2.3.2 两点间的距离公式(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2．3.2　两点间的距离公式 学业标准 素养目标 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(重点) 2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(难点) 通过求两点间的距离，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养. 导学　两点间的距离公式 已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？ [提示] |P1P2|＝|x2－x1|. 当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？ [提示] |P1P2|＝|y2－y1|. 在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，过P1，P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M1(x1,0)，M2(x2,0)，N1(0，y1)，N2(0，y2)，直线P1N1与P2M2相交于点Q，|P1Q|，|QP2|分别是多少？ [提示] 因为|P1Q|＝|M1M2|，|QP2|＝|N1N2|， 所以|P1Q|＝|x2－x1|，|QP2|＝|y2－y1|. 结合问题3，如何求|P1P2|? [提示] 在Rt△P1QP2中，利用勾股定理，得到|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，由此得到|P1P2|＝. 的模的几何意义是什么？ [提示] 表示P1，P2的距离． ◎结论形成 两点间的距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝　　. (2)两点间距离的特殊情况： ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝__|x2－x1|__. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝__|y2－y1|__. 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　　) (2)点P1(a,0)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　　) (3)已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|.(　　) (4)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　) A．5 B． C． D．4 解析　|MN|＝＝5. 答案　A 3．(多选)已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－1 C．5 D．－5 解析　由两点间距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1，或a＝－5. 答案　AD 4．点A(6,0)，P在直线y＝－x上，|AP|＝3，则P点的个数是________． 答案　1 题型一　两点间的距离公式及应用 一题多变 已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上． (1)求AB边上的高CE所在直线的方程； (2)求△ABC的面积． [自主解答]　(1)由题意可知，E为AB的中点， kAB＝＝－1， 所以E(3,2)，且kCE＝－＝1， 所以CE所在直线方程为y－2＝x－3， 即x－y－1＝0. (2)由得 所以C的坐标(4,3) 又A(2,3)，B(4,1) 所以|EC|＝＝， |AB|＝＝2， 所以S△ABC＝|AB|·|EC|＝2. [母题变式] 1．(变条件、变结论)(一题多解)把本例三角形所满足的条件改为“A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)”，试判断此三角形的形状，并求其面积． 解析　解法一　因为|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， 所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|， 所以△ABC是等腰直角三角形， S△ABC＝|AC|·|AB|＝×2×2＝26. 解法二　因为kAC＝＝， kAB＝＝－， 则kAC·kAB＝－1， 所以AC⊥AB． 又|AC|＝＝2， |AB|＝＝2， 所以|AC|＝|AB|，所以△ABC是等腰直角三角形， S△ABC＝|AC|·|AB| ＝×2×2＝26. 2．(变条件、变结论)把本例条件变为：已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． 解析　设所求点为P(x,0)，于是有 |PA|＝＝， |PB|＝＝， 由|PA|＝|PB|，得＝， 解得x＝1，所以P点坐标为(1,0)， 所以|PA|＝＝2. [素养聚焦] 本题主要考查平面内两点间距离公式的应用，着重培养直观想象和数学运算核心素养． 利用两点间的距离公式 求参数值的方法及技巧 (1)方法：常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，然后利用方程的思想求解参数． (2)技巧：解决此类问题时，常常需要结合图形，来直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系，然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题． [触类旁通] 1．(1)已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是(　　) A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋ 解析　由两点间距离公式得 |AB|＝＝3， |BC|＝＝3， |CA|＝＝3. 故△ABC的周长为6＋3. 答案　C (2)已知A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C． D． 解析　因为A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)， 所以|AB|＝ ＝＝ ＝， 所以当a＝时，|AB|取得最小值． 答案　C 题型二　坐标法的应用 △ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，证明：|AE|＝|CD|. [自主解答]　证明　如图所示，以B为原点，取AC所在的直线为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(－a，0)，E，C(c,0)，D， 则|AE|＝ ＝＝， |CD|＝ ＝＝， 所以|AE|＝|CD|. 用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤 [触类旁通] 2．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值． 解析　以正三角形的一边所在直线为x轴，此边中线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A，B， C. 设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝2＋y2＋2＋y2＋x2＋2 ＝3x2＋3y2－ay＋a2 ＝3x2＋32＋a2. ∴当P时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2. [知识落实] 两点间的距离公式及应用、坐标法的应用． [技法强化] (1)解决平面几何问题可利用坐标法． (2)已知距离求参数问题易漏解． 学科网（北京）股份有限公司 $$