1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 学业标准 素养目标 1．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题(重点、难点) 3．体会向量方法在解决立体几何问题中的作用．(难点) 1．通过学习空间中距离的概念，点、线、面距离的相互转化与计算，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养． 2．通过学习空间角的计算步骤和方法，把两异面直线所成的角、线面角、二面角转化为向量的夹角求解，培养学生的直观想象和数学运算素养. 第1课时　用空间向量研究距离问题 导学1　用向量法求点到直线的距离 空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，应如何用向量方法求它们之间的距离？ [提示] P1P2＝||＝. 如何求直线外一点P到直线l的距离？ [提示] 我们可以由点P向直线l作垂线，得垂足Q，则PQ的长度即为点P到直线l的距离． 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，能否利用这些条件求点P到直线l的距离？ [提示] 能．如图所示， 向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形．因为A，P都是定点，所以||，与u的夹角∠PAQ都是确定的．于是可求||.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ. 如何用向量法求两条平行直线间的距离？ [提示] 从其中一条直线上取点P，然后求点P到另一条直线的距离即可． ◎结论形成 1．点P到直线l的距离 d＝＝.(已知u为直线l的单位方向向量，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a) 2．两平行直线a，b 之间的距离 d＝(A∈a，P∈b，u为直线a的单位方向向量)． 导学2　用向量法求点到平面的距离 点到平面的距离是如何定义的？ [提示] 一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离． 如图所示，已知平面α的法向量为 n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，应如何求点P到平面α的距离？ [提示] 过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 能否将线面距离及两平行平面的距离转化为点到平面的距离？ [提示] 能．直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离，两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离． ◎结论形成 1．平面外点P到平面α的距离为 d＝，其中A∈α，n为平面α的法向量． 2．平行于平面α的直线l与平面α之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈l，n是平面α的法向量． 3．两平行平面α，β之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α的法向量． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两平行平面之间的距离就是一个平面内任意一点到另一个平面的距离．(　　) (2)点P到平面α的距离公式是d＝，其中A为平面α内任意一点，n为平面α的一个法向量．(　　) (3)点P到直线l的距离公式是d＝，其中A为直线l上任意一点，a为与直线l垂直的向量．(　　) (4)若直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A． B．2 C． D． 解析　由题意＝(＋)＝，＝－＝，||＝＝. 答案　D 3．已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为(　　) A．5 B．14 C． D． 答案　C 4．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在α内，则P(－2,1,4)到平面α的距离为(　　) A．10 B．3 C． D． 解析　因为A(－1,3,0)，P(－2,1,4)，所以＝(－1，－2,4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A在α内， 所以P(－2,1,4)到平面α的距离为＝＝. 答案　D 题型一　点到直线的距离 在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． [自主解答]　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)， ∴＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)． ∴||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴在上的投影为＝ . ∴点A到直线EF的距离 d＝＝＝. 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影； (4)利用勾股定理求点到直线的距离． [触类旁通] 1．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离． 解析　如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则P(0,0,1)，B(3,0,0)，D(0,4,0)， 所以＝(3,0，－1)，＝(－3,4,0)， 取a＝＝(3,0，－1)， u＝＝， 则a2＝10，a·u＝－， 所以点P到BD的距离为 ＝＝. 题型二　点到平面的距离一题多变 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离． [自主解答]　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F， 所以＝，＝. 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·＝0，且n·＝0， 所以 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝＝＝. [母题变式] (变结论)例2中条件不变，求直线AC到平面PEF的距离． 解析　因为＝， 所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距离为. [素养聚焦] 本题通过求点到平面、直线到平面的距离，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求出该平面的一个法向量； (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量； (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． [触类旁通] 2．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，求点D1到平面BDE的距离． 解析　以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示， 所以D(0,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，E(0,1,1)，故＝(1,1,0)，＝(0,1,1)． 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥. 所以所以 所以 取x＝1，则y＝－1，z＝1， 所以n＝(1，－1,1)． 因为点D1到平面BDE的距离d＝，＝(0,0,2)， 所以·n＝2，|n|＝， 所以d＝＝， 即点D1到平面BDE的距离为. 题型三　线面、面面的距离 如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． [自主解答]　∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴A1B1∥平面ABE， ∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离． 如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，，1)，C(0，，0)．过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝， ∴B(1,2，0)， ∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)． 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)． ∵＝(0,0,2)， ∴点A1到平面ABE的距离 d＝＝＝. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离， ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 求直线、平面到它的平行平面的距离，先在直线、平面上找到一点，然后转化为求点到平面的距离(这个点要适当选取，以求解最简便为准则)． [触类旁通] 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 所以＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1,0,0)． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)． ∴点D1到平面A1BD的距离 d＝＝＝. ∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. [知识落实] 点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离与平面到平面的距离． [技法强化] (1)线面距、面面距实质上都是求点到面的距离，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行． (2)对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用． 学科网（北京）股份有限公司 $$