2.2.2 直线的两点式方程(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2．2.2　直线的两点式方程 学业标准 素养目标 1．掌握直线方程两点式和截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 2．能选择适当的形式求直线方程．(难点、易错点) 通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养. 导学1　直线的两点式方程 观察如图所示的直线l，思考下列问题： 直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)两点，那么直线l的点斜式方程是什么？ [提示] 由x1≠x2，所求直线的斜率为k＝，则直线的点斜式方程为y－y1＝(x－x1)． 方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)能否写成＝？ [提示] 当y1≠y2时，可以写成上式；当y1＝y2时，不能写成该形式． 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ [提示] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母，过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． ◎结论形成 直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 　＝　 斜率存在且不为0 导学2　直线的截距式方程 若直线l经过点A(a,0)与点B(0，b)，a≠0且b≠0，则直线l的两点式方程是什么？ [提示] 直线l的两点式方程为＝，即＋＝1. 过点(5,0)和(0,7)的直线能用＋＝1表示吗？ [提示] 能． ◎结论形成 直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 　＋＝1　 斜率存在且不为0，直线不过原点 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程＝表示．(　　) (2)在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1.(　　) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　　) 解析　(1)×.当x1＝x2或y1＝y2时，直线不能用方程＝表示． (2)×.当a＝0或b＝0时，在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线不能用方程＋＝1表示． (3)√.直线的截距式就是直线过(a,0)，(0，b)两点的直线的两点式方程的简化形式． (4)√.直线y＝x与坐标轴的交点为(0,0)，故在x轴和y轴上的截距均为0. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．经过点A(－3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为(　　) A．＝　　　　　 B．＝ C．＝ D．＝ 解析　由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝. 答案　A 3．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析　因为由点坐标知直线在x轴、y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1. 答案　C 4．直线－＝1在y轴上的截距为________． 解析　－＝1可化为＋＝1，所以此直线在y轴上的截距为－3. 答案　－3 题型一　直线的两点式方程 (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. [自主解答]　(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程， 所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式得＝， 即＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. [答案]　(1)x＝2　(2)－2 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． [触类旁通] 1．(1)经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线的方程为(　　) A．x＝2 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝6 解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线MN的方程为y＝2，故选B． 答案　B (2)过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是________． 解析　由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)， 由两点式可得＝，整理得3x＋y－6＝0. 答案　3x＋y－6＝0 题型二　直线的截距式方程 求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． [自主解答]　①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0. ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，又l过点A(5,2)， 所以5－2＝a，a＝3，所以直线l的方程为x－y－3＝0， 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. 截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式直线方程的逆向应用． [触类旁通] 2．直线l过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的方程． 解析　设直线l的方程为＋＝1(ab≠0)， 由已知得a＋b＝12　①. 又直线l过点(－3,4)，所以＋＝1　②. 由①②解得或 故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1， 即x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0. 题型三　直线方程形式的灵活应用 一题多变 在△ABC中，已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边的方程； (2)求BC边中线所在直线的方程． [自主解答]　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0， 故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)． (2)设BC的中点M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3,2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. [母题变式] 1．(变结论)本例3中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程． 解析　设AB边上的高线所在直线的斜率为k. ∵kAB＝＝－，∴k＝， 又高线过点C(0，－2)， ∴由点斜式方程得高线所在直线方程为y＋2＝(x－0)，即4x－3y－6＝0. 2．(变结论)本例3中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程． 解析　由变式1知kAB＝－，即中位线所在直线斜率为－， 由例题知BC的中点为， 所以由点斜式方程可得，与AB平行的中位线所在直线方程为y＋3＝－，即6x＋8y＋9＝0. [素养聚焦] 本题主要考查直线方程形式的灵活应用，突出培养直观想象和数学运算核心素养． 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率； (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距； (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程； (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． [触类旁通] 3．(多选)经过点(2,1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程可以是(　　) A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0 解析　由题意设直线方程为＋＝1或＋＝1，把点(2,1)代入直线方程得＋＝1或＋＝1，解得a＝3或a＝1，所以所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. 答案　AC [知识落实] 直线的两点式方程及截距式方程． [技法强化] (1)当已知两点坐标，应考虑用两点式求直线方程． (2)利用截距式求直线方程时易忽略过原点的情况导致漏解． 学科网（北京）股份有限公司 $$