1.2 空间向量基本定理(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1．2　空间向量基本定理 学业标准 素养目标 1．类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理．(重点) 2．能熟练地用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题．(重点、难点) 通过利用空间向量基本定理，培养学生的直观想象和数学运算素养. 导学1　空间向量基本定理 平面向量对基底有什么要求？ [提示] 要求两个基向量不共线． 平面内任意向量都能用基底表示吗？ [提示] 是． 空间中存在不共面的两个向量吗？三个向量呢？ [提示] 空间中任意两个向量共面，三个向量可能共面也可能不共面． ◎结论形成 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c__不共面__，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 导学2　空间向量的正交分解 0能不能作为基向量？ [提示] 不能． 平面向量的正交分解中，要求基向量满足什么条件？ [提示] 要求两个基向量互相垂直，而且长度都为1. ◎结论形成 1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解：对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)0也可以作为基向量．(　　) (2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示．(　　) (3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　　) 解析　(1)×.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0，所以0不能是基向量． (2)×.当三个向量不共面时，才可以表示空间中的任意一个向量． (3)√.由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以构成空间的一个基底． (4)×.空间的基底是由三个不共面的向量组成的． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在三棱柱ABC­A1B1C1中，可以构成空间的一个基底的是(　　) A．，，　　 B．，， C．，， D．，， 解析　不共面的三个向量可以作为基底． 答案　C 3．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c作为基向量表示＝________. 答案　a－b－c 4．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________. 解析　∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3为不共面向量． 又λe1＋μe2＋ve3＝0， ∴λ＝μ＝v＝0， ∴λ2＋μ2＋v2＝0. 答案　0 题型一　基底的判断 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [自主解答]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以e1，e2，e3不共面，所以 显然此方程组无解， 即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立， 所以，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． 基底判断的基本思路和注意问题 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． [触类旁通] 1．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列可以作为空间的一个基底的有(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 解析　如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝. 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选BCD． 答案　BCD 题型二　用基底表示向量 一题多变 在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．用向量a，b，c表示，. [自主解答]　连接AF(图略)，＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)． [母题变式] (变结论)例2中条件不变，若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值． 解析　因为＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c， 所以x＝，y＝－，z＝－1. [素养聚焦] 通过用基底表示向量，培养学生转化的能力，提升学生数学运算核心素养． 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形和化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． [触类旁通] 2．如图，四棱锥P­OABC的底面OABC是矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用{a，b，c}表示，，. 解析　连接BO(图略)，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c， ＝＋＝＋ ＝＋(＋)＝－a－b＋c， ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. 题型三　空间向量基本定理的综合应用 如图所示，在三棱锥O­ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F，P分别为AC，BC，EF的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求OP. [自主解答]　令，，方向上的单位向量分别为i，j，k，则 {i，j，k}是单位正交基底． 因为＝＋＝(＋)＋ ＝(＋)＋(－) ＝＋＋＝i＋×2j＋×3k ＝i＋j＋k， 所以||＝＝， 所以OP的长度为. 用基底把向量表示出来后，可以解决长度、夹角之类的问题．这时候基底的选择要恰当，如果可以，尽量选择单位正交基底． [触类旁通] 3．已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 解析　如图所示， 设＝a，＝b，＝c，则〈a，b〉＝120°， c⊥a，c⊥b. 因为＝＋＝－a＋c，＝＋＝b＋c， 所以＝ ＝ ＝ ＝＝＝. 又异面直线所成角的范围是，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 答案　 [知识落实] 空间向量基本定理及应用 [技法强化] (1)空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用空间的一个基底来表示，求空间两点间的距离或线段的长度一般转化为求对应向量的模；求两直线的夹角则转化为求向量的夹角(或其补角)．体现了转化与化归的思想方法． (2)对基向量理解错误，没有注意到基向量应满足的条件． 学科网（北京）股份有限公司 $$