2.3.1 两条直线的交点坐标(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3.1　两条直线的交点坐标 学业标准 素养目标 1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(重点) 通过求解两直线的交点坐标，提升数学运算、数学抽象的核心素养. 导学　两条直线的交点坐标 直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么关系？ [提示] 直线上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上点的坐标是其方程的解．反之，直线方程的每一个解都表示直线上点的坐标. 两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0应具备怎样的条件才能相交？ [提示] A1B2－A2B1≠0. 若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，如何求这两条直线的交点坐标？ [提示] 只需写出这两条直线方程，然后联立求解即可． ◎结论形成 两条直线的交点问题 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则： 方程组的解 一组 无数组 __无解__ 两条直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 __相交__ __重合__ __平行__ 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若点A(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A＝B．(　　) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) (3)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (4)若直线2x＋y＋1＝0与直线x－y－4＝0的交点为(a，b)，则a－b＝4.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 解析　解方程组得所以两条直线交点坐标为(2,3)． 答案　B 3．方程组解的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．无数个 解析　因为方程表示的两条直线平行，则方程组无解． 答案　A 4．直线ax＋y＋1－a＝0(a∈R)经过的定点是________． 答案　(1，－1) 题型一　求两条直线的交点坐标 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点，若不相交，说明它们的位置关系． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [自主解答]　(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 求两直线的交点坐标的方法及注意事项 (1)方法：联立这两条直线的方程组成方程组，这个方程组的解对应的实数对即为两条直线的交点坐标． (2)注意事项：解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． [触类旁通] 1．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则a的值是(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析　首先联立 解得交点坐标为(4，－2)，代入方程ax＋2y＋8＝0得a＝－1. 答案　B 题型二　过定点的直线问题一题多解 求经过直线l1：3x＋4y－5＝0与直线l2：2x－3y＋8＝0的交点M，且满足下列条件的直线方程： (1)与直线2x＋y＋5＝0平行； (2)与直线2x＋y＋5＝0垂直． [自主解答]　解法一　由 解得 所以交点M的坐标为(－1,2)． (1)斜率k＝－2，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－2(x＋1)，即2x＋y＝0. (2)斜率k＝，由点斜式得所求直线方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0. 解法二　设直线方程为(3x＋4y－5)＋λ(2x－3y＋8)＝0， 即(3＋2λ)x＋(4－3λ)y＋(－5＋8λ)＝0.(*) (1)因为与直线2x＋y＋5＝0平行， 所以(3＋2λ)×1－(4－3λ)×2＝0， 解得λ＝. 经检验λ＝符合题意． 代入(*)式化简得2x＋y＝0. (2)因为与直线2x＋y＋5＝0垂直，所以2×(3＋2λ)＋1×(4－3λ)＝0，解得λ＝－10. 代入(*)式化简得x－2y＋5＝0. [素养聚焦] 通过对过定点的直线问题的研究，主要提升直观想象、逻辑推理等核心素养． 过两条直线交点的直线的方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法) ①先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数．最后确定直线方程； ②过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． [触类旁通] 2．(1)直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为(　　) A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0 解析　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8，则所求直线l的方程为2x－y＝0. 答案　B (2)无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0，恒过一定点P，求点P的坐标． 解析　∵(m＋1)x－y－7m－4＝0， ∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0， ∴∴ ∴点P的坐标为(7,3)． [知识落实] 两条直线的交点问题、直线系过定点问题． [技法强化] (1)方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. (2)利用A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)求过两直线交点的直线方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$