22.1.3二次函数y=a(x-h)²+k的图象与性质（第1课时 十二大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

22.1.4二次函数y=a(x-h)²的图象与性质（十二大题型提分练） 题型一、二次函数y=a(x-h)²的对称轴与顶点坐标 1．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数，当时，随着的增大而增大．当时，随的增大而减小，则的值为 ． 题型二、比较二次函数y=a(x-h)²上点的纵坐标的大小 4．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）点、在二次函数的图象上，则（　  ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若点、、在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三、二次函数y=a(x-h)²图象与性质的基本描述 7．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）对于函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．交y轴于点 9．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值为9； 结论Ⅱ：若，则的取值范围是 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 题型四、二次函数y=a(x-h)²的增减性 10．（2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 题型五、根据二次函数y=a(x-h)²的增减性求参数 13．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为(   ) A． B． C． D．0 14．（22-23九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为 ． 15．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能为(　　) A． B． C． D． 题型六、根据条件写出二次函数y=a(x-h)²的解析式 16．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是．请你写出这个二次函数： ． 17．（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 18．（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ． 题型七 、求二次函数y=a(x-h)²的最值及取值范围 19．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值与最小值的和为（    ） A．8 B．10 C．2 D．0 20．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 21．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 题型八、已知二次函数y=a(x-h)²的最值求参数值 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，则h的值为 ． 23．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 . 24．（23-24九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 题型九、二次函数y=a(x-h)²性质的综合问题 25．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．（2024·江西赣州·模拟预测）已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 27．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 题型十、画二次函数y=a(x-h)²图象并叙述性质 28．（20-21九年级上·天津河西·期中）（1）先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象； x -3 -2 -1 0 1 2 3 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ （2）分别写出它们顶点坐标． 29．（20-21九年级上·江苏淮安·期中）已知抛物线 （1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             … … … … ②描点、连线：    题型十一、二次函数y=a(x-h)²与公共点问题 30．（2021·北京海淀·模拟预测）已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中．若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 题型十二、二次函数y=a(x-h)²新定义问题 31．（22-23九年级上·北京·阶段练习）将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，称与中的最大值为点和点的“联络量”，记作．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．如图，点的横、纵坐标都是整数． (1)①点中，与点的“联络量”是2的有 ； ②点在平面上运动，已知将点分在同一类时“代表量”是5，则动点所在区域的面积为 ； (2)对于平面上的任意一点，将点分为两类，试说明：无论如何分类，“类筹”总不小于2； (3)已知二次函数上的任一点均满足将点分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围． 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 3．（22-23九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p<q，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣ C．0 D． 二、填空题 5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式： ． 6．（22-23九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知二次函数，当x分别取，时，函数的值相等，则当x取时，函数的值是 ． 7．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知函数．当时，的取值范围为 ． 8．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为 ． 9．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 三、解答题 10．（21-22九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点． (1)求a和h的值； (2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.4二次函数y=a(x-h)²的图象与性质（十二大题型提分练） 题型一、二次函数y=a(x-h)²的对称轴与顶点坐标 1．（23-24九年级上·重庆江津·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为，直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线的顶点坐标是． 故选：C． 2．（2024九年级下·江苏·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知二次函数，当时，随着的增大而增大．当时，随的增大而减小，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得h的值． 【详解】解：∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴h的值为， 故答案为：． 题型二、比较二次函数y=a(x-h)²上点的纵坐标的大小 4．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）点、在二次函数的图象上，则（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断函数值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：在二次函数的图象对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴点、在二次函数的图象上，则， 故选：D． 5．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）若点、、在抛物线上，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小．先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答． 【详解】解：抛物线， 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， 点到对称轴的距离为：， ， 函数开口向上， ， ． 故选：A． 6．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）已知函数的图象上有，，三点，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵函数， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大， ，，， ∵， ∴， 故选：C． 题型三、二次函数y=a(x-h)²图象与性质的基本描述 7．（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 8．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）对于函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是 C．最大值为0 D．