23.1-23.2 成比例线段、相似图形（4个知识点+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

23.1 成比例线段和23.2相似图形 课程标准 学习目标 ①线段成比例条件； ②黄金分割的概念； ③两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； ④相似多边形的识别. 1.掌握线段成比例条件及运用； 2.了解黄金分割的概念及有关性质， 3.知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 4.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似. 知识点01 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）． 【即学即练1】 已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是______． 知识点2 黄金分割 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【即学即练2】 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_______．（结果保留根号） 知识点3 平行线分线段成比例 1、两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 【即学即练3】 如图，平行平行，下列比例式中正确的是（     ） A． B． C． D． 知识点4 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（4）相似多边形对应边的比称为相似比． 【即学即练4】 下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 题型01 成比例线段 【典例1】下列各组中的四条线段成比例的是（ 　　） A． B． C． D． 【变式1】在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【变式2】已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　） A．6 B．4 C．8 D．10 【变式3】已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式4】已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是_______． 题型02 黄金分割 【典例1】在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（）与身高（）的比达到时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（    ） A．1.37米 B．0.76米 C．1.22米 D．1.24米 【变式3】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为_______．（结果保留根号） 【变式4】宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为．(结果保留根号) 题型03 平行线分线段成比例 【典例1】如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，，若，，，则的长是（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【变式2】如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在△ABC中，，，，，则的长=_______． 【变式4】如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知，，，则的长为多少． 题型04 相似图形 【典例1】下列多边形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形 C．两个正五边形 D．两个六边形 【变式1】下列两个图形一定是相似图形的是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【变式2】一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为_______． 【变式3】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为_________ 【变式4】5如图，四边形四边形，求角的大小和的长度． 1．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 2．下列图形中不一定是相似图形的是（　　 ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 3．如图，△ABC中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 4．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 6．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 7．如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 8．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 9．如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是________． 12．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于________． 13．如图，交于点，，，，当________时，可与平行． 14．战至终章，逐梦不止．第19届杭州亚运会的会徽，名为“潮涌”，它象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则________．（结果保留根号） 15．线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为________． 16．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是________千米． 17．若，则________． 18．如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是________． 19．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________． 20．已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是________． 21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边上，连接，若，，，求的长． 22．如图，．若，，求的长． 23．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 24．已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 25．如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值． 26．宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 27．已知：如图，点D、F是△ABC的边上的两点，满足，连接，过点F作，交边于E，连接．求证：． 28．如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长． 29．如图，在△ABC中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 30．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.1 成比例线段和23.2相似图形 课程标准 学习目标 ①线段成比例条件； ②黄金分割的概念； ③两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； ④相似多边形的识别. 1.掌握线段成比例条件及运用； 2.了解黄金分割的概念及有关性质， 3.知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 4.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似. 知识点01 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则=ac（b称为a、c的比例中项）． 【即学即练1】 已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段（如果四条线段，，，成比例，则，注意顺序，位置不能随意颠倒），解题的关键是根据成比例线段列式计算即可． 【详解】解：∵线段，，，是成比例线段，，，， ∴， ∴， ∴的值是．故答案为：． 知识点2 黄金分割 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).注意：一条线段的黄金分割点有两个. 【即学即练2】 已知点P是线段的黄金分割点，．若，则_______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段，代入计算即可；此题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，， ，故答案为：． 知识点3 平行线分线段成比例 1、两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果，则，，． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为，，． 2、平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC，则，，． 【即学即练3】 如图，平行平行，下列比例式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，由平行线分线段成比例逐一判断即可得出答案． 