D．2 (2)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是________． [自主解答]　(1)|OP|的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝. (2)直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)． 由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象(图略)可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. [答案]　(1)A　(2)－1 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的． [触类旁通] 2．求过点P(2，－1)且与原点距离最大的直线l的方程． 解析　设原点为O，连接OP(图略)， 易知过点P且与原点距离最大的直线是过点P 且与PO垂直的直线， 由l⊥OP，得kl·kOP＝－1， 所以kl＝－＝2. 所以直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0. 题型三　距离公式的综合应用一题多变 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0与x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． [自主解答]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由 得正方形的中心坐标为P(－1,0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)． ∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， 设与直线l：x＋3y－5＝0垂直的边所在直线方程为3x－y＋a＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝， 解得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为 3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. [母题变式] (变结论)例3中条件不变，求出正方形对角线所在直线方程． 解析　由可得交点坐标为，又正方形中心为P(－1,0)， ∴由两点式方程得对角线方程为 ＝，即2x＋y＋2＝0. 由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P(－1,0)，∴由两点式得另一对角线方程为＝， 即x－2y＋1＝0. 综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0. [素养聚焦] 本题主要考查距离公式的综合应用，着重培养学生直观想象和数学运算核心素养． 距离公式综合应用的常用类型 (1)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． (2)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． [触类旁通] 3．已知点B(1,4)，C(6,2)，点A在直线x－3y＋3＝0上，并且使△ABC的面积等于21，求点A的坐标． 解析　由点A在直线x－3y＋3＝0上， 则可设点A(3y－3，y)． 直线BC由两点式可得＝， 即2x＋5y－22＝0， |BC|＝＝， 则点A到BC的距离 d＝＝. ∴三角形面积S＝|BC|d＝××＝21， ∴y＝或y＝－，∴点A的坐标为或. [知识落实] 点到直线的距离公式的推导及应用． [技法强化] (1)求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式，然后利用点到直线的距离公式求解． (2)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$