2.1.1 倾斜角与斜率(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 学业标准 素养目标 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(重点) 3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(重点) 　　在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过程中，提升数学抽象素养；通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式，提升数学运算、逻辑推理素养. 导学1　直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ [提示] 不能． 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如下图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ [提示] 不同． ◎结论形成 1．直线的倾斜角的定义 2．直线的倾斜角α的取值范围：　0°≤α＜180°　. 3．倾斜程度相同的直线，其倾斜角必__相等__；倾斜程度不同的直线，其倾斜角__不相等__． 导学2　直线的斜率 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. 已知直线l经过O(0,0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ [提示] tan α＝＝. 类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标又有什么关系？ [提示] tan α＝＝1－. 一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？ [提示] tan α＝. ◎结论形成 斜率的概念与斜率公式 定义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的__正切值__ α＝90° 斜率__不存在__ 记法 k，即k＝__tan_α__(α≠90°) 范围 　R　 公式 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝　　； (2)若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则　k＝　 作用 实数反映了平面直角坐标系内直线的__倾斜程度__ 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有直线都有倾斜角和斜率．(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　) (4)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．(　　) 解析　(1)×.所有直线都有倾斜角，但在倾斜角为90°的直线斜率不存在． (2)×.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应． (3)√.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和倾斜角α. (4)×.当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．如图，直线l与y轴正向之间的夹角为30°，则直线的倾斜角为(　　) A．30° B．60° C．45° D．不确定 解析　由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为60°. 答案　B 3．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是(　　) A．45°，1 B．135°，－1 C．90°，不存在 D．180°，不存在 解析　∵直线x＝1与y轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在． 答案　C 4．直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，且斜率为2，则实数m的值为________． 解析　根据题意，直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，则其斜率k＝＝2，解得m＝3. 答案　3 题型一　直线的倾斜角 (1)如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为(　　) A．45° B．135° C．0° D．无法计算 (2)(多选)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．45°－α C．α－135° D．135°－α [自主解答]　(1)根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为90°＋45°＝135°.故选B． (2)如图①所示，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角是α＋45°，如图②所示，当135°≤α<180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°. [答案]　(1)B　(2)AC 求直线倾斜角的方法及关注点 [触类旁通] 1．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 答案　C 题型二　直线的斜率 (1)经过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 (2)在△ABC中，已知A(1，－1)，B(1,1)，C(3，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角、钝角还是直角． [自主解答]　(1)由题意得＝1， 解得m＝1. (2)因为A，B两点的横坐标相同， 所以直线AB垂直于x轴， 倾斜角为90°， 即倾斜角为直角，斜率不存在； 因为A，C两点纵坐标相同， 所以直线AC平行于x轴， 即垂直于y轴，斜率为0，倾斜角为0°， 既不是钝角也不是锐角和直角； B，C两点横坐标不相同，纵坐标也不相同， 由tan α＝＝－1， 所以直线BC的倾斜角为135°，斜率为－1， 即倾斜角为钝角． [答案]　(1)A　(2)略 利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2，即直线不与x轴垂直”，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． [触类旁通] 2．(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　因为直线的斜率k和倾斜角α的关系是k＝tan α(α≠90°)， 所以当倾斜角为120°时，直线的斜率k＝tan 120°＝－tan 60°＝－. 答案　B (2)已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率大于1，则m的取值范围是(　　) A．(5,8) B．(8，＋∞) C． D． 解析　由题意知＞1， 得－1＞0，即＜0，所以5＜m＜. 答案　D 题型三　斜率与倾斜角的综合应用 一题多变 已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围． [自主解答]　如图所示， 直线PA的斜率kPA＝＝5， 直线PB的斜率kPB＝＝－， 直线l绕着P点从PA旋转到与y轴平行的位置PC时， 它的斜率的取值范围是[5，＋∞)． 直线l绕着P点从PC旋转到PB时， 它的斜率的取值范围是. 所以直线l的斜率的取值范围是∪[5，＋∞)． [母题变式] (变条件、变结论)将例3中点P的坐标改为(1,0)，点A的坐标改为(－3,4)，点B的坐标改为(3,2)，求l的倾斜角θ的取值范围． 