1.1.2 空间向量的数量积运算(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1．1.2　空间向量的数量积运算 学业标准 素养目标 1．了解空间向量的夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决夹角与距离问题．(难点) 在理解并应用空间向量的数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养学生的数学抽象和数学运算素养. 导学1　空间向量的夹角 平面内两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ [提示] 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π. ◎结论形成 1．夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作　〈a，b〉　. 2．夹角的范围：　[0，π]　. 3．两向量垂直：如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相__垂直__，记作　a⊥b　. 导学2　空间向量的数量积 平面向量的数量积是如何定义的？ [提示] 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ◎结论形成 空间两个向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作　a·b　.即a·b＝　|a||b|cos〈a，b〉　. (2)空间两向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__a·b＝0__ 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝__|a||a|cos_〈a，a〉__＝|a|2； |a|＝； |a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ (3)数量积的运算律 结合律 (λa)·b＝　λ(a·b)　，λ∈R 交换律 a·b＝　b·a　 分配律 (a＋b)·c＝　a·c＋b·c　 导学3　投影向量和向量所在直线与平面所成的角 1．投影向量 如图所示，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 2．向量所在直线与平面所成的角 如图所示，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (2)向量的投影一定是正数．(　　) (3)a·b＝a·c⇒b＝c.(　　) (4)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1在向量e2上的投影向量为e1.(　　) 解析　(1)×.不一定．可能是α，也可能是π－α. (2)×.向量a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉，而cos〈a，b〉∈[－1,1]，所以投影可正可负也可以是零． (3)×.a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，所以可能只是a与(b－c)垂直． (4)×.向量e1在向量e2上的投影向量为1×cos 60°×e2＝e2. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30°　　　　　　 B．60° C．150° D．120° 答案　D 3．(多选)下列各命题中，正确的命题为(　　) A．＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案　ABC 4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________. 解析　cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝π. 答案　π 题型一　空间向量的数量积运算 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·；(2)·； (3)·；(4)·. [自主解答]　(1)·＝· ＝||||cos〈，〉 ＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝－· ＝－×cos 60°＝－. (4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 求向量的数量积的两种情况和方法 (1)已知向量的模和夹角：利用a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． [触类旁通] 1．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求值： (1)·；(2)·. 解析　如图所示，设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋) ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. 题型二　利用数量积解决垂直问题 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC． [自主解答]　证明　取＝a，＝b，＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则有＝＋＝a＋b.＝＋＝＋＝(－)＋＝a－b＋c，∴·＝(a＋b)·＝|a|2＋a·b－a·b－|b|2＋a·c＋b·c＝－＝0.∴⊥，即AC⊥OB1. ∵＝＋＝b＋c， ∴·＝· ＝a·b－|b|2＋c·b＋a·c－b·c＋|c|2＝－＋＝0， ∴⊥，即OB1⊥AP. 又AC∩AP＝A， ∴OB1⊥平面ACP. 利用空间向量解决垂直问题的方法 (1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0，判断两直线是否垂直． (2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积，判断两向量是否垂直． [触类旁通] 2．在四面体OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝.证明：OA⊥BC． 证明　如图所示， 因为·＝·(－) ＝·－·＝||||cos ∠AOC－||||cos ∠AOB＝0， 所以⊥，所以OA⊥BC． 题型三　利用空间向量的数量积解决夹角和距离问题一题多变 如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.求线段AC1的长． [自主解答]　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. ∴线段AC1的长为. [母题变式] 1．(变结论)例3中条件不变，求的长． 解析　因为＝＋＋＝a－b＋c， 所以||＝|a－b＋c|＝＝＝. 2．(变结论)例3中条件不变，求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值． 解析　设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝. ∵＝a＋b＋c，＝b－c，∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，||＝＝＝＝. ∴cos θ＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. [素养聚焦] 本题通过考查利用空间向量的数量积求夹角和距离问题，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． 1．求两点间的距离或线段的长度的方法 (1)将此线段用向量表示． (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量． (3)利用|a|＝，计算出|a|，即得所求距离． 2．利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 [触类旁通] 3．(1)已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于(　　) A．5　　　　　　　　 B．6 C． D． 解析　由题意，得a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ ＝ ＝＝. 答案　C (2)在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD与CB1所成角的大小为________． 解析　如图， ＝＋＝＋＝＋，＝＋＋＝－＋. 由侧棱和底面垂直，得·＝0，·＝0，且AB＝AC＝BC＝2，AA1＝2， ∴·＝·(－＋)＝－·＋2＝8－×2×2×＋×4＝9， ＝＝3，||＝＝2， ∴cos〈，〉＝＝＝. 又〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝，∴异面直线AD与CB1 所成角的大小为. 答案　 [知识落实] 空间向量的夹角、投影向量、空间向量的数量积、性质及运算律． [技法强化] (1)计算向量的数量积一般要利用其夹角与模，而求向量的模、夹角则需利用向量的数量积运算，体现了化归转化的思想方法． (2)当两向量的夹角为锐角(钝角)时，a·b>0(<0)，但当a·b>0(<0)时，向量a与b的夹角θ不一定是锐角(钝角)，也可能为0(π)． 学科网（北京）股份有限公司 $$