23.3 相似三角形（4个知识点+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（华东师大版）

23.3 相似三角形 课程标准 学习目标 ①相似三角形； ②相似三角形的判定； ③相似三角形的性质； ④相似三角形的应用. 1.知道相似三角形相关的概念； 2.会用相似三角形的判定方法证明三角形相似； 3.灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算； 4.会根据相似三角形的判定和性质解决实际问题. 知识点01 相似三角形的相关概念 （1）相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. （2）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 【即学即练1】 1．若，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，三角形的内角和定理． 根据，则，根据三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ．故选：C． 知识点02 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【即学即练2】 2．如图，在四边形中，平分，且，．当________时，△ABC∽△ACD． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 当时，△ABC∽△ACD， 即：， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：9． 知识点3 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【即学即练3】 3．如图，在△ABC中，D，E分别为，上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，得到，得到，结合D，E分别为，上的三等分点，得到，继而得到即解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵D，E分别为，上的三等分点， ∴， ∴即．故选：A． 知识点04 相似三角形的应用 1. 利用影长测量物体的高度： ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2. 利用相似测量河的宽度（测量距离）： ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3. 借助标杆或直尺测量物体的高度： 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【即学即练4】 4．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度．    【答案】米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例计算解题即可． 【详解】解:根据题意可知, 均垂直于地面, ， ， ， ， ， 解得 ， ∵小明恰好看到在镜子里点 和点 重合 ， ， ， ， ， 解得 米． 题型01 相似三角形 【典例1】如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是(　　) A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【分析】因为角的不确定性，所以无法确定两个内角是等腰三角形的底角还是顶角，直角三角形中两个直角相等也无法确定三角形相似，即可解题． 【详解】解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误； B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误； C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确； D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误， 故选C． 【变式1】如图所示，在△ABC中，，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（　　 ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 根据相似三角形的判定作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∵，， ∴ 同理可得，，，， ∴共有四个三角形与△ABC相似．故选：A． 【变式2】如图，在△ABC纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ 　　） A． B． C．  D．  【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与△ABC不相似， 故D符合题意，故选：D． 【变式3】如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点E、F在边BC上，且∠EAF=∠C，则BF·CE= ________． 【答案】16； 【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例式，整理可得所求的乘积式． 【详解】∵∠AFB=∠C+∠FAC=∠EAF+∠FAC=∠EAC， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C，即∠ABF=∠ECA， ∴△ABF∽△ECA， ∴， ∴BF⋅EC=AB⋅AC==16.故答案为16. 【变式4】如图，在△ABC中，．在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，相似三角形的判定，过点C作于P，点P即为所求． 【详解】解：如图所示，过点C作于P，点P即为所求； ∵， ∴． 题型02 相似三角形的判定 【典例1】如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用等边对等角，平行线的性质可得出，然后利用相似的判定即可得证． 【详解】证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴ 又， ∴． 【变式1】如图，已知△ABC，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、，， ， 故A不符合题意； B、，， ， 故B不符合题意； C、由图形可知，， ， ，， ， 又， ， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似， 故D符合题意， 故选：D． 【变式2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】解：∵点D、E分别在边、上，， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴，故C正确； △ADE与不一定相似，故D不正确； 故选：D． 【变式3】如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与△ABC相似的三角形是___________． 【答案】△DEB 【分析】本题考查相似三角形的判定，利用两边成比例夹角相等， 证明三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：观察图象可知， ． 故答案为：△DEB． 【变式4】如图，是△ABC的边上的一点，，，，求证：△ABD∽△CBA． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 题型03 相似三角形的性质 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为________． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到AB∥DC，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 【变式1】如图，△ABC中，，，△ADE的面积是1，那么四边形的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 首先根据得到，然后由，可证，从而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故选：B． 【变式2】如图，在△ABC中，分别在边上，．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据DE∥AC可证△BDE∽△BAC，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其余两边之和为_________． 【答案】24 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是求出相似三角形的相似比．利用相似三角形最长边的比求得相似比，然后求得三角形的周长减去最长边即可得到其他两边之和． 【详解】解：三角形的三边长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21， 相似比为， 设另外一个三角形的周长为x，则， 解得， 其余两边之和为． 故答案为：24． 【变式4】如图，在△ABC中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上． (1)求证：； (2)当点移动到的中点时，求证：平分． 【答案】(1)详见解析；(2)详见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义得到，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； ∴； （2）证明：， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 平分． 