【详解】，由平行线分线段成比例得： ①，②，③， 由①知：选项A错误， ，故选项C错误； 由②知：选项B错误； 由③知：选项D正确， 综上所述，正确答案为D． 故选：D． 知识点4 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 注意：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（4）相似多边形对应边的比称为相似比． 【即学即练4】 下列说法正确的是（    ） A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似 C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意； C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意； D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意； 故选：D． 题型01 成比例线段 【典例1】下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了成比例线段，若，则a，b，c，d成比例，据此进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 【变式1】在一幅比例尺为的地图上，量得某段高速公路长5.5厘米，则这段高速公路的实际长度是（    ） A．55米 B．550米 C．5500 米 D．55千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例线段，、比例尺的定义等知识点，根据比例尺的定义列出算式是解题的关键． 根据比例尺的定义列式计算，然后再把单位换算为千米即可． 【详解】解：这段高速公路的实际长度是．故大桥的实际长度是55千米．故选：D． 【变式2】已知线段，，，是成比例线段，其中，，，则的值是（　　 ） A．6 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的相似，根据成比例线段的定义可得，据此即可求得答案． 【详解】∵线段，，，是成比例线段，其中，，， ∴． ∴．故选：B 【变式3】已知：，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．由可得，再代入要求值的分式中，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式4】已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是_______． 【答案】8 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， ． 故答案为：8． 题型02 黄金分割 【典例1】在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 【变式1】0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（）与身高（）的比达到时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是，下列选项中，最接近她的理想体重的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是读懂黄金分割． 根据黄金分割直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵王老师的身高是， ∴根据题意得，体重． ∴最接近她的理想体重的是． 故选：B． 【变式2】生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（    ） A．1.37米 B．0.76米 C．1.22米 D．1.24米 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴a约为1.24米，故选：D． 【变式3】如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为_______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，，则，即，整理得，，可求满足要求的解，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式4】宽与长的比是黄金分割数 的矩形叫做黄金矩形，古希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计．如图，已知四边形是黄金矩形，若长 则该矩形的面积为．(结果保留根号) 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金矩形的定义．根据黄金矩形的定义，长 ，求出宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵四边形是黄金矩形， ∴， ∵长， ∴宽， ∴矩形的面积为． 故答案为：． 题型03 平行线分线段成比例 【典例1】如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，据此求解即可． 【详解】∵直线， ∴，，， ∴选项A、C、D是正确的， 故选：B． 【变式1】如图，，若，，，则的长是（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据得出，代入数值计算出． 【详解】解：， ， ， ． 故选D． 【变式2】如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故A、D不符合题意； ∴，故C符合题意； ∵，， ∴，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3】如图，在△ABC中，，，，，则的长=_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知，，，则的长为多少． 【答案】8 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用定理、找准对应关系是解题的关键，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入己知数据就算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 题型04 相似图形 【典例1】下列多边形一定相似的是（    ） A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形 C．两个正五边形 D．两个六边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键． 根据相似三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确； B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确； C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确； D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确． 故选C． 【变式1】下列两个图形一定是相似图形的是（    ） A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形．根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可． 【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意； B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意； C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意； D、两个等腰直角三角形的对应边的比相等，对应角相等，故等腰直角三角形一定相似，此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6，则其周长为_______． 【答案】66 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的周长之比等于相似比进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个六边形六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与它相似的六边形的最短边为6， ∴两个相似多边形的相似比， ∴两个相似多边形的周长比为， ∴另一个与它相似的六边形的最短边为6，其周长为， 故答案为：66． 【变式3】若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为_________ 【答案】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵两个相似多边形的面积比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴两个相似多边形的周长比两个相似多边形的相似比为. 故答案为：． 【变式4】5如图，四边形四边形，求角的大小和的长度． 【答案】，，． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和，利用相似多边形的性质：对应边的比相等，对应角相等，即可求解，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，，， ∴，解得， 在四边形中，． 1．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列图形中不一定是相似图形的是（　　 ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，利用边对应成比例，角对应相等的两个多边形相似逐一判断即可. 【详解】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意； B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B不符合题意； C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意； D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D符合题意； 故选：D． 3．