2.2.1 直线的点斜式方程(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2．2　直线的方程 2．2.1　直线的点斜式方程 学业标准 素养目标 1．了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) 通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养. 导学1　直线的点斜式方程 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k.设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？ [提示] 由斜率公式得k＝，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)． 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？ [提示] 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0. 过点P0(x0，y0)，且倾斜角为0°的直线方程是什么？ [提示] y＝y0. ◎结论形成 直线的点斜式方程 名称 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和__斜率k__ 图示 方程 y－y0＝__k(x－x0)__ 适用条件 斜率存在 导学2　直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？ [提示] 将k及点(0，b)代入点斜式直线方程，得y＝kx＋b. 方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？ [提示] y轴上的截距b不是距离，b可以是负数和零． ◎结论形成 直线的斜截式方程 名称 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程 __y＝kx＋b__ 适用条件 斜率存在 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点(x0，y0)、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成＝k.(　　) (2)y轴所在直线方程为y＝0.(　　) (3)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．(　　) (4)过点(1,1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来．(　　) 解析　(1)×.点(x0，y0)不满足＝k，所以＝k不能表示过点(x0，y0)斜率为k的直线． (2)×.y轴所在直线方程为x＝0. (3)×.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标． (4)×.过点(1,1)且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　) A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3 答案　A 3．直线y＝3x－2的斜率为________，在y轴上的截距为________． 解析　直线y＝3x－2的斜率为3，在y轴上的截距为－2. 答案　3　－2 4．(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________． (2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为________． 解析　(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为x＝2. (2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为y＝1. 答案　(1)x＝2　(2)y＝1 题型一　直线的点斜式方程 (1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________． (3)求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． [自主解答]　(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5. (3)因为直线y＝x的斜率为，所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为. 所以所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2)． [答案]　(1)y－5＝x－2　(2)x＝－5 (3)y＋3＝(x－2) 求直线的点斜式方程的步骤 提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. [触类旁通] 1．(1)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为____________． 解析　直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，则直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)． 答案　y－4＝－(x－3) (2)已知过定点(4,5)的直线m的一个方向向量是d＝(3,2)，则直线m的点斜式方程为________． 解析　因为直线的一个方向向量d＝(3,2)， 所以直线的斜率为. 又直线过点(4,5)， 所以直线的点斜式方程为y－5＝(x－4)． 答案　y－5＝(x－4) 题型二　直线的斜截式方程 已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的斜截式方程． [自主解答]　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又l∥l1，所以l的斜率k＝k1＝－2. 由题意知l2在y轴上的截距为－2. 所以l在y轴上的截距b＝－2，所以直线l的斜截式方程为y＝－2x－2. 当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解． [触类旁通] 2．(1)直线y＝(x－)的斜率k与在y轴上的截距b分别是(　　) A．， B．，－3 C．，3 D．－，－3 解析　∵y＝(x－)＝x－3，∴k＝，b＝－3. 答案　B (2)求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且满足在y轴上的截距是－5的直线方程． 解析　因为直线的方程为y＝－x＋1， 所以k＝－，倾斜角为120°， 由题知所求直线的倾斜角为30°，即斜率为. 因为所求直线在y轴上的截距为－5， 故所求直线的斜截式方程为y＝x－5. 题型三　两直线平行和垂直的应用一题多变 已知直线l1：y＝－x＋3a与直线l2：y＝(a2－5)x＋6. (1)当a为何值时，l1∥l2； (2)当a为何值时，l1⊥l2. [自主解答]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k1＝－1，k2＝a2－5， (1)当l1∥l2时，有解得a＝－2. (2)当l1⊥l2时，有k1k2＝－1，即a2－5＝1， 所以a2＝6，所以a＝±. [母题变式] 1．(变结论)在例3条件不变的情况下，求证：无论a为何值，直线l2恒过定点，并求出定点． 解析　由y＝(a2－5)x＋6知，无论a为何值，l2在y轴上的截距恒为6，即l2恒过定点(0,6)． 2．(变条件)例3条件变为：已知直线l：y＝(a2－2)x＋2a＋8与直线y＝－x＋1垂直，且与直线y＝3x＋a2在y轴上的截距相同，求a的值． 解析　由题意得 解得所以a＝－2. [素养聚焦] 通过两直线平行和垂直的应用，逻辑推理、数学运算等核心素养在解题过程中得以体现． 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2. (1)若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，k1＝k2且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2. (2)若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之，k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. [触类旁通] 3．(1)已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________. 解析　由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1. 答案　－1 (2)若直线l1：y＝－x－与直线l2：y＝3x－1互相平行，则a＝________. 解析　由题意可知 解得a＝－. 答案　－ [知识落实] 直线的点斜式方程及斜截式方程． [技法强化] (1)应用点斜式方程表示直线的前提条件是该直线的斜率存在，且过已知点． (2)求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况，混淆直线的截距和距离． 学科网（北京）股份有限公司 $$