题型04 相似三角形的应用 【典例1】如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，如图②所示，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高CD为________m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 【变式2】如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴，即， 解得， 即河宽为， 故选：D． 【变式3】如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面_______． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可． 【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则， 解得．故答案为：3． 【变式4】赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 【答案】28米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据已知条件推出，，得到，，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解：由题意可得， ，， ，， ，， ，，解得． 凤凰雕塑顶端到地面的高度为28米． 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质的具体内容是解题的关键． 根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于周长比，即可得出答案． 【详解】解：∵相似三角形对应边的比等于周长比，且周长的比为， ∴这两个相似三角形的对应边的比为．故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） A．相似三角形一定不是全等三角形 B．两个菱形一定相似 C．有一个角等于的两个等腰三角形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法即可求解． 根据相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：A、相似三角形一定是全等三角形，原选项错误，不符合题意； B、两个菱形不一定相似，原选项错误，不符合题意； C、有一个角等于 的两个等腰三角形相似 如图所示，△ABC中，，△DEF中，，， 两个三角形不相似，故原选项错误； D、有一个角等于 的两个等腰三角形相似 如图所示，△ABC中，△DEF中，， ∴，， ∴， ∴， ∴原选项正确，符合题意； 故选：D ． 3．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴， 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意； 、添加，利用“两角分别对应相等的两个三角形相似”能判定，此选项符合题意； 、添加，不能判定，此选项不符合题意． 故选：C． 4．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 5．如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点M、N，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．证明，求出是解题的关键． 先由由勾股定理求出，再证明，推出，求得，即可由勾股定理求出的长． 【详解】解：在矩形中，，，， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，推出，设，则，根据相似三角形的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 直线垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 7．算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程以及相似三角形的实际应用问题，根据题意，画出图形找到等量关系是解题的关键． 设正方形小城的边长为x步，根据出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树列方程即可得到结论． 【详解】解：设小城的边长为x步，如图所示， 根据题意，，，，，， ， ， ， ，故选：D． 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则△ABC与△ODC的面积比是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，先求出，，由得到相似比为：，即可得到答案. 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵△ABC∽△ODC， ∴相似比为：， ∴△ABC与△ODC的面积比是， 故选：A 9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10．如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可． 【详解】解：设的距离为， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，△ABC和△AFG为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．证明得，代入数据即可求解． 【详解】解：∵和为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，5， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，F是矩形的边上一点，射线交的延长线于点E，已知，，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，得到，进而得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 13．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是_________．（只填写一个你认为正确的答案） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形相似的判定定理，选择适当的条件即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， 故可以添加如下条件：， 故答案为：． 14．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．延长交于，得到时，点到的距离最小，根据相似三角形的性质求出，根据折叠的性质求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交于，当时，点到的距离最小， ，，， ， ，， ， ，即， 解得，， 由折叠的性质可知，， ，故答案为：． 15．如图，平行四边形ABCD中，延长至，使得．若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，相似三角形点的判定和性质，过点B作轴于点E，设，则点，进而得，由得，证得，则，，可得点，进而得，则，，再根据的面积为1，得，即，由此解出k即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 设， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 点在反比例函数的图象上，且轴于点， 点的坐标为， ， ， ， 的面积为1， ， 即， 解得：． 故答案为：． 17．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，正方形的顶点C与的直角顶点C重合，顶点D、E、F分别在线段上，则正方形的边长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先设正方形的边长为x，再表示出，，然后说明，并根据对应边成比例得出答案． 【详解】根据题意可知，． 设正方形的边长为x，则，． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 所以正方形的边长为． 故答案为：． 18．如图，在△ABC中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键．利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质求得的长度，利用平行线分线段成比例定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】点，为边的三等分点， ， ， ， ， ， 点，为边的三等分点，， 点，为边的三等分点， ， ， ， ， ． 故答案为： 19．如图，在等腰直角△ABC中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点E作，交的延长线于点H，先证明，得到，，同时计算，因此得到，再证明，即可得到答案． 【详解】过点E作，交的延长线于点H， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20．【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明见解析；问题2： 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2：由（1）可得      ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 21．阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：△ABC中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 【答案】(1)两角分别对应相等的两个三角形相似；(2)见解析；(3)顶点A的坐标为或 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算． （1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）②根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明即可得证；③根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明； （3）根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用证明的射影定理得，即可求出，由此求出顶点A的坐标． 【详解】（1）解：“依据”是：两角分别对应相等的两个三角形相似， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ③，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； （3）解：如图，根据题意以为坐标原点建立平面直角坐标系， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为或． 22．如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见详解；(2)见详解 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得． （2）结合相似三角形的判定证明，则可得． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ， ． （2）证明：， ， ． ， ， ， ， ， 23．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答． 【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下： ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：能测出树A与树B之间的距离为18米． 24．如图，D，E为△GCF中边上两点，过D作AB∥CF交的延长线于点A，． (1)求证：△ADE≌△CFE； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析；(2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）由，可得，，进而可证． （2）由，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为． 25．如图，在平行四边形ABCD中，点B、F分别在边、上，且，，连结、、，与相交于点M． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则的值为　　　　　． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用平行四边形性质得到，进而得到，有，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用平行四边形性质得到，证明，利用相似三角形性质得到，求出，再根据求解，即可解题． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，即， ，， ， ，即， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 26．如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接．    (1)请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查作图相似变换，正方形的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）过点作于，点即为所求； （2）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求．    （2）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 27．如图，在△ABC中，，点是的中点，点是的中点，过点A作交的延长线于点F，交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的面积为_________． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据，可得，利用即可证明，得，从而可证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一可得，，即可由有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题； （2）先由勾股定理求得，从而求得，，则，再证明，得到，则，即可由求解． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， 在和中， ， ； ， 四边形是平行四边形， ，是线段的中点， ，， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）得， ， ，， ， ， ， ， ， ． 28．西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派．某天，小红和小明相约去测量该雕像的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行0.3米到D处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和雕像顶端A在一条直线上，此时测得FH为1.6米，为11米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算该雕像的高度．（平面镜的大小、厚度忽略不计） 【答案】21.5米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由求出，再由求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ，即， ． ，， ， ， ， ，即， ， 答：该雕像的高度为21.5米． 29．如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】(1)见详解；(2)；(3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以； （3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，证明，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ， ， ∴是等腰三角形， ∴， ∵为中点， ∴设， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ( 42 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.3 相似三角形 课程标准 学习目标 ①相似三角形； ②相似三角形的判定； ③相似三角形的性质； ④相似三角形的应用. 1.知道相似三角形相关的概念； 2.会用相似三角形的判定方法证明三角形相似； 3.灵活运用相似三角形的性质进行证明、计算； 4.会根据相似三角形的判定和性质解决实际问题. 知识点01 相似三角形的相关概念 （1）相似三角形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似用符号“∽”，读作“相似于”. （2）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 【即学即练1】 1．若，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 知识点02 相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 【即学即练2】 2．如图，在四边形中，平分，且，．当________时，△ABC∽△ACD． 知识点3 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【即学即练3】 3．如图，在△ABC中，D，E分别为，上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点04 相似三角形的应用 1. 利用影长测量物体的高度： ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． 2. 利用相似测量河的宽度（测量距离）： ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上，必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． 3. 借助标杆或直尺测量物体的高度： 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【即学即练4】 4．小明和小亮同学想利用数学知识测量矗立在广场边上的旗杆的高度，如图，他们在广场上的处放置了一根垂直于地面的标杆，然后小明笔直地站在处，小亮在和之间找到一个合适的位置，并在点处放置了一面小镜子，此时小明恰好看到在镜子里点和点重合，已知，点、、、在同一条直线上，通过测量，，，，小明的眼睛离地面的高度，求旗杆的高度．    题型01 相似三角形 【典例1】如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是(　　) A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【变式1】如图所示，在△ABC中，，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（　　 ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】如图，在△ABC纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ 　　） A． B． C．  