交y轴于点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：对于函数的图象， ∵， ∴开口向下，对称轴，顶点坐标为，函数有最大值0， 时，， 交y轴于点， 故A、C、D正确， 故选：B． 9．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）已知抛物线经过点，．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：的值为9； 结论Ⅱ：若，则的取值范围是 A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】A 【分析】将代入即可求出t的值，根据题意求出点关于对称轴对称的点是，进而求解即可. 【详解】将代入得，，故结论Ⅰ正确； ∵对称轴为 ∴点关于对称轴对称的点是， ∵抛物线中二次项系数， ∴抛物线开口向上， ∴若，则的取值范围是，故结论Ⅱ正确． 综上所述，结论Ⅰ、Ⅱ都对． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型四、二次函数y=a(x-h)²的增减性 10．（2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A、由于，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； B、由于，则当时，y随x的值的增大而增大，符合题意； C、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； D、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而增大，当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； 故选：B． 11．（2024·上海虹口·二模）已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 12．（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得抛物线开口方向和对称轴． 【详解】解：当时，随的增大而减小当时，随的增大而增大， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线满足条件． 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线的增减性．抛物线的增减性与开口方向、对称轴有关，熟练掌握抛物线的基本性质是解题关键． 题型五、根据二次函数y=a(x-h)²的增减性求参数 13．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y的值为(   ) A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得二次函数的对称轴为：，进而可得，进而可得，当时，代入二次函数即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：二次函数的对称轴为：， ， ， 当时，， 故选A． 14．（22-23九年级上·甘肃定西·阶段练习）已知二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得的值，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得的值． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， 故， 把代入二次函数可得， 当时，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 15．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越小即可得到的取值范围．根据的取值范围判断不可能的值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当抛物线上的点与直线的距离越小，对应的值就越小， ，，且， 点到直线的距离小于点到直线的距离， ，或， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 题型六、根据条件写出二次函数y=a(x-h)²的解析式 16．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是．请你写出这个二次函数： ． 【答案】 【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，据此可得； 【详解】解：设函数解析式为，根据题意得，， 二次函数解析式是：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式． 17．（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 【详解】根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： (答案不唯一)． 18．（21-22九年级上·广东中山·阶段练习）将抛物线沿轴翻折后对应的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征．由抛物线的顶点坐标是，可得沿轴翻折后的顶点坐标是，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，则沿轴翻折后顶点坐标是，开口向下， 新抛物线解析式是：， 故答案是：． 题型七 、求二次函数y=a(x-h)²的最值及取值范围 19．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值与最小值的和为（    ） A．8 B．10 C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据的顶点坐标为，图象开口向上，可得当，，再分别求解，时的函数值，再比较即可得到最大值，从而可得答案． 【详解】解：∵的顶点坐标为，图象开口向上， ∴当，， 当时，， 当时，， ∴， ∴当时，y的最大值与最小值的和为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的求解二次函数的最大值与最小值是解本题的关键． 20．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线，，开口向上， 当时，最小为， 又∵， ∴时，最大为 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性． 21．（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【答案】 0 6或1/1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 题型八、已知二次函数y=a(x-h)²的最值求参数值 22．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，则h的值为 ． 【答案】6或1 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 23．（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 . 【答案】0或7/7或0 【分析】先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分h＜2，和h＞5三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若h＜2，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若h＞5，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为0或7， 故答案为：0或7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 24．（23-24九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【答案】h的值为8或2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，顶点坐标为，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∵当时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧． ①当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． ②当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，h的值为8或2． 题型九、二次函数y=a(x-h)²性质的综合问题 25．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 26．（2024·江西赣州·模拟预测）已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，按照题意，画出满足题意的图象，根据直线与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 27．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，直线的图象与函数的图象分别交于点，得（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵直线的图象与函数的图象分别交于点， A、若，如图所示，    则，故A选项不合题意； B．若，如图所示，      则或故B选项不合题意， C．若，如图所示，    ∴，故C选项正确，D选项不正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 题型十、画二次函数y=a(x-h)²图象并叙述性质 28．（20-21九年级上·天津河西·期中）（1）先填表，并在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象； x -3 -2 -1 0 1 2 3 ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ ______ （2）分别写出它们顶点坐标． 