如图，△ABC中，，，，，则的长度为（    ） A．2 B．6 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 4．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，会使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比等于（，称为黄金分割比例），按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割比的应用，根据下部与全部的高度比等于进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：A 5．如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 6．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键． 【详解】解：设两地间的实际距离为， 由题意得：，解得：， 两地间的实际距离为， 故选：C． 7．如果，且，那么k的值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得，代入，即可求解． 【详解】解：， ， ． ， ， 故选：B． 8．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 9．如果，则下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例性质，前项加（或减）后项等式成立，则可对A、B、C进行判断；利用后项都乘以2可对D进行判断． 【详解】解：A、如果，则，所以A选项的等式不成立，符合题意； B、如果，则，所以B选项的等式成立，不符合题意； C、如果，则，所以C选项的等式成立，不符合题意； D、如果，则，所以D选项的等式成立，不符合题意； 故选：A． 10．如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 11．已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形周长的比等于相似比可求． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴相似多边形的周长之比相似比， 又∵矩形的周长为， ∴矩形的周长为． 故答案为：． 12．如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．如图，交于点，，，，当________时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当AB∥CD时， ∵AB∥CD， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 14．战至终章，逐梦不止．第19届杭州亚运会的会徽，名为“潮涌”，它象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 15．线段长为，点在线段上，且满足，那么的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的求解，根据题意设的长可以得出，利用给定的关系式可列出关于x的方程求解即可． 【详解】解：设，则， 根据得代入得， 解得或（舍去）， 故答案为：． 16．若在比例尺为的地图上，测得两地的距离为厘米，则这两地的实际距离是________千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地间的实际距离是，根据题意可得方程，解方程即可求得x的值，然后换算单位即可求得答案． 【详解】解：设两地间的实际距离是， ∵比例尺为，量得两地间的距离为， ∴，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴两地间的实际距离是千米，故答案为：． 17．若，则________． 【答案】 【分析】本题考查比例性质及解一元一次方程，根据题意，得到，转化成一元一次方程求解即可得到答案，熟记比例性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即，则，解得，故答案为：． 18．如图，矩形被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形与原矩形相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是________． 【答案】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质：①对应角相等；②对应边的比相等是解题的关键．设，，则，求出，根据矩形与原矩形相似，得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 即， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即原矩形的较长边与较短边的比值是． 故答案为：． 19．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为________． 【答案】6 【分析】设另一个与它相似的六边形的最短边为，再根据其周长的比等于相似比进行解答即可． 【详解】设另一个与它相似的六边形的最短边为， 由题意，得：， 整理得：，解得：，故答案为： 6． 20．已知是线段的黄金分割点，若且，则的长度是________． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点的定义及求线段长，根据题意，作出图形，由黄金分割点的定义列式代值求解即可得动答案，熟练掌握黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由，如图所示： 是线段的黄金分割点， ， ，设， ，即， 解得或（舍去）， 故答案为：． 21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边上，连接，若，，，求的长． 【答案】 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例得，即可求解，掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 22．如图，．若，，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，根据即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 23．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【答案】这双高跟鞋合适，理由见解析． 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 24．已知线段、、满足，且，求线段、、的长． 【答案】 【分析】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出， ， ，进而得出a、b、c的值是解题关键． 根据题意可设，然后用k的代数式分别表示出a、b、c，再代入可求得k，即可求得答案． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 解得， ∴ 25．如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割点的比例公式即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 线段的黄金比的值为． 26．宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【答案】是；见解析 【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案． 【详解】解：是，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点F是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴，即， ∴矩形是黄金矩形． 27．已知：如图，点D、F是△ABC的边上的两点，满足，连接，过点F作，交边于E，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了平行分线段成比例定理及其逆定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键． 首先已知得到，根据平行线分线段成比例定理得到，从而得到，再根据平行线分线段成比例定理的逆定理证明平行． 【详解】 证明：， ， ， ， ∴． ． 28．如图，，于点D，，交于点P，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例的应用，证明，结合，可得，，从而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 29．如图，在△ABC中，平分交于点，为边上一点，．    (1)求证：． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握相关性质定理． （1）先根据角平分线的定义得出，再根据等边对等角得出，则，即可求证； （2）根据平行线分线段成比例得出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴．    30．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比． (1)求该矩形画框的宽； (2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号） 【答案】(1)厘米；(2)元． 【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解； ()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题； 本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键. 【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米， ∴矩形画框的宽为厘米； （2）解：矩形画框的面积为（平方厘米）， ∴矩形画框的材料成本为元， 答：生产一个该画框所需要的材料成本为元． ( 26 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$