D．  【变式3】如图，△ABC中，AB=AC=4，BC=6，点E、F在边BC上，且∠EAF=∠C，则BF·CE= ________． 【变式4】如图，在△ABC中，．在边上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）． 题型02 相似三角形的判定 【典例1】如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【变式1】如图，已知△ABC，，，．将沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（    ） A．B．C．D． 【变式2】如图，在△ABC中，点D、E分别在边、上，，，那么下列判断中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在边长为1的正方形网格中，点都是小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，与△ABC相似的三角形是___________． 【变式4】如图，是△ABC的边上的一点，，，，求证：△ABD∽△CBA． 题型03 相似三角形的性质 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为________． 【变式1】如图，△ABC中，，，△ADE的面积是1，那么四边形的面积是（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式2】如图，在△ABC中，分别在边上，．若，，则的值为________． 【变式3】一个三角形的三边长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其余两边之和为_________． 【变式4】如图，在△ABC中，，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点，分别在边，上． (1)求证：； (2)当点移动到的中点时，求证：平分． 题型04 相似三角形的应用 【典例1】如图①所示，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a，b，中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能，如“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度，如图②所示，从“矩”的一端A望向树顶端的点C，使视线通过“矩”的另一端E，测得，，若“矩”的边，边，则树高CD为________m． 【变式1】约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点A，在近岸取点D，B，使得A，D，B在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点C，并测得，．如果，则河宽为（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面_______． 【变式4】赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度这一任务．如图，赵玲在点处竖立一根高的标杆，张羽测出地面上的点、标杆上的点和点在一条直线上，利用皮尺测出，．张羽向后退，又测出地面上的点、标杆顶点和点在一条直线上，利用皮尺测出．已知，，点在同一水平线上，点在上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度． 1．若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．相似三角形一定不是全等三角形 B．两个菱形一定相似 C．有一个角等于的两个等腰三角形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似 3．如图，已知，添加下列条件后，能判断的是（　　 ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 5．如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点M、N，则的长为（   ） A． B． C． D．5 6．如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点P、Q，作直线交于点D，连接．以下结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．算经之首《九章算术》中有这样一题：“今有邑方不知大小，各中开门． 出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”其大意为“今有正方形小城，不知其大小，东南西北城墙正中央各开有一城门．出北城门20步处有一棵树，出南城门14步，转而西行1775步恰好能看见那棵树．问正方形小城的边长是多少？”若设正方形小城的边长为步，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则△ABC与△ODC的面积比是（　　 ） A． B． C． D． 9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 10．如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则_______． 11．如图，△ABC和△AFG为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，则_______． 12．如图，F是矩形的边上一点，射线交的延长线于点E，已知，，则的长为________． 13．如图，点D是边上一点，，连接．若添加一个条件使得与相似，你添加的条件是_________．（只填写一个你认为正确的答案） 14．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是________． 15．如图，平行四边形ABCD中，延长至，使得．若，则的长为________． 16．如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点，若，的面积为1，则的值为_________． 17．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，正方形的顶点C与的直角顶点C重合，顶点D、E、F分别在线段上，则正方形的边长为________． 18．如图，在△ABC中，点、为边的三等分点，点、在边上，，交于点．若，则的长为________． 19．如图，在等腰直角△ABC中，，D为上一点，E为延长线上一点，且，，则________． 20．【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 21．阅读与思考，完成后面的问题． 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在中，，是斜边上的高，则有如下结论： ①；②；③．下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高，∴．∵，， ∴．∴（依据）．∴．即． (1)材料中的“依据”是指　　　　； (2)选择②或③其中一个结论加以证明； (3)应用：△ABC中，，，，点A在y轴上，求顶点A的坐标． 22．如图，在四边形中，，，点，分别在线段，上，且，． (1)求证：； (2)若，求证：． 23．如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式： ①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为； ②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线； ③调整D，E的位置，使，记录下的距离为； ④测量出之间的距离大约为． 数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明． 24．如图，D，E为△GCF中边上两点，过D作AB∥CF交的延长线于点A，． (1)求证：△ADE≌△CFE； (2)若，，，求的长． 25．如图，在平行四边形ABCD中，点B、F分别在边、上，且，，连结、、，与相交于点M． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则的值为　　　　　． 26．如图，已知：在正方形中，M是边的中点，连接．    (1)请用尺规作图，在线段上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 27．如图，在△ABC中，，点是的中点，点是的中点，过点A作交的延长线于点F，交于点．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，则的面积为_________． 28．西安汉城湖景区巨大的汉武帝雕像斜跨长剑异常威猛、霸气，豪华的车架，高大的马匹、俯首的群臣，无不展示着一代雄主傲视天下的气派．某天，小红和小明相约去测量该雕像的高度，如图，测量方案如下：首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿后退，当退行0.3米到D处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小明在F处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点H、标杆顶点G和雕像顶端A在一条直线上，此时测得FH为1.6米，为11米，已知，，，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算该雕像的高度．（平面镜的大小、厚度忽略不计） 29．如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$