【答案】（Ⅰ）见解析；（2）二次函数的顶点坐标为，的顶点坐标为 【分析】（1）列表，描点，连线画出图象即可； （2））根据二次函数图象即可写出顶点坐标； 【详解】解：（1）列表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9 4 1 0 1 4 9 16 在同一直角坐标系中画出二次函数和的图象如图： （2）二次函数的顶点坐标为， 的顶点坐标为； 【点睛】本题考查了二次函数图象，利用描点法得出函数的图象，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 29．（20-21九年级上·江苏淮安·期中）已知抛物线 （1）该抛物线开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， （2）在直角坐标系中画出的图象． 解：①列表：             … … … … ②描点、连线：    【答案】（1）向下， x=2， (2,3)； （2） 见解析． 【分析】（1）由二次函数的顶点式，根据二次函数的性质解决问题； （2）利用列表，描点，连线作出图形即可． 【详解】解：（1）因为抛物线为，所以该抛物线开口向向下，对称轴是x=2，顶点坐标是(2,3)；   （2） ①列表： … 0 1 2 3 4 … … -1 2 3 2 -1 … ②  描点、连线：    【点睛】本题考查了二次函数的顶点式及二次函数图象的画法，解题的关键是掌握二次函数的性质． 题型十一、二次函数y=a(x-h)²与公共点问题 30．（2021·北京海淀·模拟预测）已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】（1）1；②=；（2） 【分析】（1）①把抛物线化为一般式，得，由对称轴公式，得； ②把分别代入和，即可比较与大小； （2）联立、的解析式得方程，△，题中，即抛物线与直线相交，有2个交点，当时和时代入方程，即得的值，可求出的范围． 【详解】解：（1）①由， 则对称轴， ， ②把分别代入与得， ，， ； （2）联立、的解析式可得，， 整理得，， 则△， ， ， 即就是没有直线与抛物线相切的情况． 当时，代入方程， 得， （负值舍去）， ， 当时，代入方程， 得， ， 又， 的取值为：． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数，解本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴公式，代入法求值、一元二次方程的判别式等． 题型十二、二次函数y=a(x-h)²新定义问题 31．（22-23九年级上·北京·阶段练习）将平面直角坐标系中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点，称与中的最大值为点和点的“联络量”，记作．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．如图，点的横、纵坐标都是整数． (1)①点中，与点的“联络量”是2的有 ； ②点在平面上运动，已知将点分在同一类时“代表量”是5，则动点所在区域的面积为 ； (2)对于平面上的任意一点，将点分为两类，试说明：无论如何分类，“类筹”总不小于2； (3)已知二次函数上的任一点均满足将点分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)或 【分析】（1）①根据补角与中的最大值，求得“联络量”是2的点即可求解； ②计算，根据点的左右平移得到“代表量”是5的点，得到平行四边形，根据坐标系求得其面积即可求解； （2）将点分为两类，计算分为两类得到的，“类筹”为3，即可得证； （3）根据题意找到“类筹”等于4的点，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：①∵ , ∴与点的“联络量”是2的有， 故答案为：A，C； ②如图，∵将点分在同一类时“代表量”是5，即，最大为5， ∴ 根据图象可知，所在区域为矩形形，面积为； （2）∵ ∴将分为两类，“类筹”为3 ∴对于平面上的任意一点， ∴无论如何分类，将点分为两类，“类筹”总不小于2； （3）如图，当抛物线经过， ∴， 解得或（舍去）， 结合图象可知； 当抛物线经过点时，， 此时， 解得或（舍去）， ∴符合题意， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了几何新定义，二次函数的性质，将新定义理解为点的平移是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·福建南平·阶段练习）在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线上，开口向上，对称轴为， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若小明将如图所示的两条水平线，中的一条当成轴，且向右为正方向；两条铅垂线，中的一条当成轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出了二次函数的图象，则坐标原点可能是（    ）    A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】根据得到顶点是，结合图像即可得到坐标原点； 【详解】解：∵， ∴二次函数顶点是， 由图像可得，顶点在上， ∴点是标原点， 故选C； 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标及图像，解题的关键是熟练掌握的顶点是． 3．（22-23九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于点A、B，若，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a，则，再求出A、B坐标即可求解． 【详解】解：函数顶点坐标M为(h，0)，点M到直线l的距离为a， 则：，解得：x＝h， 即：A(h﹣，0)，B(h+，0)， ∵AB＝4， ∴h+﹣(h﹣)＝4，解得：a＝4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是设并求出A,B的坐标是解答本题的关键． 4．（2021·浙江温州·一模）已知二次函数y＝a（x﹣m）2（a<0）的图象经过点A（﹣1，p），B（3，q），且p<q，则m的值可能是（　　） A．﹣1 B．﹣ C．0 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴及开口方向，由点A，B坐标求出A，B关于对称轴对称时m的值，进而求解． 【详解】解：∵y＝a（x﹣m）2（a＜0）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m， 当p＝q时，m＝＝1， ∵p＜q， ∴m＞1， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 二、填空题 5．（23-24九年级上·河南郑州·期末）两位同学分别说出了一条二次函数的图象与性质，小明：抛物线开口向上：小智：抛物线对称轴是直线；请你写出一个符合，上述条件的二次函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查二次 函数的图象和性质，此题是开放题，解题的关键是熟知二次函数的性质．由开口向上，可知，对称轴是直线，可得， 【详解】解：设二次函数表达式为， 二次函数的图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， 符合上述条件的二次函数表达式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 6．（22-23九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知二次函数，当x分别取，时，函数的值相等，则当x取时，函数的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，关于对称轴对称，则可得，进而得到，求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， ∵，当x分别取，时，函数的值相等， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确理解题意得到是解题的关键． 7．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）已知函数．当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向上，当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 8．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）二次函数的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答． 【详解】解：∵二次函数表达式为， ∴该函数的对称轴为直线， ∵图象上任意二点连线不与x轴平行， ∴或， ∵， ∴， 解得：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴． 9．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 【答案】或/4或0 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得，画出函数的图象即可求解 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ 如图所示，画出该函数的函数图象： 可知：当或时，，则； ∴的值是或 故答案为：或 三、解答题 10．（21-22九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线的对称轴为直线，与y轴交于点． (1)求a和h的值； (2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）利用对称轴为直线，可得， （2）根据原抛物线为，顶点坐标为：，求出关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为，即可求出关于y轴对称的抛物线的解析式为． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：该抛物线为：，顶点坐标为： ∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， ∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查二次函数的顶点式的图形及性质，点关于y轴对称的性质． ( 30 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$