2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 学业标准 素养目标 1．理解并掌握两条直线平行或垂直的条件．(重点) 2．会利用斜率判断两直线平行或垂直．(重点、难点) 3．能应用两条直线的平行或垂直条件解决有关问题．(易错点) 通过学习两条直线平行与垂直的判定，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 导学1　两直线平行的条件 若两条直线平行，则它们的倾斜角有什么关系？ [提示] 相等． 若两条斜率存在的直线平行，则它们的斜率有什么关系？ [提示] 相等． 若两条直线斜率都不存在，则它们的位置关系如何？ [提示] 平行． 若两条直线斜率相等，则它们一定平行吗？ [提示] 不一定平行．(两直线有可能重合)． ◎结论形成 两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2__≠90°__ α1＝α2__＝90°__ 对应关系 l1∥l2⇔__k1＝k2__ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在 图示 导学2　两直线垂直的条件 若直线l1斜率为0，直线l2斜率不存在，则直线l1与l2有什么位置关系？ [提示] 垂直． 如图，斜率都存在的两条直线l1与l2，若l1⊥l2，则其倾斜角有什么关系？斜率有什么关系？ [提示] α2－α1＝90°，k1·k2＝－1. ◎结论形成 两条直线垂直与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在，且都不为零)⇔__k1·k2＝－1__ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒__l1⊥l2__ 图示 1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线斜率相等，则两直线平行．(　　) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　) (3)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交．(　　) (4)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．(　　) 解析　(1)×.两直线有可能重合，故(1)错误； (2)×.可能出现两直线斜率不存在情况，故(2)错误； (3)√.正确． (4)×.两直线斜率都不存在，也可能重合． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知A(2,0)，B(3,3)，直线l∥AB，则直线l的斜率为(　　) A．－3　　　　　　　 B．3 C．－ D． 解析　kAB＝＝3. 答案　B 3．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________. 解析　因为k1＝2，l1⊥l2， 所以k1k2＝－1，k2＝－＝－. 答案　－ 4．直线l1过A(－2，m)和B(m,4)，直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，则m＝________. 解析　由题知直线l1的斜率存在， 则直线l1的斜率kl1＝， 因为直线l2的斜率kl2＝－2，且l1∥l2， 所以kl1＝－2，即＝－2，所以m＝－8. 答案　－8 题型一　直线平行的判定 (多选)下列各组直线中l1与l2一定平行的是(　　) A．l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7) B．l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2,3) C．l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2) D．l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5) [自主解答]　A．由题意知k1＝＝－，k2＝＝－， 所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. B．由题意知k1＝＝1，k2＝＝1， 所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合． C．由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合． D．由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. [答案]　AD 判断两条不重合直线是否平行的步骤 提醒：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． [触类旁通] 1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 解析　由题意得，直线l1的斜率为tan 135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，∴直线l1与l2平行或重合． 答案　D 题型二　两直线垂直的判定 判断下列各题中l1与l2是否垂直． (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)； (2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)；l2经过点M(－10，40)，N(10,40)． [自主解答]　(1)∵k1＝＝2， k2＝＝，∴k1k2＝1，∴l1与l2不垂直． (2)∴k1＝－10，k2＝＝，∴k1k2＝－1， ∴l1⊥l2. (3)由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°， 则l1⊥x轴， 又k2＝＝0，则l2∥x轴，因此l1⊥l2. 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步． (2)二代：将点的坐标代入斜率公式． (3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况． [触类旁通] 2．以A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)为顶点的三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．以A为直角顶点的直角三角形 D．以B为直角顶点的直角三角形 解析　kAB＝＝－， kBC＝＝2，所以kAB·kBC＝－1. 所以AB⊥BC． 故△ABC是以B为直角顶点的直角三角形． 答案　D 题型三　平行和垂直的综合应用一题多变 △ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值． [自主解答]　因为∠A为直角，则AC⊥AB， 所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1， 得m＝－7. [母题变式] (变条件)若将例3中的条件“若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形”改为“若△ABC为直角三角形”，如何求解m的值？ 解析　若∠A为直角，则AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7； 若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1， 即·＝－1，得m＝3； 若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 即·＝－1，得m＝±2. 综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2. [素养聚焦] 本题通过两直线平行与垂直的综合应用，提升学生直观想象与数学运算核心素养． 利用两条直线平行或垂直的结论处理图形问题的步骤及注意点 (1)判定图形形状的步骤： ①描点：在坐标系中描出给定的点； ②猜测：根据描出的点，猜测图形的形状； ③求斜率：根据给定点的坐标求直线的斜率； ④结论：由斜率之间的关系，判断形状． (2)注意点：判断四边形的形状时，最后的结论要彻底、具体，必要时要判断对角线的关系．如：结果是正方形时，不要答成矩形． [触类旁通] 3．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标； (2)试判断▱ABCD是否为菱形？ 解析　(1)设D点坐标为(a，b)， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以解得 所以D(－1,6)． (2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． [知识落实] 两条直线平行与垂直的判定、两条直线平行和垂直的应用． [技法强化] (1)利用直线的斜率判断平面图形的形状时，一般先由图形进行猜测，然后利用直线的斜率关系进行判断． (2)研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况． 学科网（北京）股份有限公司 $$