1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第2课时　空间中直线、平面的平行 导学　空间中直线、平面的平行 若两条直线平行，则它们的方向向量有什么关系？ [提示] 平行． 若一条直线与一个平面平行，则直线的方向向量和平面的法向量什么关系？ [提示] 垂直． 若直线的方向向量和平面的法向量垂直，这条直线与这个平面一定平行吗？ [提示] 不一定，直线还可能在平面内． 若两个平面平行，则它们的法向量有什么关系？ [提示] 平行． ◎结论形成 空间中平行关系的向量表示 设直线l，l1，l2的方向向量分别为u，u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线线平行 l1∥l2⇔　u1∥u2　⇔　∃λ∈R，u1＝λu2　 线面平行 l∥α⇔　u⊥n1　⇔　u·n1＝0　 面面平行 α∥β⇔　n1∥n2　⇔　∃λ∈R，n1＝λn2　 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　) (2)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行．(　　) (3)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(　　) (4)如果向量a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．(　　) 解析　(1)×.两直线可能重合． (2)×.直线可能在平面内． (3)√.根据平面法向量的定义，可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量，是正确的． (4)×.当a，b共线时，n就不是平面α的一个法向量． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若两条直线的方向向量分别是a＝(2,4，－5)，b＝(－6，x，y)，且两条直线平行，则x＝________，y＝________. 答案　－12　15 3．若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________． 解析　因为u·n＝(－1,2，－3)·(4，－1，－2)＝0，所以u⊥n.所以直线与平面平行，即l∥β. 答案　平行 4．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为________． 解析　∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u，∴v∥u， ∴α∥β. 答案　平行 题型一　线、面位置关系的判定 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)． [自主解答]　(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)， ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴v∥u，即α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a·u≠0且a≠ku (k∈R)， ∴a与u既不共线也不垂直， 即l与α相交但不垂直． (4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)， ∴a·u＝－3＋4－1＝0， ∴a⊥u，即l⊂α或l∥α. (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行，否则直线与平面相交但不垂直． (3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)，否则两平面相交但不垂直． [触类旁通] 1．(1)已知向量a＝(3,6,7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．m＝8，n＝28 B．m＝4，n＝28 C．m＝8，n＝ D．m＝4，n＝ 解析　∵l1∥l2，且向量a＝(3,6,7)，b＝(4，m，n)分别为直线l1，l2的方向向量，∴a∥b， ∴＝＝，∴m＝8，n＝. 答案　C (2)设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2,4，－8)垂直，则平面α与β位置关系是________． 解析　∵a＝b，∴a∥b. ∵平面α与向量a垂直， ∴平面α与向量b也垂直． ∵平面β与向量b垂直， ∴α∥β. 答案　α∥β 题型二　直线和直线平行一题多解 如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2，求证：MN∥AP. [自主解答]　证明　证法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，N，M，所以＝(－1,0,1)，＝，所以＝，又M∉AP，故MN∥AP. 证法二　由题意可得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋＋＝＋＝(＋)＝，又M∉AP，所以MN∥AP. 证明直线平行的两种思路 [触类旁通] 2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS. 证明　如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则根据题意得M，N(0,2,2)，R(3,2,0)，S，∴＝，＝， ∴＝.∴∥. ∵M∉RS，∴MN∥RS. 题型三　直线和平面平行 一题多解　一题多变 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD． [自主解答]　 证明　证法一　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0，1)，B(1,1,0)，M，N，于是＝(1,0,1)，＝(1,1,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则 即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)． 又·n＝·(1，－1，－1)＝0， ∴⊥n，又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD． 证法二　∵＝－＝－ ＝(－)＝，∴∥， 又MN⊄平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD． 证法三　因为＝－＝－＝－＝(＋)－(＋)＝－， 即可用与线性表示，故与，是共面向量，又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD． [母题变式] (变条件、变结论)若例3换为：“在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点．”求证：AB∥平面DEG. 证明　∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB， ∴EF⊥AE，EF⊥BE. 又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直． 以E为原点，EB，EF，EA分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，F(0,3,0)，D(0,2,2)，G(2,2,0)，∴＝(0,2,2)，＝(2,2,0)，＝(2,0，－2)． 设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1,1，－1)， ∴·n＝－2＋0＋2＝0，即⊥n. ∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG. [素养聚焦] 本题通过考查利用空间向量证明线面平行，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 利用空间向量证明线面平行一般有三种方法： (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示； (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证； (3)先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． [触类旁通] 3.如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1. 证明　如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，则A(0,0,0)，B，B1，C1(0，a，b)，D，∴＝，＝，＝. 设平面DBC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 不妨令y＝2b，则n＝(0,2b，－a)． 由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n. 又AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 题型四　平面和平面平行 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：平面EFG∥平面PBC． [自主解答]　证明　由题意知AB，AP，AD两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0，1,1)，G(1,2,0)． 所以＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面GEF的法向量， 则n1⊥，n1⊥，即 得 令z1＝1，则x1＝1，y1＝0，所以n1＝(1,0,1)． 设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的一个法向量， 由n2⊥，n2⊥， 得， 即 令z2＝1，得x2＝1，y2＝0， 所以n2＝(1,0,1)． 因为n1＝n2，所以平面EFG∥平面PBC． 证明面面平行问题的两种方法 (1)转化为相应的线线平行或线面平行． (2)分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本例题采用的是方法(2)，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明面面平行的常用方法． [触类旁通] 4.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．求证：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明　因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点， 所以BF＝BC＝CF， 所以△BCF为正三角形． 因为ABCD为等腰梯形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD． 以D为原点，DM，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，－1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， 所以＝(0,0,2)，＝(，－1,0)，＝(，－1,0)，＝(0,0,2)． 所以∥，∥. 由图可知DD1∥CC1， 因为DD1⊄平面FCC1，CC1⊂平面FCC1， 所以DD1∥平面FCC1，同理DA∥平面FCC1， 又DD1∩DA＝D，DD1，DA⊂平面AA1D1D， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. [知识落实] 利用空间向量解决线线平行、线面平行与面面平行问题． [技法强化] (1)利用直线的方向向量与平面的法向量证明空间中的平行关系，体现了转化与化归的思想方法． (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点． 学科网（北京）股份有限公司 $$