2.2.3 直线的一般式方程(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2．2.3　直线的一般式方程 学业标准 素养目标 1．掌握直线的一般式方程，理解直线的一般式方程与二元一次方程．(重点、难点) 2．能正确进行直线方程的关系五种形式之间的转化．(难点、易混点) 3．能用直线的一般式方程解决有关问题. 通过学习直线的一般式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养. 导学　直线的一般式方程 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？ [提示] 能. 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ [提示] 可以． 关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？ [提示] 一定． 方程Ax＋By＋C＝0可以表示平行于x轴的直线吗？平行于y轴的呢？ [提示] 可以．A＝0，BC≠0时，方程表示平行于x轴的直线．B＝0，AC≠0时，方程表示平行于y轴的直线． 方程Ax＋By＋C＝0可以表示与x轴重合的直线吗？与y轴重合的呢？ [提示] 可以．A＝C＝0，B≠0时，方程表示与x轴重合的直线．B＝C＝0，A≠0时，方程表示与y轴重合的直线． ◎结论形成 直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程__Ax＋By＋C＝0__(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)直线方程的一般式与其他形式的互化 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　　) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(　　) (4)将直线方程ax＋(a＋1)y＝a(a＋1)化为截距式为＋＝1.(　　) 解析　(1)√.斜率存在和不存在的直线都可以表示为一般式．如与x轴垂直的直线可表示为Ax＋0·y＋C＝0(A≠0)等． (2)×.如斜率不存在的直线不能化为点斜式、斜截式、两点式． (3)×.对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率为0的直线． (4)×.系数a，a＋1可能为零． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　　　　　　 B．60° C．150° D．120° 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 答案　C 3．已知点P(2，m)在直线3x＋y＝2上，那么m的值是________． 解析　由点P在直线上，把P(2，m)代入到直线方程3x＋y＝2得6＋m＝2，解得m＝－4. 答案　－4 4．方程2x－3y－1＝0在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 解析　令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝－，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为，－. 答案　　－ 题型一　直线方程的一般式与其他形式的互化一题多变 把直线l的方程2x－3y－6＝0化成截距式，指出直线在x轴、y轴上的截距，并画出图象． [自主解答]　由2x－3y－6＝0，得2x－3y＝6， 即＋＝1， 故该直线在x轴、y轴上的截距分别为3，－2，画出图象如图所示： [母题变式] (变条件)若把本例1中的直线方程“2x－3y－6＝0”换为“－4x＋7y－28＝0”，其结论又如何呢？ 解析　由－4x＋7y－28＝0，得－4x＋7y＝28，即＋＝1，其中在x轴、y轴上的截距分别为－7，4. 画出图象如图所示： 直线方程互化的几个关注点 (1)直线的一般式可以表示任何直线，但特征不明显，解决问题时，可以把直线的一般式化成其他形式； (2)求直线的一般式方程，通常根据题中的条件求出对应形式的方程，再化为一般式． [触类旁通] 1．(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0　　　　 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0 解析　将一般式化为斜截式，斜率为－的有B、C两项． 又y＝－x＋14过点(0,14)， 即直线过第一象限，所以只有B项正确． 答案　B (2)(多选)当A·C＞0，B·C＜0时，直线l：Ax＋By＋C＝0必经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　令x＝0，得直线在y轴上的截距为－；令y＝0，得直线在x轴上的截距为－.因为A·C＞0，B·C＜0，所以－＞0，－＜0，所以该直线过第一、二、三象限，不过第四象限． 答案　ABC 题型二　一般式下直线的平行和垂直问题 (1)如果直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0(a∈R)平行，那么a＝________. (2)已知直线l1：(k－3)x＋(5－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0垂直，则k的值是________． [自主解答]　(1)∵l1∥l2，∴a(a＋1)－2×1＝0. 解得a＝－2或a＝1， 经检验，a＝－2或a＝1均符合题意， ∴a＝－2或a＝1. (2)由l1⊥l2，得2(k－3)2＋(5－k)×(－2)＝0， 即k2－5k＋4＝0，解得k＝1或k＝4. [答案]　(1)－2或1　(2)1或4 利用一般式直线方程判断直线位置关系的方法 若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，则： (1)当A1B2－A2B1≠0时，l1与l2相交． (2)当A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0时，l1∥l2. (3)当A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0时，l1与l2重合． (4)当A1A2＋B1B2＝0时，l1⊥l2. [触类旁通] 2．已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值． (1)l1⊥l2； (2)l1∥l2. 解析　(1)若l1⊥l2，则3×m＋(m＋1)×2＝0， 解得m＝－. (2)若l1∥l2，则3×2－m(m＋1)＝0， 解得m＝－3或m＝2， 当m＝－3时，直线l1与直线l2平行． 当m＝2时，直线l1与直线l2重合，不符合题意，舍去． 所以m＝－3. 题型三　与含参数的一般式方程有关的问题 一题多解　一题多变 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． [自主解答]　(1)证明　证法一　将直线l的方程整理为y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A， 而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． 证法二　直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a总成立， 必有即 即l过定点A. 以下同证法一． (2)易知直线OA的斜率k＝＝3. 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a的取值范围为[3，＋∞). [母题变式] 1．(变条件)例3中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？ 解析　由例3(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有0≤a≤3.∴a的取值范围为[0,3]． 2．(变条件)例3中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？ 解析　①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求． ②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得所以a>1. 综上可知，a的取值范围为[1，＋∞)． [素养聚焦] 本题通过考查含参数的一般式方程的应用问题，提升学生逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养． 已知含参数的直线的一般式方程 求参数的值或取值范围的步骤 [触类旁通] 3．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： (1)l在x轴上的截距是－3； (2)l的斜率是－1. 解析　(1)当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0，解得m＝－. (2)当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2. [知识落实] 直线的一般式方程与其他形式的方程互化、含参数的直线的一般式方程的有关问题． [技法强化] (1)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (2)易忽视直线斜率不存在的情况；易忽视两直线重合的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $$