1.3.2 空间向量运算的坐标表示(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1．3.2　空间向量运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 　　通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养. 导学　空间向量运算的坐标表示 设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？ [提示] m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2. 已知非零向量a，b，c分别平行于x轴、y轴、z轴，它们的坐标各有什么特点？ [提示] 向量a的横坐标不为0，其余均为零；向量b的纵坐标不为0，其余均为0；向量c的竖坐标不为零，其余均为0. ◎结论形成 1．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝__(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)__ 减法 a－b＝__(a1－b1，a2－b2，a3－b3)__ 数乘 λa＝　(λa1，λa2，λa3)，λ∈R　 数量积 a·b＝__a1b1＋a2b2＋a3b3__ 2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则： 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 3．向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则： (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝||＝. 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(　　) (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔＝＝.(　　) (3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则〈a，b〉是钝角⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＜0.(　　) (4)把向量a＝(x，y，z)平移后其坐标不变．(　　) 解析　(1)×.向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标． (2)×.当b的三个坐标都不为0时，a∥b⇔＝＝才成立，否则有些分式无意义． (3)×.当a1b1＋a2b2＋a3b3＜0时，〈a，b〉可能等于180°. (4)√.向量平移后，起点和终点坐标会发生变化，但对应坐标的差，即向量的坐标不变． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　) A．(2，－4,2)　　　　　 B．(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 解析　b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 答案　A 3．(2024·济南模拟)已知空间向量a＝(m＋1，m，－2)，b＝(－2,1,4) ，且a⊥b，则m的值为(　　) A．－ B．－10 C．10 D． 解析　∵a⊥b，∴－2(m＋1)＋m－8＝0⇒m＝－10.故选B． 答案　B 4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________. 解析　a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1,0，－1)，2a－3b＝2(1,1,0)－3(0，1,1)＝(2，－1，－3)．所以(a－b)·(2a－3b)＝(1,0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5. 答案　－2　5 题型一　空间向量的坐标运算 已知O是坐标原点，点A(2,0，－2)，B(3,1,2)，C(2，－1,7)． (1)若点P满足＝2－3，则点P的坐标为________； (2)若点P满足＝2－，则点P的坐标为________． [自主解答]　＝(1,1,4)，＝(0，－1,9)． (1)因为＝2－3＝2(1,1,4)－3(0，－1，9)＝(2,5，－19)， 所以点P的坐标为(2,5，－19)． (2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y，z＋2)． 因为＝2－， 所以(x－2，y，z＋2)＝2(1,1,4)－(0，－1,9)＝(2,3，－1)， 所以x－2＝2，y＝3，z＋2＝－1， 即x＝4，y＝3，z＝－3， 所以点P的坐标为(4,3，－3)． [答案]　(1)(2,5，－19)　(2)(4,3，－3) 空间向量坐标运算的解题方法 (1)直接计算，首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量的坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标时，首先把向量用坐标的形式设出来，然后建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标． [触类旁通] 1．(1)已知向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1，2)，则向量a－b＋4c的坐标为(　　) A．(5，－1,4)　　　　 B．(5,1，－4) C．(－5,1,4) D．(－5，－1,4) 解析　由题意得a－b＋4c＝(3,5，－1)－(2,2,3)＋4(1，－1,2)＝(5，－1,4)．故选A． 答案　A (2)已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝(　　) A．－1 B．1 C．0 D．－2 解析　∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A． 答案　A 题型二　空间向量平行、垂直、夹角、模的坐标运算一题多变 已知点A(2,0，－1)，B(1,1,2)，C(3，－2，－3)． (1)向量与夹角的余弦值为________； (2)若向量a∥，且|a|＝，则a＝________. [自主解答]　由题可知＝(－1,1,3)，＝(1，－2，－2)，＝(2，－3，－5)， (1)cos〈，〉＝＝ ＝－. (2)由a∥，＝(2，－3，－5)， 可设a＝(2k，－3k，－5k)， 则由|a|＝可求得k2＝1，即k＝±1， 所以a＝(2，－3，－5)或(－2,3,5)． [答案]　(1)－ (2)(2，－3，－5)或(－2,3,5) [母题变式] 1．(变条件、变结论)若例2中点A，B，C坐标不变，向量λ＋与向量互相垂直，则实数λ的值为多少？ 解析　因为λ＋＝(－λ＋1，λ－2,3λ－2)， ＝(2，－3，－5)， 所以2(－λ＋1)－3(λ－2)－5(3λ－2)＝0，解得λ＝. 2．(变结论)若例2中点A，B，C坐标不变，问是否存在实数λ使向量λ＋与向量互相平行？ 解析　因为λ＋＝(－λ＋1，λ－2,3λ－2)， ＝(2，－3，－5)， 所以(－λ＋1，λ－2,3λ－2)＝k(2，－3，－5)， 所以方程组无解，所以不存在实数λ使向量λ＋与向量互相平行． [素养聚焦] 此类题目通过考查空间向量在平行、垂直、夹角、距离等问题中的运算，提升学生数学运算核心素养． (1)利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，牢记运算公式是解题的关键． (2)向量平行与垂直的坐标表示是本节的重要知识点，应熟练掌握．含参数的向量平行问题中，应用比例式求参数值时，要注意其前提． [触类旁通] 2．(1)已知向量m＝(1,1,0)，n＝(－1,0,2)，且km＋n与2m－n互相平行，则实数k的值是(　　) A．－ B． C． D．－2 解析　∵向量m＝(1,1,0)，n＝(－1,0,2)， ∴km＋n＝(k－1，k,2)，2m－n＝(3,2，－2)． ∵km＋n与2m－n互相平行， ∴＝＝，解得k＝－2. 故选D． 答案　D (2)设x，y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(2，－2,2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________. 解析　因为a⊥c，所以a·c＝2x－2＋2＝0，解得x＝0. 又b∥c，则＝＝，得y＝－1. 所以a＝(0,1,1)，b＝(1，－1,1)． 所以a＋b＝(0,1,1)＋(1，－1,1)＝(1,0,2)， 所以|a＋b|＝＝. 答案　 题型三　空间向量的坐标运算的应用 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点．求证： (1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD． [自主解答]　证明　 如图，以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A1(0，0,1)，B1(1,0,1)，C1(1,1,1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H. (1)＝(1,0,1)，＝， ＝. 因为＝2，·＝1×＋1×＝0，所以∥，⊥， 即AB1∥GE，AB1⊥EH. (2)＝，＝， ＝. 因为·＝－＋0＝0， ·＝＋0－＝0， 所以A1G⊥DF，A1G⊥DE. 因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD． 运用向量坐标运算解决几何问题的方法 [触类旁通] 3．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是AA1，CB1的中点． (1)求BM，BN的长； (2)求△BMN的面积． 解析　以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图． 则B(0,1,0)，M(1,0,1)，N. (1)∵＝(1，－1,1)，＝， ∴＝＝， ＝＝. 故BM的长为，BN的长为. (2)S△BMN＝BM·BN·sin ∠MBN. ∵cos ∠MBN＝cos〈，〉 ＝＝＝， ∴sin∠MBN＝＝， 故S△BMN＝×××＝， 即△BMN的面积为. [知识落实] 空间向量运算的坐标表示、空间向量的坐标表示的应用． [技法强化] (1)空间向量的坐标运算实际上是平面向量坐标运算的推广(在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标)，与平面向量的坐标运算相比，空间向量坐标运算的适用范围更广，它可以解决立体几何中的相关问题． (2)两向量对应坐标的比相等是a∥b的充分不必要条件，而非充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$