解析　如图，当直线l过点B时设直线l的倾斜角为α(0°≤α＜180°)， 则tan α＝＝1，α＝45°，当直线l过A时设直线l的倾斜角为β(0°≤β＜180°)， 则tan β＝＝－1，β＝135°， 所以要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的倾斜角θ的取值范围是45°≤θ≤135°. [素养聚焦] 本题通过考查倾斜角与斜率的关系，提升学生直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养． 直线的斜率公式为k＝(x1≠x2)，表示的是两点的数值问题，而其几何意义就是直线的倾斜程度，根据点的坐标范围可以求解斜率的范围，即最值问题．因此，对于形如式子的最值问题，可以考虑利用斜率的几何意义求解． [触类旁通] 3．经过两点A(m,2)，B(－m,2m－1)的直线的倾斜角为45°.若点C(m＋1，n)在直线AB上，求m，n的值． 解析　k＝tan 45°＝＝1，解得m＝. 所以A，C.又A，B，C三点共线， 所以kAC＝tan 45°＝＝n－2＝1. 所以n＝3.即m与n的值分别为和3. [知识落实] 直线的倾斜角、直线斜率的定义和斜率公式，直线斜率与方向向量的关系． [技法强化] (1)每条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角的正切值就是斜率，斜率和倾斜角可以相互转化，但不是所有直线都有斜率． (2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在． [必备知识·基础巩固] 1．已知点A的坐标为(3,4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的斜率kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2,0)或(0，－4) B．(2,0)或(0，－8) C．(2,0) D．(0，－8) 解析　设B点坐标为(x,0)或(0，y)，则kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4， ∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2,0)或(0，－8)． 答案　B 2．已知三点(2，－3)，(4,3)，在同一条直线上，则实数k的值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．12 解析　由题意，得＝，解得k＝12. 答案　D 3．已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得的直线的斜率是(　　) A．0 B． C． D．－ 解析　由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为. 答案　C 4．(多选)直线l1的倾斜角为α，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角可能为(　　) A．90°－α　　　　　　 B．90°＋α C．|90°－α| D．180°－α 解析　(1)当α＝0°时，l2的倾斜角为90°，(如图①) (2)当0°＜α＜90°时，l2的倾斜角为90°＋α.(如图②) (3)当α＝90°时，l2的倾斜角为0°.(如图③) (4)当90°＜α＜180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图④) 答案　ABC 5．已知点A(－3,2)，B(0，－1)，则直线AB的倾斜角为________． 解析　因为直线过点A(－3,2)，B(0，－1)， 所以kAB＝＝－1.设直线AB的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－1，所以α＝135°. 答案　135° 6．一束光线射到x轴上并经x轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________. 解析　作出入射光线和反射光线，如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角为60°.又反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°. 答案　150° 7．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 解析　由两点坐标求得斜率为k＝＝.∵倾斜角是钝角，∴k＜0，∴＜0，∴－2＜a＜1， 即实数a的取值范围是(－2,1)． 答案　(－2,1) 8．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值． 解析　由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1. 所以kAC＝，kBC＝， 所以＝3×， 整理，得－m－1＝(m－5)(m＋1)， 即(m＋1)(m－4)＝0， 解得m＝4或m＝－1(舍去)，所以m＝4. [关键能力·综合提升] 9．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是(　　) A．[0,2] B．[0,1] C． D． 解析　如图所示，当直线l在l1的位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2的位置时，k＝＝2，故直线l的斜率的取值范围是[0,2]． 答案　A 10．如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2 C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0， 即k1<0，k2>k3>0. 答案　A 11．已知从点A(6,1)射出的光线经y轴上的点M反射后经过点B(3，－2)，则点M的坐标为________． 解析　设点M(0，y)， 根据反射的对称性，知点B(3，－2)关于y轴的对称点B′(－3，－2)与A，M在同一直线上，所以kAB′＝kAM， 所以＝，解得y＝－1， 所以点M的坐标为(0，－1)． 答案　(0，－1) 12．已知点A(1,0)，B(2，)，C(m,2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为________，直线AC的一个方向向量为________． 解析　设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α， 因为tan α＝＝，0°≤α<180°，所以α＝60°，则2α＝120°，所以kAC＝＝tan 120°＝－，得m＝2－3. 因为kAC＝－，所以直线AC的一个方向向量为(1，－)(答案不唯一)． 答案　2－3　(1，－)(答案不唯一) 13．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m,1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l的方向向量的坐标为(3,1)? (3)直线的倾斜角为45°？ 解析　(1)若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1. (2)直线l的方向向量的坐标为(3,1)，故k＝，即＝，解得m＝. (3)由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1，解得m＝0. [核心价值·探索创新] 14．设直线l的斜率为k，且－1≤k<，则直线l的倾斜角α的取值范围为(　　) A．∪ B．∪ C． D．∪ 解析　由题意可得，α∈[0，π)． 因为－1≤k<，即－1≤tan α<， 结合正切函数的性质，可得α∈∪.故选D． 答案　D 15.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 解析　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$