1.1.1 空间向量及其线性运算(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1．1　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 学业标准 素养目标 1．理解空间向量的概念．(难点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点) 3．掌握空间向量共线和共面的充要条件及应用．(重点、难点) 在空间向量概念的形成和进行线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，提升学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养. 导学1　空间向量的有关概念 在平面中有哪些特殊的向量？ [提示] 零向量、单位向量、相等向量、相反向量等． ◎结论形成 1．空间向量的有关概念 定义 在空间，把具有__大小__和__方向__的量叫做空间向量 长度(模) 向量的__大小__叫做向量的长度或__模__ 表示法 几何表示法 用__有向线段__表示 字母表示法 向量a的起点是A，终点是B，可以记作　　，其模记为|a|或|| 2．特殊向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度__相等__而方向__相反__的向量叫做a的相反向量 －a 相等向量 方向__相同__且模__相等__的向量 a＝b或 ＝ 共线向量 (或平行 向量) 如果表示空间向量a，b的有向线段所在的直线__互相平行或重合__，则向量a，b叫做__共线向量__或__平行向量__ a∥b 导学2　空间向量的线性运算 进行平面向量的加法、减法运算需要掌握哪两个法则？ [提示] 平行四边形法则和三角形法则． 在平面向量中，使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？ [提示] 利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”， 进行减法运算时，注意“共起点”. 平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算． ◎结论形成 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝____ 减法 a－b＝－＝____ 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__， λ(μa)＝__(λμ)a__． (3)分配律：(λ＋μ)a＝__λa＋μa__， λ(a＋b)＝__λa＋λb__ 导学3　空间向量共线和共面的充要条件 平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ [提示] 对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量． 空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ [提示] 不一定，如图所示，空间中，，这三个向量不共面． ◎结论形成 1．共面向量 平行于__同一个平面__的向量． 2．空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使　a＝λb　 如果两个向量a，b__不共线__，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝　xa＋yb　 3．直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量的长度与向量的长度相等．(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)零向量没有方向．(　　) (4)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有(　　) A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析　与相等的向量有，，，共3个． 答案　C 3．化简－＋所得的结果是(　　) A． B． C．0 D． 答案　C 4．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量． 答案　A 题型一　空间向量的概念 下列说法正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则向量a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ [自主解答]　|a|＝|b|，说明向量a与b的模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B． [答案]　B 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两个向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两个向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反． [触类旁通] 1．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为(　　) A．4　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析　零向量的方向是任意的，并不是没有方向，故①错误． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误． 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错误． 命题④显然正确． 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 答案　D 题型二　空间向量的线性运算一题多变 在正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果． [自主解答]　在正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝. 同理＝，＝，＝， 所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图． [母题变式] 1．(变结论)若例2条件不变，化简＋＋＋，并在图中标出化简结果． 解析　根据正六棱柱的性质知，四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形， 所以＝，＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝. 2．(变结论)若例2条件不变，化简－＋，并在图中标出化简结果． 解析　因为六边形ABCDEF是正六边形，所以BC∥EF，BC＝EF，又E1F1∥EF，E1F1＝EF， 所以BC∥E1F1，BC＝E1F1， 所以BCE1F1是平行四边形， 所以－＋＝＋＝. [素养聚焦] 本题通过考查向量的线性运算，提升学生直观想象和数学运算等核心素养． 空间向量线性运算的三个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得准确的结果． (3)巧用几何位置关系：对于共线向量，可依据它们的方向、长度关系，借助数乘运算建立联系． [触类旁通] 2．如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点．若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________． 解析　＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－＋－) ＝(1－λ)＋＋，所以1－λ＝，＝.解得λ＝. 答案　 题型三　空间向量的共线问题 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是BD的中点，试判断与是否共线． [自主解答]　由题意可知四边形ABCD为平行四边形，连接AC(图略)，则N为AC的中点． 所以＝－＝－＝(－)＝，所以与共线． 判断两个非零向量共线的方法 判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． [触类旁通] 3．(1)设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________. 解析　由已知可得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，因为A，B，D三点共线，所以与共线，所以存在λ∈R，使得＝λ，即存在λ∈R，使得2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.因为e1，e2不共线，所以解得k＝－8. 答案　－8 (2)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在体对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线． 证明　连接EF，FB(图略)． ∵＝－＝－ ＝(＋＋)－ ＝＋－， ＝－ ＝＋－(＋＋) ＝＋－， ∴＝，∴∥. 又EF∩FB＝F，∴E，F，B三点共线． 题型四　空间向量的共面问题 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点O满足＝＋＋. (1)判断，，三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． [自主解答]　(1)∵＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)＝＋，即＝＋＝－－，∴向量，，共面． (2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内． 证明空间向量共面的方法 (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)若存在有序实数组(x，y，z)，使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面． [触类旁通] 4．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． 证明　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面． [知识落实] 空间向量的有关概念、空间向量的线性运算、空间向量的共线与共面问题． [技法强化] (1)空间向量的运算法则满足三角形法则与平行四边形法则，应用向量共线的充要条件可解决三点共线问题，利用向量共面的充要条件可证明四点共面、线面平行等． (2)应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$